1.(2025·工业园区期中)【观察发现】(1)如图,将长方形纸片ABCD的一角折叠,使顶点A落在点$A'$处,PM为折痕;再将另一角折叠,使点B落在点$B'$处,点$A'$在$PB'$上,PN为折痕,则$∠MPN$的度数为.
【思维拓展】(2)规定:若两角之差的绝对值为$30°$,则称这两个角是一组“巧角”,即若$|∠α - ∠β| = 30°$,则$∠α$和$∠β$是一组“巧角”($0°＜∠α＜180°,0°＜∠β＜180°$).
①在(1)的条件下,若$∠APM$和$∠BPN$是一组“巧角”,求$∠APM$的度数;
②在(1)的条件下,当$P,A',B'$三点不共线时,$∠APM$和$∠BPN$还是一组“巧角”,且$∠APM＞∠BPN,∠A'PB'=16°$,求$∠BPA'$的度数.

(1)90°
(2)解:①因为∠MPN=90°,所以∠APM+∠BPN=90°,
即∠BPN=90°−∠APM.
又因为∠APM和∠BPN是一组“巧角”,
所以|∠APM−∠BPN|=|∠APM−(90°−∠APM)|=30°,解得∠APM=60°或∠APM=30°.
②由折叠的性质可知∠A'PM=∠APM,∠BPN=∠B'PN,
因为∠APM与∠BPN是一组“巧角”,
且∠APM＞∠BPN,
所以设∠BPN=β,则∠APM=30°+β,
当三角形PMA'和三角形PNB'没有重叠部分时,如答图①,
因为∠A'PB'=16°,所以2×(30°+β)+2β+16°=180°,
解得β=26°,所以∠BPN=26°,
所以∠BPA'=2β+16°=68°;
当三角形PMA'和三角形PNB'有重叠部分时,如答图②,
所以2(30°+β)+2β−16°=180°,
解得β=34°,所以∠BPA'=2β−16°=52°.
综上所述,∠BPA'的度数为68°或52°.

【分析】
(1) 折叠类角度问题首先利用折叠前后对应角相等的性质，本题两次折叠分别得到∠APM=∠A'PM、∠BPN=∠B'PN，AB为直线对应平角180°，即四个角之和为180°，代入相等关系即可求出∠MPN的度数。
(2) ① 由(1)可得∠APM+∠BPN=90°，结合“巧角”的定义（两角差的绝对值为30°），将∠BPN用90°-∠APM替换，列绝对值方程即可求解。
② 仍利用折叠对应角相等的性质，已知∠APM＞∠BPN且二者为巧角，可得∠APM=∠BPN+30°，设∠BPN为β，用β表示∠APM。接下来分两种情况讨论折叠后图形的位置：若两个折叠小三角形无重叠，两个两倍角加∠A'PB'等于平角180°；若有重叠，两个两倍角减重叠部分∠A'PB'等于平角180°，分别列方程求出β后，再计算∠BPA'的度数即可。
【解析】
(1) 由折叠的性质可知：$∠ APM=∠ A'PM=\frac{1}{2}∠ APA'$，$∠ BPN=∠ B'PN=\frac{1}{2}∠ BPB'$，
∵AB为直线，$∠ APA'+∠ BPB'=180°$，
∴$∠ MPN=∠ A'PM+∠ B'PN=\frac{1}{2}(∠ APA'+∠ BPB')=\frac{1}{2}×180°=90°$。
(2) ① 由(1)得$∠ MPN=90°$，因此$∠ APM+∠ BPN=180°-∠ MPN=90°$，即$∠ BPN=90°-∠ APM$，
∵$∠ APM$和$∠ BPN$是一组“巧角”，
∴$|∠ APM-∠ BPN|=30°$，
代入得$|∠ APM-(90°-∠ APM)|=30°$，即$|2∠ APM-90°|=30°$，
当$2∠ APM-90°=30°$时，解得$∠ APM=60°$；
当$2∠ APM-90°=-30°$时，解得$∠ APM=30°$。
② 由折叠性质可知：$∠ A'PM=∠ APM$，$∠ B'PN=∠ BPN$，
∵$∠ APM$和$∠ BPN$是一组“巧角”，且$∠ APM＞∠ BPN$，
∴$∠ APM-∠ BPN=30°$，设$∠ BPN=β$，则$∠ APM=β+30°$，分两种情况讨论：
i) 当$△ PMA'$和$△ PNB'$没有重叠部分时，如答图①，
∵$∠ A'PB'=16°$，$∠ APB=180°$，
∴$2∠ APM+2∠ BPN+∠ A'PB'=180°$，
代入得$2(β+30°)+2β+16°=180°$，解得$β=26°$，
∴$∠ BPA'=2∠ BPN+∠ A'PB'=2×26°+16°=68°$；
ii) 当$△ PMA'$和$△ PNB'$有重叠部分时，如答图②，
此时重叠部分为$∠ A'PB'$，因此$2∠ APM+2∠ BPN-∠ A'PB'=180°$，
代入得$2(β+30°)+2β-16°=180°$，解得$β=34°$，
∴$∠ BPA'=2∠ BPN-∠ A'PB'=2×34°-16°=52°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$
(2) ① $\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{60°}$；② $\boldsymbol{68°}$或$\boldsymbol{52°}$

【知识点】
图形折叠的性质，角度和差计算，新定义理解
【点评】
本题结合折叠性质与新定义“巧角”考查角度计算，解题时需要分类讨论折叠后两个图形的位置关系，避免漏解，能有效锻炼分类讨论的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6

2.【发现问题】
如图①,小明同学在做光的折射实验时发现:平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后,折射光线BE,DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P.
【提出问题】
小明提出:∠BPD,∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系?
【分析问题】
已知平行,可以利用平行线的性质,把∠BPD分成两部分进行研究.
【解决问题】
探究一:(1)请你帮小明解决这个问题,并说明理由.
探究二:(2)如图②,AB//CD,则∠P,∠AMP,∠CNP的数量关系为;
如图③,∠ABC=25°,∠C=60°,AE//CD,则∠BAE=°.
利用探究一得到的结论解决下列问题:
(3)如图④,AB//CD,射线ME,NF分别平分∠BMP和∠CNP,ME交直线CD于点E,NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F.若∠P=2∠F,求∠FME的度数.

(1)解:∠BPD=∠ABP+∠CDP.理由如下:
因为AB//MN//CD,
所以∠BPN=∠ABP,∠DPN=∠CDP,
所以∠BPN+∠DPN=∠ABP+∠CDP,
所以∠BPD=∠ABP+∠CDP.
(2)∠AMP=∠P+∠CNP 145
(3)解:因为射线ME,NF分别平分∠BMP和∠CNP,
所以∠PME=$\frac{1}{2}$∠PMB,∠CNF=∠PNF,
由探究一的结论,得∠P=∠AMP+∠CNP=∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF,∠F=∠AMF+∠CNF.
因为∠P=2∠F,所以∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF=2∠AMF+2∠CNF.
因为∠CNF=∠PNF,所以∠AMF+∠PMF=2∠AMF,
所以∠PMF=∠AMF=$\frac{1}{2}$∠AMP,
所以∠PMF+∠PME=$\frac{1}{2}$(∠AMP+∠PMB),
所以∠FME=$\frac{1}{2}$∠AMB=$\frac{1}{2}$×180°=90°.

【分析】
（1）遇到平行线间存在拐点的角度问题，常用方法是过拐点作已知直线的平行线，本题中已有平行于AB、CD的直线MN，可根据平行线内错角相等的性质，将∠BPD拆分为两个分别与∠ABP、∠CDP相等的角，即可推导三者的数量关系。
（2）①图②仍是平行线间的拐点问题，过点P作AB的平行线，结合平行线的性质即可推导三个角的数量关系；②图③可利用平行线拐角模型的角度规律，结合已知角度直接计算∠BAE的度数。
（3）先根据角平分线的定义得到对应相等的角，再利用探究一得到的平行线拐角角度关系，分别用拆分的小角表示∠P和∠F，代入∠P=2∠F的条件化简，最后结合平角的定义即可求出∠FME的度数。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ BPD=∠ ABP+∠ CDP}$，理由如下：
$\because AB// MN// CD$，
$\therefore ∠ BPN=∠ ABP$（两直线平行，内错角相等），$∠ DPN=∠ CDP$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ BPN+∠ DPN=∠ ABP+∠ CDP$，
即$∠ BPD=∠ ABP+∠ CDP$。
(2) ①过点P作平行于AB的辅助线，结合$AB// CD$，根据平行线内错角相等的性质可推得：$\boldsymbol{∠ AMP=∠ P+∠ CNP}$；
②根据平行线拐角模型的角度规律，计算得$∠ BAE=25°+(180°-60°)=145°$。
(3) 解：$\because$射线ME，NF分别平分$∠ BMP$和$∠ CNP$，
$\therefore ∠ PME=\frac{1}{2}∠ PMB$，$∠ CNF=∠ PNF$，
由探究一的结论，得$∠ P=∠ AMP+∠ CNP=∠ AMF+∠ PMF+∠ CNF+∠ PNF$，$∠ F=∠ AMF+∠ CNF$，
$\because ∠ P=2∠ F$，
$\therefore ∠ AMF+∠ PMF+∠ CNF+∠ PNF=2∠ AMF+2∠ CNF$，
又$\because ∠ CNF=∠ PNF$，
$\therefore ∠ AMF+∠ PMF=2∠ AMF$，即$∠ PMF=∠ AMF=\frac{1}{2}∠ AMP$，
$\therefore ∠ PMF+∠ PME=\frac{1}{2}(∠ AMP+∠ PMB)$，
$\because ∠ AMP+∠ PMB=∠ AMB=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ FME=\frac{1}{2}×180°=90°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ BPD=∠ ABP+∠ CDP}$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{∠ AMP=∠ P+∠ CNP}$；$\boldsymbol{145}$；
(3) $\boldsymbol{∠ FME=90°}$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题围绕平行线中的拐角模型展开考查，解题的核心是掌握“过拐点作平行线”的常用辅助线作法，通过构造平行线将分散的角建立数量联系，同时结合角平分线、平角的性质进行推导，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6