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10. 如图,以 O 为端点画六条射线 OA,OB,OC,OD,OE,OF,再从射线 OA 上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线,若将各条射线上所描的点依次记为 1,2,3,4,5,6,7,8,…,那么所描的第 2026 个点在射线
$OD$
上.答案
10.OD
解析
【分析】
首先观察点的分布规律：六条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF上的点按逆时针顺序循环出现，每6个点为一个周期，依次对应OA（余数1）、OB（余数2）、OC（余数3）、OD（余数4）、OE（余数5）、OF（余数为0即整除）。要确定第2026个点所在射线，只需用2026除以周期数6，根据余数即可判断对应的射线。
【解析】
解：观察图形可得，点的排列每6个为一个循环周期，按顺序对应射线：OA、OB、OC、OD、OE、OF。
计算2026除以6的商和余数：
$2026 ÷ 6 = 337······4$
余数为4，对应周期内的第4条射线，即OD。
【答案】
OD
【知识点】
图形规律探究，周期问题，带余除法应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题型，解题核心是先从图形中提炼出数字的循环周期，再通过带余除法定位所求数字对应的位置，掌握该方法可快速解决同类周期规律问题。
【难度系数】
0.7
首先观察点的分布规律：六条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF上的点按逆时针顺序循环出现，每6个点为一个周期，依次对应OA（余数1）、OB（余数2）、OC（余数3）、OD（余数4）、OE（余数5）、OF（余数为0即整除）。要确定第2026个点所在射线，只需用2026除以周期数6，根据余数即可判断对应的射线。
【解析】
解：观察图形可得，点的排列每6个为一个循环周期，按顺序对应射线：OA、OB、OC、OD、OE、OF。
计算2026除以6的商和余数：
$2026 ÷ 6 = 337······4$
余数为4，对应周期内的第4条射线，即OD。
【答案】
OD
【知识点】
图形规律探究，周期问题，带余除法应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题型，解题核心是先从图形中提炼出数字的循环周期，再通过带余除法定位所求数字对应的位置，掌握该方法可快速解决同类周期规律问题。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共50分)
11.(10分)如图,线段$AB=2$.
(1)反向延长线段$AB$到点$C$,使$AC=2AB$;
(2)在所画图中,设$D$是$AB$的中点,$E$是$AC$的中点,求$DE$的长.
11.(10分)如图,线段$AB=2$.
(1)反向延长线段$AB$到点$C$,使$AC=2AB$;
(2)在所画图中,设$D$是$AB$的中点,$E$是$AC$的中点,求$DE$的长.
答案
11.解:(1)如答图①.
(2)因为$AB=2,AC=2AB$,所以$AC=4$.
因为$D$是$AB$的中点,$E$是$AC$的中点,如答图②.
所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1,AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$,
所以$DE=AE+AD=2+1=3$.
解析
【分析】
1. 第(1)问解题思路：首先明确“反向延长线段AB”的含义，即沿着BA的方向，过A向远离B的一侧延长线段，再结合AC=2AB的长度要求，确定点C的位置即可完成作图。
2. 第(2)问解题思路：先根据已知的AB长度和AC与AB的数量关系求出AC的长度，再利用线段中点的性质分别求出AE、AD的长度，最后结合点E、A、D的位置关系，通过线段和的运算求出DE的长度。
【解析】
(1) 反向延长线段AB，在延长线上截取长度为2AB的线段AC，得到的图形如答图①所示：
(2) 计算DE的长度：
① 求AC的长度：已知$AB=2$，且$AC=2AB$，代入得$AC=2×2=4$。
② 根据中点性质求线段长：因为D是AB的中点，所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$；因为E是AC的中点，所以$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，对应标注中点后的图形如答图②所示：
③ 计算DE的长度：观察图形可知点E在A的左侧，点D在A的右侧，因此DE为AE与AD的和，即$DE=AE+AD=2+1=3$。
【答案】
11.解:(1)如答图①.
(2)因为$AB=2,AC=2AB$,所以$AC=4$.
因为$D$是$AB$的中点,$E$是$AC$的中点,如答图②.
所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1,AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$,
所以$DE=AE+AD=2+1=3$.
【知识点】
线段的延长、线段中点的定义、线段的和差计算
【点评】
本题是线段相关的基础题，重点考查线段作图规则和线段中点性质的应用，解题时只要准确理解反向延长的概念，理清各线段的位置和数量关系就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
1. 第(1)问解题思路：首先明确“反向延长线段AB”的含义，即沿着BA的方向，过A向远离B的一侧延长线段，再结合AC=2AB的长度要求，确定点C的位置即可完成作图。
2. 第(2)问解题思路：先根据已知的AB长度和AC与AB的数量关系求出AC的长度，再利用线段中点的性质分别求出AE、AD的长度，最后结合点E、A、D的位置关系，通过线段和的运算求出DE的长度。
【解析】
(1) 反向延长线段AB，在延长线上截取长度为2AB的线段AC，得到的图形如答图①所示：
(2) 计算DE的长度：
① 求AC的长度：已知$AB=2$，且$AC=2AB$，代入得$AC=2×2=4$。
② 根据中点性质求线段长：因为D是AB的中点，所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$；因为E是AC的中点，所以$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，对应标注中点后的图形如答图②所示：
③ 计算DE的长度：观察图形可知点E在A的左侧，点D在A的右侧，因此DE为AE与AD的和，即$DE=AE+AD=2+1=3$。
【答案】
11.解:(1)如答图①.
(2)因为$AB=2,AC=2AB$,所以$AC=4$.
因为$D$是$AB$的中点,$E$是$AC$的中点,如答图②.
所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1,AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$,
所以$DE=AE+AD=2+1=3$.
【知识点】
线段的延长、线段中点的定义、线段的和差计算
【点评】
本题是线段相关的基础题，重点考查线段作图规则和线段中点性质的应用，解题时只要准确理解反向延长的概念，理清各线段的位置和数量关系就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
12.(15分)(2025·滨湖区期末)如图，$∠ AGE=∠ DHF,∠ B=∠ C$.
(1)试说明：$CE// BF$；
(2)连接$GF$，若$∠ A=28°,FG⊥ CD$，求$∠ DGF$的度数.
(1)试说明：$CE// BF$；
(2)连接$GF$，若$∠ A=28°,FG⊥ CD$，求$∠ DGF$的度数.
答案
12.解:(1)因为$∠AGE=∠DHF,∠AGE=∠DGC$,
所以$∠DHF=∠DGC$,所以$CE// BF$.
(2)如答图,连接$GF$.
因为$CE// BF$,所以$∠BFD=∠C$.
又因为$∠B=∠C$,所以$∠BFD=∠B$,
所以$AB// CD$,所以$∠D=∠A=28°$.
因为$FG⊥CD$,所以$∠GFD=90°$,
所以$∠DGF=180°-∠GFD-∠D=180°-90°-28°=62°$.
解析
【分析】
(1)要证明$CE// BF$，可利用“同位角相等，两直线平行”的判定定理推导。已知$∠AGE=∠DHF$，结合对顶角相等可知$∠AGE=∠DGC$，等量代换后得到同位角$∠DHF=∠DGC$，即可证明两直线平行。
(2)求$∠DGF$的度数时，先利用(1)中$CE// BF$的结论，得同位角$∠BFD=∠C$，结合已知$∠B=∠C$，可推得$∠BFD=∠B$，进而证明$AB// CD$，得到$∠D=∠A=28°$；再根据$FG⊥CD$得$∠GFD=90°$，最后利用三角形内角和为$180°$即可计算出$∠DGF$的度数。
【解析】
(1) 因为$∠AGE=∠DHF$，$∠AGE=∠DGC$（对顶角相等），
所以$∠DHF=∠DGC$（等量代换），
所以$CE// BF$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 如答图，连接$GF$。
因为$CE// BF$，所以$∠BFD=∠C$（两直线平行，同位角相等）。
又因为$∠B=∠C$，所以$∠BFD=∠B$（等量代换），
所以$AB// CD$（内错角相等，两直线平行），
所以$∠D=∠A=28°$（两直线平行，内错角相等）。
因为$FG⊥CD$，所以$∠GFD=90°$（垂直的定义），
所以$∠DGF=180°-∠GFD-∠D=180°-90°-28°=62°$。
【答案】
(1) 因为$∠AGE=∠DHF,∠AGE=∠DGC$，所以$∠DHF=∠DGC$，所以$CE// BF$。
(2) 如答图，连接$GF$。因为$CE// BF$，所以$∠BFD=∠C$。又因为$∠B=∠C$，所以$∠BFD=∠B$，所以$AB// CD$，所以$∠D=∠A=28°$。因为$FG⊥CD$，所以$∠GFD=90°$，所以$∠DGF=180°-∠GFD-∠D=180°-90°-28°=62°$。
【知识点】
平行线的判定与性质；对顶角相等；垂直的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，重点考查平行线相关定理的应用，解题时需要熟练进行角的等量代换，结合已知条件逐步推导角度关系，能有效锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$CE// BF$，可利用“同位角相等，两直线平行”的判定定理推导。已知$∠AGE=∠DHF$，结合对顶角相等可知$∠AGE=∠DGC$，等量代换后得到同位角$∠DHF=∠DGC$，即可证明两直线平行。
(2)求$∠DGF$的度数时，先利用(1)中$CE// BF$的结论，得同位角$∠BFD=∠C$，结合已知$∠B=∠C$，可推得$∠BFD=∠B$，进而证明$AB// CD$，得到$∠D=∠A=28°$；再根据$FG⊥CD$得$∠GFD=90°$，最后利用三角形内角和为$180°$即可计算出$∠DGF$的度数。
【解析】
(1) 因为$∠AGE=∠DHF$，$∠AGE=∠DGC$（对顶角相等），
所以$∠DHF=∠DGC$（等量代换），
所以$CE// BF$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 如答图，连接$GF$。
因为$CE// BF$，所以$∠BFD=∠C$（两直线平行，同位角相等）。
又因为$∠B=∠C$，所以$∠BFD=∠B$（等量代换），
所以$AB// CD$（内错角相等，两直线平行），
所以$∠D=∠A=28°$（两直线平行，内错角相等）。
因为$FG⊥CD$，所以$∠GFD=90°$（垂直的定义），
所以$∠DGF=180°-∠GFD-∠D=180°-90°-28°=62°$。
【答案】
(1) 因为$∠AGE=∠DHF,∠AGE=∠DGC$，所以$∠DHF=∠DGC$，所以$CE// BF$。
(2) 如答图，连接$GF$。
因为$CE// BF$，所以$∠BFD=∠C$。又因为$∠B=∠C$，所以$∠BFD=∠B$，所以$AB// CD$，所以$∠D=∠A=28°$。因为$FG⊥CD$，所以$∠GFD=90°$，所以$∠DGF=180°-∠GFD-∠D=180°-90°-28°=62°$。【知识点】
平行线的判定与性质；对顶角相等；垂直的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，重点考查平行线相关定理的应用，解题时需要熟练进行角的等量代换，结合已知条件逐步推导角度关系，能有效锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
13.(25分)如图，$∠ MON=140°$，$∠ AOC$与$∠ BOC$互余，$OC$平分$∠ MOB$.
(1)在图①中，若$∠ AOC=40°$，则$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_$，$∠ NOB=\_\_\_\_\_\_$；
(2)在图①中，设$∠ AOC=α$，$∠ BON=β$，请探究$α$与$β$之间的数量关系，并说明理由；
(3)在(2)中的条件不变的前提下，$∠ AOB$绕着点$O$顺时针转动到如图②的位置，此时(2)中$α$与$β$之间的数量关系是否还成立？请说明理由.
(1)在图①中，若$∠ AOC=40°$，则$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_$，$∠ NOB=\_\_\_\_\_\_$；
(2)在图①中，设$∠ AOC=α$，$∠ BON=β$，请探究$α$与$β$之间的数量关系，并说明理由；
(3)在(2)中的条件不变的前提下，$∠ AOB$绕着点$O$顺时针转动到如图②的位置，此时(2)中$α$与$β$之间的数量关系是否还成立？请说明理由.
答案
13.(1)$50°\quad 40°$
(2)解:$β=2α-40°$,理由如下:
因为$∠AOC=α$,$∠AOC$与$∠BOC$互余,
所以$∠BOC=90°-α$.
因为$OC$平分$∠MOB$,
所以$∠MOB=2∠BOC=2(90°-α)=180°-2α$.
又因为$∠MON=∠BOM+∠BON$,$∠BON=β$,
所以$140°=180°-2α+β$,即$β=2α-40°$.
(3)解:不成立,此时$α$与$β$之间的数量关系为$2α+β=40°$.
理由:因为$∠AOC=α$,$∠AOC$与$∠BOC$互余,
所以$∠BOC=90°-α$.
因为$OC$平分$∠MOB$,
所以$∠MOB=2∠BOC=2(90°-α)=180°-2α$.
因为$∠BOM=∠MON+∠BON$,$∠BON=β$,
所以$180°-2α=140°+β$,即$2α+β=40°$.
(2)解:$β=2α-40°$,理由如下:
因为$∠AOC=α$,$∠AOC$与$∠BOC$互余,
所以$∠BOC=90°-α$.
因为$OC$平分$∠MOB$,
所以$∠MOB=2∠BOC=2(90°-α)=180°-2α$.
又因为$∠MON=∠BOM+∠BON$,$∠BON=β$,
所以$140°=180°-2α+β$,即$β=2α-40°$.
(3)解:不成立,此时$α$与$β$之间的数量关系为$2α+β=40°$.
理由:因为$∠AOC=α$,$∠AOC$与$∠BOC$互余,
所以$∠BOC=90°-α$.
因为$OC$平分$∠MOB$,
所以$∠MOB=2∠BOC=2(90°-α)=180°-2α$.
因为$∠BOM=∠MON+∠BON$,$∠BON=β$,
所以$180°-2α=140°+β$,即$2α+β=40°$.
解析
【分析】
（1）首先利用互余的性质（互余两角和为90°），已知∠AOC的度数即可求出∠BOC；再根据角平分线的定义得到∠MOB是∠BOC的2倍，最后用∠MON的度数减去∠MOB的度数，就能得到∠NOB的度数。
（2）和（1）的解题思路一致，将∠AOC替换为α，先表示出∠BOC，再通过角平分线的性质得到∠MOB的表达式，最后结合∠MON=∠MOB+∠BON的和差关系，代入已知角度整理即可得到α和β的数量关系。
（3）当∠AOB转动到图②位置后，角的和差关系发生变化，此时∠MOB=∠MON+∠BON，代入之前得到的∠MOB的表达式整理，就能得到新的数量关系，可判断原关系不成立。
【解析】
(1) 因为∠AOC与∠BOC互余，所以∠AOC+∠BOC=90°，已知∠AOC=40°，因此∠BOC=90°-40°=50°；
因为OC平分∠MOB，所以∠MOB=2∠BOC=2×50°=100°；
又因为∠MON=140°，所以∠NOB=∠MON - ∠MOB=140°-100°=40°。
(2) β=2α-40°，理由如下：
因为∠AOC=α，∠AOC与∠BOC互余，所以∠BOC=90°-α；
因为OC平分∠MOB，所以∠MOB=2∠BOC=2(90°-α)=180°-2α；
又因为∠MON=∠BOM+∠BON，∠MON=140°，∠BON=β，代入得140°=180°-2α+β，整理可得β=2α-40°。
(3) 不成立，此时α与β的数量关系为2α+β=40°，理由如下：
因为∠AOC=α，∠AOC与∠BOC互余，所以∠BOC=90°-α；
因为OC平分∠MOB，所以∠MOB=2∠BOC=2(90°-α)=180°-2α；
此时∠BOM=∠MON+∠BON，∠MON=140°，∠BON=β，代入得180°-2α=140°+β，整理可得2α+β=40°，因此原来的数量关系不成立。
【答案】
(1) $50°$，$40°$
(2) $\boldsymbol{β=2α-40°}$
(3) 不成立，此时数量关系为$\boldsymbol{2α+β=40°}$
【知识点】
余角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题围绕角的运算展开，结合了互余、角平分线的性质，重点考查根据图形分析角的和差关系的能力，解题时要注意图形位置变化后，角之间的和差关系也会相应改变，需要结合图形灵活分析。
【难度系数】
0.65
（1）首先利用互余的性质（互余两角和为90°），已知∠AOC的度数即可求出∠BOC；再根据角平分线的定义得到∠MOB是∠BOC的2倍，最后用∠MON的度数减去∠MOB的度数，就能得到∠NOB的度数。
（2）和（1）的解题思路一致，将∠AOC替换为α，先表示出∠BOC，再通过角平分线的性质得到∠MOB的表达式，最后结合∠MON=∠MOB+∠BON的和差关系，代入已知角度整理即可得到α和β的数量关系。
（3）当∠AOB转动到图②位置后，角的和差关系发生变化，此时∠MOB=∠MON+∠BON，代入之前得到的∠MOB的表达式整理，就能得到新的数量关系，可判断原关系不成立。
【解析】
(1) 因为∠AOC与∠BOC互余，所以∠AOC+∠BOC=90°，已知∠AOC=40°，因此∠BOC=90°-40°=50°；
因为OC平分∠MOB，所以∠MOB=2∠BOC=2×50°=100°；
又因为∠MON=140°，所以∠NOB=∠MON - ∠MOB=140°-100°=40°。
(2) β=2α-40°，理由如下：
因为∠AOC=α，∠AOC与∠BOC互余，所以∠BOC=90°-α；
因为OC平分∠MOB，所以∠MOB=2∠BOC=2(90°-α)=180°-2α；
又因为∠MON=∠BOM+∠BON，∠MON=140°，∠BON=β，代入得140°=180°-2α+β，整理可得β=2α-40°。
(3) 不成立，此时α与β的数量关系为2α+β=40°，理由如下：
因为∠AOC=α，∠AOC与∠BOC互余，所以∠BOC=90°-α；
因为OC平分∠MOB，所以∠MOB=2∠BOC=2(90°-α)=180°-2α；
此时∠BOM=∠MON+∠BON，∠MON=140°，∠BON=β，代入得180°-2α=140°+β，整理可得2α+β=40°，因此原来的数量关系不成立。
【答案】
(1) $50°$，$40°$
(2) $\boldsymbol{β=2α-40°}$
(3) 不成立，此时数量关系为$\boldsymbol{2α+β=40°}$
【知识点】
余角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题围绕角的运算展开，结合了互余、角平分线的性质，重点考查根据图形分析角的和差关系的能力，解题时要注意图形位置变化后，角之间的和差关系也会相应改变，需要结合图形灵活分析。
【难度系数】
0.65
