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7. 如图，$∠ 1=50°,∠ 2=130°,∠ C=∠ D.$
(1)试说明:$BD// CE;$
(2)探索$∠ A$与$∠ F$的数量关系,并说明理由.
(1)试说明:$BD// CE;$
(2)探索$∠ A$与$∠ F$的数量关系,并说明理由.
答案
解:(1)因为∠1=50°,∠2=130°,
所以∠1+∠2=180°,所以BD//CE.
(2)∠A=∠F.理由如下：
因为BD//CE,所以∠C=∠ABD.
因为∠C=∠D,所以∠ABD=∠D,
所以AC//DF,所以∠A=∠F.
所以∠1+∠2=180°,所以BD//CE.
(2)∠A=∠F.理由如下：
因为BD//CE,所以∠C=∠ABD.
因为∠C=∠D,所以∠ABD=∠D,
所以AC//DF,所以∠A=∠F.
解析
【分析】
(1)要证明BD//CE，可结合平行线的判定定理分析：已知∠1和∠2的度数，先计算两角的和，发现两角和为180°，满足“同旁内角互补，两直线平行”的判定条件，即可完成证明。
(2)探索∠A和∠F的数量关系时，先利用(1)中得到的BD//CE，结合平行线的性质可得∠C=∠ABD，再结合已知∠C=∠D，等量代换得到∠ABD=∠D，可判定AC//DF，最后根据平行线的性质即可得到∠A和∠F的数量关系。
【解析】
(1)因为∠1=50°,∠2=130°,
所以∠1+∠2=180°,所以BD//CE.
(2)∠A=∠F.理由如下：
因为BD//CE,所以∠C=∠ABD.
因为∠C=∠D,所以∠ABD=∠D,
所以AC//DF,所以∠A=∠F.
【答案】
(1)BD//CE；
(2)∠A=∠F
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，等量代换
【点评】
本题是平行线判定与性质的综合基础题，解题时需要按照“角的关系→平行关系→新的角的关系”的逻辑链条推导，注重考查基础的几何推理能力，是几何入门阶段的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明BD//CE，可结合平行线的判定定理分析：已知∠1和∠2的度数，先计算两角的和，发现两角和为180°，满足“同旁内角互补，两直线平行”的判定条件，即可完成证明。
(2)探索∠A和∠F的数量关系时，先利用(1)中得到的BD//CE，结合平行线的性质可得∠C=∠ABD，再结合已知∠C=∠D，等量代换得到∠ABD=∠D，可判定AC//DF，最后根据平行线的性质即可得到∠A和∠F的数量关系。
【解析】
(1)因为∠1=50°,∠2=130°,
所以∠1+∠2=180°,所以BD//CE.
(2)∠A=∠F.理由如下：
因为BD//CE,所以∠C=∠ABD.
因为∠C=∠D,所以∠ABD=∠D,
所以AC//DF,所以∠A=∠F.
【答案】
(1)BD//CE；
(2)∠A=∠F
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，等量代换
【点评】
本题是平行线判定与性质的综合基础题，解题时需要按照“角的关系→平行关系→新的角的关系”的逻辑链条推导，注重考查基础的几何推理能力，是几何入门阶段的典型习题。
【难度系数】
0.7
8. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等. 如图①，一束光线$ m $射到平面镜$ a $上，被$ a $反射后的光线为$ n $，则入射光线$ m $、反射光线$ n $与平面镜$ a $所夹的锐角$ ∠ 1 = ∠ 2 $.
(1) 利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，$ AB, CD $是平行放置的两面平面镜. 已知光线沿直线$ m $进入潜望镜，最后沿直线$ n $射出，试说明：$ m // n $.
(2) 显然，改变两面平面镜$ AB, CD $之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线$ m $与反射光线$ n $之间的位置关系会随之改变. 如图③，一束光线$ m $射到平面镜$ AB $上，被$ AB $反射到平面镜$ CD $上，又被平面镜$ CD $反射. 若被$ CD $反射出的光线$ n $和光线$ m $平行，且$ ∠ 1 = 48° $，则$ ∠ 6 = $
(3) 在图③中，当两平面镜$ AB, CD $的夹角$ ∠ ABC $的度数是多少时，可以使任何入射光线$ m $经过平面镜$ AB, CD $的两次反射后，与反射光线$ n $平行？请说明理由.
(1) 利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，$ AB, CD $是平行放置的两面平面镜. 已知光线沿直线$ m $进入潜望镜，最后沿直线$ n $射出，试说明：$ m // n $.
(2) 显然，改变两面平面镜$ AB, CD $之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线$ m $与反射光线$ n $之间的位置关系会随之改变. 如图③，一束光线$ m $射到平面镜$ AB $上，被$ AB $反射到平面镜$ CD $上，又被平面镜$ CD $反射. 若被$ CD $反射出的光线$ n $和光线$ m $平行，且$ ∠ 1 = 48° $，则$ ∠ 6 = $
96
$ ° $，$ ∠ ABC = $90
$ ° $.(3) 在图③中，当两平面镜$ AB, CD $的夹角$ ∠ ABC $的度数是多少时，可以使任何入射光线$ m $经过平面镜$ AB, CD $的两次反射后，与反射光线$ n $平行？请说明理由.
答案
(1)解:因为AB//CD,
所以∠2=∠3.
因为∠1=∠2,∠3=∠4,
所以∠1=∠2=∠3=∠4,
所以180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4,即∠5=∠6,
所以m//n.
(2)96 90
(3)解:∠ABC=90°.理由如下：
因为∠ABC=90°,所以∠2+∠3=180°-90°=90°.
因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
因为∠1+∠2+∠5=180°,∠3+∠4+∠6=180°,
所以∠5+∠6=180°,所以m//n.
所以∠2=∠3.
因为∠1=∠2,∠3=∠4,
所以∠1=∠2=∠3=∠4,
所以180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4,即∠5=∠6,
所以m//n.
(2)96 90
(3)解:∠ABC=90°.理由如下：
因为∠ABC=90°,所以∠2+∠3=180°-90°=90°.
因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
因为∠1+∠2+∠5=180°,∠3+∠4+∠6=180°,
所以∠5+∠6=180°,所以m//n.
解析
【分析】
(1) 要证明$m // n$，根据平行线的判定定理，只需证内错角$∠ 5=∠ 6$即可。首先利用$AB // CD$的性质得$∠ 2=∠ 3$，再结合平面镜反射规律$∠ 1=∠ 2$、$∠ 3=∠ 4$，可推出$∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4$，再根据平角定义即可得到$∠ 5=∠ 6$，完成证明。
(2) 先根据反射规律得$∠ 2=∠ 1=48°$，计算出$∠ 5$的度数，再结合$m // n$的同旁内角互补的性质求出$∠ 6$；再由反射规律推出$∠ 3$的度数，最后通过角的和差关系算出$∠ ABC$的度数。
(3) 要使任意入射光线$m$经两次反射后都与$n$平行，需保证$∠ 5+∠ 6=180°$恒成立，结合反射规律和平角定义推导$∠ 2$与$∠ 3$的和，即可求出$∠ ABC$的度数。
【解析】
(1) 证明：$\because AB // CD$，
$\therefore ∠ 2=∠ 3$（两直线平行，内错角相等）。
根据平面镜反射规律可知$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4$，
$\therefore 180°-∠ 1-∠ 2=180°-∠ 3-∠ 4$，即$∠ 5=∠ 6$，
$\therefore m // n$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 根据反射规律，$∠ 2=∠ 1=48°$，
$\therefore ∠ 5=180°-∠ 1-∠ 2=180°-48°×2=84°$，
$\because m // n$，$\therefore ∠ 5+∠ 6=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠ 6=180°-84°=96°$；
又$\because ∠ 3=∠ 4$，$∠ 6=180°-∠ 3-∠ 4=180°-2∠ 3=96°$，
解得$∠ 3=42°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ 2-∠ 3=180°-48°-42°=90°$。
(3) 当$∠ ABC=90°$时，可使任何入射光线$m$经过两次反射后与$n$平行，理由如下：
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ 2+∠ 3=180°-90°=90°$，
根据反射规律得$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，
$\therefore ∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=2(∠ 2+∠ 3)=180°$，
又$\because ∠ 1+∠ 2+∠ 5=180°$，$∠ 3+∠ 4+∠ 6=180°$，
两式相加得$∠ 5+∠ 6 + (∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4)=360°$，
代入$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=180°$，得$∠ 5+∠ 6=180°$，
$\therefore m // n$（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{96}$，$\boldsymbol{90}$；
(3) $∠ ABC=90°$，理由见解析。
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题结合平面镜反射的实际规律，考查平行线的判定与性质的综合应用，解题时需要将实际规律转化为几何条件，通过角的等量代换完成推导，既锻炼了逻辑推理能力，也体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$m // n$，根据平行线的判定定理，只需证内错角$∠ 5=∠ 6$即可。首先利用$AB // CD$的性质得$∠ 2=∠ 3$，再结合平面镜反射规律$∠ 1=∠ 2$、$∠ 3=∠ 4$，可推出$∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4$，再根据平角定义即可得到$∠ 5=∠ 6$，完成证明。
(2) 先根据反射规律得$∠ 2=∠ 1=48°$，计算出$∠ 5$的度数，再结合$m // n$的同旁内角互补的性质求出$∠ 6$；再由反射规律推出$∠ 3$的度数，最后通过角的和差关系算出$∠ ABC$的度数。
(3) 要使任意入射光线$m$经两次反射后都与$n$平行，需保证$∠ 5+∠ 6=180°$恒成立，结合反射规律和平角定义推导$∠ 2$与$∠ 3$的和，即可求出$∠ ABC$的度数。
【解析】
(1) 证明：$\because AB // CD$，
$\therefore ∠ 2=∠ 3$（两直线平行，内错角相等）。
根据平面镜反射规律可知$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4$，
$\therefore 180°-∠ 1-∠ 2=180°-∠ 3-∠ 4$，即$∠ 5=∠ 6$，
$\therefore m // n$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 根据反射规律，$∠ 2=∠ 1=48°$，
$\therefore ∠ 5=180°-∠ 1-∠ 2=180°-48°×2=84°$，
$\because m // n$，$\therefore ∠ 5+∠ 6=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠ 6=180°-84°=96°$；
又$\because ∠ 3=∠ 4$，$∠ 6=180°-∠ 3-∠ 4=180°-2∠ 3=96°$，
解得$∠ 3=42°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ 2-∠ 3=180°-48°-42°=90°$。
(3) 当$∠ ABC=90°$时，可使任何入射光线$m$经过两次反射后与$n$平行，理由如下：
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ 2+∠ 3=180°-90°=90°$，
根据反射规律得$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，
$\therefore ∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=2(∠ 2+∠ 3)=180°$，
又$\because ∠ 1+∠ 2+∠ 5=180°$，$∠ 3+∠ 4+∠ 6=180°$，
两式相加得$∠ 5+∠ 6 + (∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4)=360°$，
代入$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=180°$，得$∠ 5+∠ 6=180°$，
$\therefore m // n$（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{96}$，$\boldsymbol{90}$；
(3) $∠ ABC=90°$，理由见解析。
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题结合平面镜反射的实际规律，考查平行线的判定与性质的综合应用，解题时需要将实际规律转化为几何条件，通过角的等量代换完成推导，既锻炼了逻辑推理能力，也体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
