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1. 下列图形中，$∠ 1$和$∠ 2$是同位角的是 （
D
）答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要明确同位角的判定要点：两个角需要是两条直线被第三条直线（截线）所截形成的，需同时满足：①有一条边共属于同一条截线；②在截线的同一侧；③在两条被截直线的同一方，形态类似“F”型。接下来我们逐一排查选项：先看各选项中∠1和∠2是否有公共截线，再判断位置是否符合同位角要求，即可选出正确答案。
【解析】
首先回忆同位角定义：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角，叫做同位角。
对各选项逐一判断：
选项A：∠1和∠2没有公共的截线，不是两条直线被同一条直线截出的角，不属于同位角；
选项B：∠1和∠2位于截线的两侧，不满足“在截线同旁”的要求，不属于同位角；
选项C：∠1和∠2在两条被截直线的不同侧，不满足“在被截两直线同一侧”的要求，不属于同位角；
选项D：∠1和∠2是两条直线被共同的斜边截得的角，二者都在截线的右侧，且都在被截直线的上方，完全符合同位角的定义。
【答案】
D
【知识点】
同位角识别、三线八角
【点评】
本题是同位角判定的基础题型，解题的核心是牢牢抓住同位角的位置特征，也可以通过识别“F型”的同位角典型结构快速解题，避免和内错角、同旁内角混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确同位角的判定要点：两个角需要是两条直线被第三条直线（截线）所截形成的，需同时满足：①有一条边共属于同一条截线；②在截线的同一侧；③在两条被截直线的同一方，形态类似“F”型。接下来我们逐一排查选项：先看各选项中∠1和∠2是否有公共截线，再判断位置是否符合同位角要求，即可选出正确答案。
【解析】
首先回忆同位角定义：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角，叫做同位角。
对各选项逐一判断：
选项A：∠1和∠2没有公共的截线，不是两条直线被同一条直线截出的角，不属于同位角；
选项B：∠1和∠2位于截线的两侧，不满足“在截线同旁”的要求，不属于同位角；
选项C：∠1和∠2在两条被截直线的不同侧，不满足“在被截两直线同一侧”的要求，不属于同位角；
选项D：∠1和∠2是两条直线被共同的斜边截得的角，二者都在截线的右侧，且都在被截直线的上方，完全符合同位角的定义。
【答案】
D
【知识点】
同位角识别、三线八角
【点评】
本题是同位角判定的基础题型，解题的核心是牢牢抓住同位角的位置特征，也可以通过识别“F型”的同位角典型结构快速解题，避免和内错角、同旁内角混淆。
【难度系数】
0.7
2. 如图，$AB⊥ AC,AD⊥ BC$，那么点$C$到直线$AD$的距离是指 （
A.线段$AC$的长
B.线段$AD$的长
C.线段$DB$的长
D.线段$CD$的长
D
）A.线段$AC$的长
B.线段$AD$的长
C.线段$DB$的长
D.线段$CD$的长
答案
2.D
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆点到直线距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。解题时先结合已知的垂直关系，找到点C到直线AD的垂线段，再对应选项判断即可。
【解析】
根据点到直线距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
已知$AD⊥ BC$，即$CD⊥ AD$，垂足为D，因此点C到直线AD的垂线段是线段CD，故点C到直线AD的距离是线段CD的长。
对选项逐一分析：
A. 线段AC的长是点C到直线AB的距离，不符合题意；
B. 线段AD的长是点A到直线BC的距离，不符合题意；
C. 线段DB的长是点B到直线AD的距离，不符合题意；
D. 线段CD的长是点C到直线AD的距离，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
点到直线的距离、垂直的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确理解点到直线距离的定义，注意区分不同点对应到不同直线的垂线段，避免因混淆垂直关系选错线段。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先回忆点到直线距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。解题时先结合已知的垂直关系，找到点C到直线AD的垂线段，再对应选项判断即可。
【解析】
根据点到直线距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
已知$AD⊥ BC$，即$CD⊥ AD$，垂足为D，因此点C到直线AD的垂线段是线段CD，故点C到直线AD的距离是线段CD的长。
对选项逐一分析：
A. 线段AC的长是点C到直线AB的距离，不符合题意；
B. 线段AD的长是点A到直线BC的距离，不符合题意；
C. 线段DB的长是点B到直线AD的距离，不符合题意；
D. 线段CD的长是点C到直线AD的距离，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
点到直线的距离、垂直的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确理解点到直线距离的定义，注意区分不同点对应到不同直线的垂线段，避免因混淆垂直关系选错线段。
【难度系数】
0.8
3.线段$AB=9$，点$C$在线段$AB$上，且有$AC=\frac{1}{3}AB$，$M$是$AB$的中点，则$MC$的长为 （
A.$3$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{9}{2}$
D.$\frac{15}{2}$
B
）A.$3$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{9}{2}$
D.$\frac{15}{2}$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先明确要求的线段MC和已知线段AB的关系，我们可以先根据题中给出的AC与AB的数量关系求出AC的长度，再根据中点的定义求出AM的长度，最后利用线段的和差关系，用AM的长度减去AC的长度就能得到MC的长度。
【解析】
解：已知线段AB=9，
∵ $AC=\frac{1}{3}AB$，
∴ $AC=\frac{1}{3}×9=3$，
又
∵ M是AB的中点，
∴ $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$，
∵ 点C、M都在线段AB上，
∴ $MC=AM-AC=\frac{9}{2}-3=\frac{9}{2}-\frac{6}{2}=\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题的核心是准确根据已知条件求出相关线段的长度，再结合线段的位置关系利用和差公式求解，计算时要注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确要求的线段MC和已知线段AB的关系，我们可以先根据题中给出的AC与AB的数量关系求出AC的长度，再根据中点的定义求出AM的长度，最后利用线段的和差关系，用AM的长度减去AC的长度就能得到MC的长度。
【解析】
解：已知线段AB=9，
∵ $AC=\frac{1}{3}AB$，
∴ $AC=\frac{1}{3}×9=3$，
又
∵ M是AB的中点，
∴ $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$，
∵ 点C、M都在线段AB上，
∴ $MC=AM-AC=\frac{9}{2}-3=\frac{9}{2}-\frac{6}{2}=\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题的核心是准确根据已知条件求出相关线段的长度，再结合线段的位置关系利用和差公式求解，计算时要注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.8
4. 如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD于点O,∠1=40°,则∠AOC的度数为（
A.$140°$
B.$130°$
C.$120°$
D.$115°$
B
）A.$140°$
B.$130°$
C.$120°$
D.$115°$
答案
4.B
解析
【分析】
首先从已知条件OE⊥CD入手，根据垂直的定义可得OE与CD的夹角为90°，再观察图形中角的组成，∠AOC由∠COE和已知的∠1组成，利用角的和差关系代入数值计算即可求出∠AOC的度数。
【解析】
解：
∵OE⊥CD于点O，
∴∠COE=90°（垂直的定义），
又
∵∠1=40°，
∴∠AOC=∠COE + ∠1 = 90° + 40° = 130°。
【答案】
B
【知识点】
垂直的定义，角的和差计算，相交线性质
【点评】
本题是相交线相关的基础角度计算题，核心考查垂直的定义和角的和差运算，解题的关键是准确识别图形中各角的位置关系。
【难度系数】
0.8
首先从已知条件OE⊥CD入手，根据垂直的定义可得OE与CD的夹角为90°，再观察图形中角的组成，∠AOC由∠COE和已知的∠1组成，利用角的和差关系代入数值计算即可求出∠AOC的度数。
【解析】
解：
∵OE⊥CD于点O，
∴∠COE=90°（垂直的定义），
又
∵∠1=40°，
∴∠AOC=∠COE + ∠1 = 90° + 40° = 130°。
【答案】
B
【知识点】
垂直的定义，角的和差计算，相交线性质
【点评】
本题是相交线相关的基础角度计算题，核心考查垂直的定义和角的和差运算，解题的关键是准确识别图形中各角的位置关系。
【难度系数】
0.8
5.(2025·盐城月考)如图①,四边形ABCD是长方形纸带,其中$AD// BC$,$∠ DEF=20°$,将纸带沿EF折叠成图②,再沿BF折叠成图③,则图③中$∠ CFE$的度数是 （
A.$110°$
B.$120°$
C.$140°$
D.$150°$
B
）A.$110°$
B.$120°$
C.$140°$
D.$150°$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先结合长方形对边平行的性质，利用平行线的内错角相等求出∠EFB的度数；再根据折叠的性质（折叠前后对应角相等），分析每次折叠后∠CFE的变化规律：每折叠一次，∠CFE就减少1个∠EFB的度数，最后结合平角的性质计算最终的∠CFE即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠EFB=∠DEF=20°。
在图①中，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得初始∠CFE=180°-∠EFB=180°-20°=160°。
沿EF折叠成图②时，折叠前后对应角相等，此时∠CFE减少1个∠EFB的度数，即图②中∠CFE=160°-20°=140°。
再沿BF折叠成图③时，∠CFE再减少1个∠EFB的度数，即图③中∠CFE=140°-20°=120°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；角度计算
【点评】
本题主要结合生活中的折叠场景考查几何基本性质的应用，解题的核心是准确把握折叠前后角的对应关系，理清每次折叠后所求角的变化情况，避免因漏算折叠次数导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时先结合长方形对边平行的性质，利用平行线的内错角相等求出∠EFB的度数；再根据折叠的性质（折叠前后对应角相等），分析每次折叠后∠CFE的变化规律：每折叠一次，∠CFE就减少1个∠EFB的度数，最后结合平角的性质计算最终的∠CFE即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠EFB=∠DEF=20°。
在图①中，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得初始∠CFE=180°-∠EFB=180°-20°=160°。
沿EF折叠成图②时，折叠前后对应角相等，此时∠CFE减少1个∠EFB的度数，即图②中∠CFE=160°-20°=140°。
再沿BF折叠成图③时，∠CFE再减少1个∠EFB的度数，即图③中∠CFE=140°-20°=120°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；角度计算
【点评】
本题主要结合生活中的折叠场景考查几何基本性质的应用，解题的核心是准确把握折叠前后角的对应关系，理清每次折叠后所求角的变化情况，避免因漏算折叠次数导致出错。
【难度系数】
0.7
6.如图,要把一个横排挂钩在墙上钉牢,至少要钉两枚钉子,这样做的依据是两点确定一条直线.
答案
6.两点确定一条直线
解析
【分析】
解题时首先结合生活场景思考：如果只钉1枚钉子，挂钩可以绕这枚钉子任意转动，无法固定。再回忆直线的相关性质：过一个点能画出无数条直线，而经过两个点只能画出唯一的一条直线，因此钉两枚钉子时，挂钩就会被固定在这两个点确定的唯一一条直线上，不会再晃动，对应原理就是两点确定一条直线。
【解析】
若仅钉1枚钉子，横排挂钩可绕该钉子转动，无法被固定；当钉2枚钉子时，两枚钉子可看作两个点，根据直线的性质：经过两点有且只有一条直线，也就是两点确定一条直线，此时挂钩被固定在这两点确定的直线上，无法随意转动，因此把横排挂钩钉牢至少要两枚钉子的依据是两点确定一条直线。
【答案】
两点确定一条直线
【知识点】
两点确定一条直线
【点评】
本题结合生活实际考查直线的基本性质，属于基础题，很好地体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.9
解题时首先结合生活场景思考：如果只钉1枚钉子，挂钩可以绕这枚钉子任意转动，无法固定。再回忆直线的相关性质：过一个点能画出无数条直线，而经过两个点只能画出唯一的一条直线，因此钉两枚钉子时，挂钩就会被固定在这两个点确定的唯一一条直线上，不会再晃动，对应原理就是两点确定一条直线。
【解析】
若仅钉1枚钉子，横排挂钩可绕该钉子转动，无法被固定；当钉2枚钉子时，两枚钉子可看作两个点，根据直线的性质：经过两点有且只有一条直线，也就是两点确定一条直线，此时挂钩被固定在这两点确定的直线上，无法随意转动，因此把横排挂钩钉牢至少要两枚钉子的依据是两点确定一条直线。
【答案】
两点确定一条直线
【知识点】
两点确定一条直线
【点评】
本题结合生活实际考查直线的基本性质，属于基础题，很好地体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.9
7.若一个锐角的补角比它的余角的2倍多$10°$,则这个锐角的度数是
$10°$
.答案
7.$10°$
解析
【分析】
解决这道题首先要明确余角和补角的定义，我们可以先设这个锐角的度数为未知数，再分别表示出它的补角和余角，最后根据题目给出的“补角比余角的2倍多10°”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
设这个锐角的度数为$x°$。
根据定义，这个锐角的补角为$(180 - x)°$，余角为$(90 - x)°$。
根据题意列方程：
$180 - x = 2(90 - x) + 10$
展开右侧得：$180 - x = 180 - 2x + 10$
移项合并同类项得：$x = 10$
【答案】
$10°$
【知识点】
1.余角与补角的定义 2.一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握余角、补角的概念，准确提取题干中的等量关系列出方程，计算量小，掌握相关概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确余角和补角的定义，我们可以先设这个锐角的度数为未知数，再分别表示出它的补角和余角，最后根据题目给出的“补角比余角的2倍多10°”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
设这个锐角的度数为$x°$。
根据定义，这个锐角的补角为$(180 - x)°$，余角为$(90 - x)°$。
根据题意列方程：
$180 - x = 2(90 - x) + 10$
展开右侧得：$180 - x = 180 - 2x + 10$
移项合并同类项得：$x = 10$
【答案】
$10°$
【知识点】
1.余角与补角的定义 2.一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握余角、补角的概念，准确提取题干中的等量关系列出方程，计算量小，掌握相关概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
8.(2025·扬州三模)如图,学校有一块四边形试验田,分割成A,B两块,则$x-y=$
$3°$
.答案
8.$3°$
解析
【分析】
解题时先回忆两个核心知识点：一是邻补角的和为180°，二是四边形内角和为360°。首先观察图形，x的邻补角、75°的邻补角恰好是下方四边形B的两个内角，我们先表示出这两个角，再代入四边形B的内角和公式，整理等式就能直接求出x-y的差值，无需单独计算x、y的具体数值。
【解析】
根据邻补角的性质，可得：
四边形B的左上角角度为$\boldsymbol{180° - x}$，四边形B的右上角角度为$\boldsymbol{180° - 75° = 105°}$。
因为四边形内角和为$360°$，对四边形B列等式：
$(180° - x) + 78° + y + 105° = 360°$
计算常数项：$180° + 78° + 105° = 363°$，代入得：
$363° - x + y = 360°$
移项整理：
$-x + y = 360° - 363°$
$-(x - y) = -3°$
所以$x - y = 3°$。
【答案】
$\boldsymbol{3°}$
【知识点】
四边形内角和，邻补角的性质，等式的性质
【点评】
本题属于基础综合题，考查了几何性质和代数运算的结合，解题的突破口是找到下方四边形的未知内角，利用整体思想直接求差值，避免了无需求解的未知量，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆两个核心知识点：一是邻补角的和为180°，二是四边形内角和为360°。首先观察图形，x的邻补角、75°的邻补角恰好是下方四边形B的两个内角，我们先表示出这两个角，再代入四边形B的内角和公式，整理等式就能直接求出x-y的差值，无需单独计算x、y的具体数值。
【解析】
根据邻补角的性质，可得：
四边形B的左上角角度为$\boldsymbol{180° - x}$，四边形B的右上角角度为$\boldsymbol{180° - 75° = 105°}$。
因为四边形内角和为$360°$，对四边形B列等式：
$(180° - x) + 78° + y + 105° = 360°$
计算常数项：$180° + 78° + 105° = 363°$，代入得：
$363° - x + y = 360°$
移项整理：
$-x + y = 360° - 363°$
$-(x - y) = -3°$
所以$x - y = 3°$。
【答案】
$\boldsymbol{3°}$
【知识点】
四边形内角和，邻补角的性质，等式的性质
【点评】
本题属于基础综合题，考查了几何性质和代数运算的结合，解题的突破口是找到下方四边形的未知内角，利用整体思想直接求差值，避免了无需求解的未知量，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
9. 如图,如果$∠ 1=∠ EDF$,那么$\_\_\_\_\_\_//\_\_\_\_\_\_$;如果$∠ 2=∠ EDF$,那么$\_\_\_\_\_\_//\_\_\_\_\_\_$.
答案
9.AB DF BC ED
解析
【分析】
解题需结合平行线的判定定理思考，步骤如下：①先明确“内错角相等，两直线平行”的判定规则；②针对每一组相等的角，先判断角的类型，再确定对应的截线与被截线：第一组∠1和∠EDF是直线AB、DF被直线ED所截形成的内错角，相等即可推出AB与DF平行；第二组∠2和∠EDF是直线BC、ED被直线DF所截形成的内错角，相等即可推出BC与ED平行。
【解析】
根据平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”求解：
1. 若∠1=∠EDF：∠1和∠EDF是直线AB、DF被直线ED截得的内错角，内错角相等，因此$\boldsymbol{AB// DF}$；
2. 若∠2=∠EDF：∠2和∠EDF是直线BC、ED被直线DF截得的内错角，内错角相等，因此$\boldsymbol{BC// ED}$。
【答案】
AB；DF；BC；ED
【知识点】
1. 平行线的判定
2. 内错角的识别
【点评】
本题属于基础题，核心是准确识别截线与被截线，判断角的位置关系，熟练掌握平行线的判定定理就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题需结合平行线的判定定理思考，步骤如下：①先明确“内错角相等，两直线平行”的判定规则；②针对每一组相等的角，先判断角的类型，再确定对应的截线与被截线：第一组∠1和∠EDF是直线AB、DF被直线ED所截形成的内错角，相等即可推出AB与DF平行；第二组∠2和∠EDF是直线BC、ED被直线DF所截形成的内错角，相等即可推出BC与ED平行。
【解析】
根据平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”求解：
1. 若∠1=∠EDF：∠1和∠EDF是直线AB、DF被直线ED截得的内错角，内错角相等，因此$\boldsymbol{AB// DF}$；
2. 若∠2=∠EDF：∠2和∠EDF是直线BC、ED被直线DF截得的内错角，内错角相等，因此$\boldsymbol{BC// ED}$。
【答案】
AB；DF；BC；ED
【知识点】
1. 平行线的判定
2. 内错角的识别
【点评】
本题属于基础题，核心是准确识别截线与被截线，判断角的位置关系，熟练掌握平行线的判定定理就能快速解题。
【难度系数】
0.9
