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4. 如图，$∠ 1=∠ ACB$，$∠ 2=∠ 3$，$FH⊥ AB$于点$H$. 那么$CD$与$AB$的位置关系如何？请说明理由.
答案
解:CD⊥AB.理由如下：
因为∠1=∠ACB,所以DE//BC,所以∠2=∠BCD.
因为∠2=∠3,所以∠3=∠BCD,所以HF//CD.
因为FH⊥AB,所以∠FHB=90°,
所以∠CDB=∠FHB=90°,所以CD⊥AB.
因为∠1=∠ACB,所以DE//BC,所以∠2=∠BCD.
因为∠2=∠3,所以∠3=∠BCD,所以HF//CD.
因为FH⊥AB,所以∠FHB=90°,
所以∠CDB=∠FHB=90°,所以CD⊥AB.
解析
【分析】
我们可以通过已知角的关系逐步推导直线的位置关系：首先，∠1与∠ACB是同位角，由∠1=∠ACB可判定DE//BC，利用平行线的性质可得∠2=∠BCD；再结合已知∠2=∠3，等量代换得到∠3=∠BCD，这两个角是同位角，可判定HF//CD；最后根据FH⊥AB，利用平行线的性质即可推出CD与AB的夹角为90°，得到二者的位置关系。
【解析】
解：CD⊥AB，理由如下：
因为∠1=∠ACB，所以DE//BC，所以∠2=∠BCD。
因为∠2=∠3，所以∠3=∠BCD，所以HF//CD。
因为FH⊥AB，所以∠FHB=90°，
所以∠CDB=∠FHB=90°，所以CD⊥AB。
【答案】
CD⊥AB，理由如下：
因为∠1=∠ACB,所以DE//BC,所以∠2=∠BCD.
因为∠2=∠3,所以∠3=∠BCD,所以HF//CD.
因为FH⊥AB,所以∠FHB=90°,
所以∠CDB=∠FHB=90°,所以CD⊥AB.
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题时需要从已知角的关系出发，通过“角相等→线平行→角相等→线平行”的逻辑逐步推导，最终得到直线的垂直关系，熟练掌握平行线的相关定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
我们可以通过已知角的关系逐步推导直线的位置关系：首先，∠1与∠ACB是同位角，由∠1=∠ACB可判定DE//BC，利用平行线的性质可得∠2=∠BCD；再结合已知∠2=∠3，等量代换得到∠3=∠BCD，这两个角是同位角，可判定HF//CD；最后根据FH⊥AB，利用平行线的性质即可推出CD与AB的夹角为90°，得到二者的位置关系。
【解析】
解：CD⊥AB，理由如下：
因为∠1=∠ACB，所以DE//BC，所以∠2=∠BCD。
因为∠2=∠3，所以∠3=∠BCD，所以HF//CD。
因为FH⊥AB，所以∠FHB=90°，
所以∠CDB=∠FHB=90°，所以CD⊥AB。
【答案】
CD⊥AB，理由如下：
因为∠1=∠ACB,所以DE//BC,所以∠2=∠BCD.
因为∠2=∠3,所以∠3=∠BCD,所以HF//CD.
因为FH⊥AB,所以∠FHB=90°,
所以∠CDB=∠FHB=90°,所以CD⊥AB.
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题时需要从已知角的关系出发，通过“角相等→线平行→角相等→线平行”的逻辑逐步推导，最终得到直线的垂直关系，熟练掌握平行线的相关定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$AB⊥ BF$，$CD⊥ BF$，$∠1=∠2$，试说明：$∠3=∠E$。
答案
解:因为AB⊥BF,CD⊥BF,
所以∠ABD=∠CDF=90°,所以AB//CD.
因为∠1=∠2,所以AB//EF,
所以CD//EF,所以∠3=∠E.
所以∠ABD=∠CDF=90°,所以AB//CD.
因为∠1=∠2,所以AB//EF,
所以CD//EF,所以∠3=∠E.
解析
【分析】
要证明∠3=∠E，可先推导CD与EF平行，再利用平行线的性质得到结论。首先观察已知的垂直条件，可先推出AB与CD平行；再结合∠1=∠2的条件，推出AB与EF平行；根据平行的传递性得到CD//EF后，即可由平行线的同位角相等得到∠3=∠E。
【解析】
解：因为$AB⊥ BF$，$CD⊥ BF$，
所以$∠ ABD=∠ CDF=90°$，根据同位角相等，两直线平行，可得$AB// CD$。
又因为$∠ 1=∠ 2$，根据同位角相等，两直线平行，可得$AB// EF$。
根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$CD// EF$。
最后根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ 3=∠ E$。
【答案】
解:因为AB⊥BF,CD⊥BF,
所以∠ABD=∠CDF=90°,所以AB//CD.
因为∠1=∠2,所以AB//EF,
所以CD//EF,所以∠3=∠E.
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；平行公理推论
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础综合题，解题时需要理清平行关系的推导逻辑，注意区分平行线的判定和性质的应用场景，熟练掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明∠3=∠E，可先推导CD与EF平行，再利用平行线的性质得到结论。首先观察已知的垂直条件，可先推出AB与CD平行；再结合∠1=∠2的条件，推出AB与EF平行；根据平行的传递性得到CD//EF后，即可由平行线的同位角相等得到∠3=∠E。
【解析】
解：因为$AB⊥ BF$，$CD⊥ BF$，
所以$∠ ABD=∠ CDF=90°$，根据同位角相等，两直线平行，可得$AB// CD$。
又因为$∠ 1=∠ 2$，根据同位角相等，两直线平行，可得$AB// EF$。
根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$CD// EF$。
最后根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ 3=∠ E$。
【答案】
解:因为AB⊥BF,CD⊥BF,
所以∠ABD=∠CDF=90°,所以AB//CD.
因为∠1=∠2,所以AB//EF,
所以CD//EF,所以∠3=∠E.
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；平行公理推论
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础综合题，解题时需要理清平行关系的推导逻辑，注意区分平行线的判定和性质的应用场景，熟练掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. 如图，AD既是三角形ABC的高，也是∠BAC的平分线，点G在线段BD上，过点G作EG⊥BC，交CA的延长线于点E，∠E与∠AFE的度数相等吗？为什么？
答案
解:∠E=∠AFE.理由如下：
因为AD既是三角形ABC的高,也是∠BAC的平分线,
所以AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,所以∠ADC=90°.
因为EG⊥BC,所以∠EGC=90°,
所以∠EGC=∠ADC,所以AD//EG,
所以∠CAD=∠E,∠BAD=∠AFE,
所以∠E=∠AFE.
因为AD既是三角形ABC的高,也是∠BAC的平分线,
所以AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,所以∠ADC=90°.
因为EG⊥BC,所以∠EGC=90°,
所以∠EGC=∠ADC,所以AD//EG,
所以∠CAD=∠E,∠BAD=∠AFE,
所以∠E=∠AFE.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：首先AD是△ABC的高，可得AD⊥BC；AD是∠BAC的角平分线，可得∠BAD=∠CAD；又已知EG⊥BC。第一步先根据两条直线都垂直于BC，可得AD与EG的同位角相等，从而判定AD//EG；第二步利用平行线的性质，分别找到与∠E、∠AFE相等的角，即∠E和∠CAD是同位角、∠AFE和∠BAD是内错角，二者分别相等；最后结合角平分线的∠BAD=∠CAD，等量代换即可推出∠E和∠AFE相等。
【解析】
解：∠E=∠AFE，理由如下：
因为AD既是三角形ABC的高，也是∠BAC的平分线，
所以AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，所以∠ADC=90°，
因为EG⊥BC，所以∠EGC=90°，
所以∠EGC=∠ADC，所以AD//EG，
所以∠CAD=∠E，∠BAD=∠AFE，
所以∠E=∠AFE。
【答案】
∠E=∠AFE，理由如下：
因为AD既是三角形ABC的高,也是∠BAC的平分线,
所以AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,所以∠ADC=90°.
因为EG⊥BC,所以∠EGC=90°,
所以∠EGC=∠ADC,所以AD//EG,
所以∠CAD=∠E,∠BAD=∠AFE,
所以∠E=∠AFE.
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础证明题，重点考查平行线的判定与性质的综合运用，解题的核心是通过垂直关系得到平行线，再结合角平分线的性质完成角的等量代换，需要学生准确识别平行线中的同位角、内错角，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：首先AD是△ABC的高，可得AD⊥BC；AD是∠BAC的角平分线，可得∠BAD=∠CAD；又已知EG⊥BC。第一步先根据两条直线都垂直于BC，可得AD与EG的同位角相等，从而判定AD//EG；第二步利用平行线的性质，分别找到与∠E、∠AFE相等的角，即∠E和∠CAD是同位角、∠AFE和∠BAD是内错角，二者分别相等；最后结合角平分线的∠BAD=∠CAD，等量代换即可推出∠E和∠AFE相等。
【解析】
解：∠E=∠AFE，理由如下：
因为AD既是三角形ABC的高，也是∠BAC的平分线，
所以AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，所以∠ADC=90°，
因为EG⊥BC，所以∠EGC=90°，
所以∠EGC=∠ADC，所以AD//EG，
所以∠CAD=∠E，∠BAD=∠AFE，
所以∠E=∠AFE。
【答案】
∠E=∠AFE，理由如下：
因为AD既是三角形ABC的高,也是∠BAC的平分线,
所以AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,所以∠ADC=90°.
因为EG⊥BC,所以∠EGC=90°,
所以∠EGC=∠ADC,所以AD//EG,
所以∠CAD=∠E,∠BAD=∠AFE,
所以∠E=∠AFE.
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础证明题，重点考查平行线的判定与性质的综合运用，解题的核心是通过垂直关系得到平行线，再结合角平分线的性质完成角的等量代换，需要学生准确识别平行线中的同位角、内错角，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
