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1. 填空题(将正确答案填在括号里)。
(1) 一个圆锥和一个圆柱的底面积和高分别相等，圆锥的体积是$15\ \mathrm{cm}^3$，圆柱的体积是(
(2) 一个圆锥，它的底面积是$12\ \mathrm{cm}^2$，高是$15\ \mathrm{cm}$，这个圆锥的体积是(
(1) 一个圆锥和一个圆柱的底面积和高分别相等，圆锥的体积是$15\ \mathrm{cm}^3$，圆柱的体积是(
45
)$\mathrm{cm}^3$。(2) 一个圆锥，它的底面积是$12\ \mathrm{cm}^2$，高是$15\ \mathrm{cm}$，这个圆锥的体积是(
60
)$\mathrm{cm}^3$。答案
1. (1) 45
(2) 60
(2) 60
解析
【分析】
对于第(1)题，先回忆圆柱和圆锥的体积公式：圆柱体积=底面积×高，圆锥体积=$\frac{1}{3}$×底面积×高。当两者底面积和高都相等时，圆柱体积是圆锥体积的3倍，已知圆锥体积，用其乘3就能得到圆柱体积。
对于第(2)题，直接运用圆锥体积公式，把已知的底面积和高代入公式，计算时注意要乘$\frac{1}{3}$。
【解析】
(1) 因为等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，已知圆锥体积为$15\ \mathrm{cm}^3$，所以圆柱体积为：
$15×3=45\ \mathrm{cm}^3$
(2) 根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$表示底面积，$h$表示高），将$S=12\ \mathrm{cm}^2$，$h=15\ \mathrm{cm}$代入公式：
$V=\frac{1}{3}×12×15=60\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1) 45；(2) 60
【知识点】
圆柱与圆锥体积关系、圆锥体积计算公式
【点评】
本题考查圆柱和圆锥体积的基础应用，核心是掌握等底等高时圆柱与圆锥的体积倍数关系，以及熟练运用圆锥体积公式计算，侧重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
对于第(1)题，先回忆圆柱和圆锥的体积公式：圆柱体积=底面积×高，圆锥体积=$\frac{1}{3}$×底面积×高。当两者底面积和高都相等时，圆柱体积是圆锥体积的3倍，已知圆锥体积，用其乘3就能得到圆柱体积。
对于第(2)题，直接运用圆锥体积公式，把已知的底面积和高代入公式，计算时注意要乘$\frac{1}{3}$。
【解析】
(1) 因为等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，已知圆锥体积为$15\ \mathrm{cm}^3$，所以圆柱体积为：
$15×3=45\ \mathrm{cm}^3$
(2) 根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$表示底面积，$h$表示高），将$S=12\ \mathrm{cm}^2$，$h=15\ \mathrm{cm}$代入公式：
$V=\frac{1}{3}×12×15=60\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1) 45；(2) 60
【知识点】
圆柱与圆锥体积关系、圆锥体积计算公式
【点评】
本题考查圆柱和圆锥体积的基础应用，核心是掌握等底等高时圆柱与圆锥的体积倍数关系，以及熟练运用圆锥体积公式计算，侧重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
2. 判断题(正确的画“√”，错误的画“×”)。
(1) 从一个圆锥高的$\frac{1}{2}$处切下一个圆锥，这个圆锥的体积是原来的一半。 (
(2) 一个圆锥与一个圆柱的体积及底面积都相等，已知圆锥的高是$9\ \mathrm{cm}$，则圆柱的高是$27\ \mathrm{cm}$。 (
(1) 从一个圆锥高的$\frac{1}{2}$处切下一个圆锥，这个圆锥的体积是原来的一半。 (
×
)(2) 一个圆锥与一个圆柱的体积及底面积都相等，已知圆锥的高是$9\ \mathrm{cm}$，则圆柱的高是$27\ \mathrm{cm}$。 (
×
)答案
2. (1) ×
(2) ×
(2) ×
解析
【分析】
对于第(1)题：要判断切下的小圆锥体积是否为原圆锥的一半，需结合圆锥体积公式和相似体的性质分析。圆锥体积与底面半径的平方、高成正比，从高的$\frac{1}{2}$处切下的小圆锥和原圆锥是相似图形，相似比为$1:2$，体积比是相似比的立方，由此可判断体积关系。
对于第(2)题：已知圆锥和圆柱体积、底面积相等，根据圆柱和圆锥的体积公式推导两者高的关系。圆柱体积$V=Sh$，圆锥体积$V=\frac{1}{3}Sh$，当体积和底面积相等时，圆柱的高是圆锥高的$\frac{1}{3}$，据此计算圆柱的高并判断对错。
【解析】
(1) 设原圆锥的底面半径为$r$，高为$h$，则原圆锥体积$V_{原}=\frac{1}{3}π r^2 h$。
从高的$\frac{1}{2}$处切下的小圆锥与原圆锥相似，相似比为$\frac{1}{2}$，因此小圆锥的底面半径为$\frac{1}{2}r$，高为$\frac{1}{2}h$。
小圆锥体积$V_{小}=\frac{1}{3}π (\frac{1}{2}r)^2 × \frac{1}{2}h = \frac{1}{3}π × \frac{1}{4}r^2 × \frac{1}{2}h = \frac{1}{8}V_{原}$，并非$\frac{1}{2}V_{原}$，故该说法错误。
(2) 设圆柱和圆锥的底面积为$S$，圆柱的高为$h_{柱}$，圆锥的高$h_{锥}=9\ \mathrm{cm}$。
根据体积相等可得：$S h_{柱} = \frac{1}{3}S h_{锥}$，两边同时除以$S$得：$h_{柱} = \frac{1}{3}h_{锥} = \frac{1}{3} × 9 = 3\ \mathrm{cm}$，并非$27\ \mathrm{cm}$，故该说法错误。
【答案】
(1) ×；(2) ×
【知识点】
圆锥体积公式、圆柱体积公式、相似体体积比
【点评】
本题重点考查圆柱与圆锥的体积关系、相似圆锥的体积变化规律，解题核心是牢记体积公式，明确相似图形边长比与体积比的关系，避免混淆圆柱和圆锥高的比例关系。
【难度系数】
0.4
对于第(1)题：要判断切下的小圆锥体积是否为原圆锥的一半，需结合圆锥体积公式和相似体的性质分析。圆锥体积与底面半径的平方、高成正比，从高的$\frac{1}{2}$处切下的小圆锥和原圆锥是相似图形，相似比为$1:2$，体积比是相似比的立方，由此可判断体积关系。
对于第(2)题：已知圆锥和圆柱体积、底面积相等，根据圆柱和圆锥的体积公式推导两者高的关系。圆柱体积$V=Sh$，圆锥体积$V=\frac{1}{3}Sh$，当体积和底面积相等时，圆柱的高是圆锥高的$\frac{1}{3}$，据此计算圆柱的高并判断对错。
【解析】
(1) 设原圆锥的底面半径为$r$，高为$h$，则原圆锥体积$V_{原}=\frac{1}{3}π r^2 h$。
从高的$\frac{1}{2}$处切下的小圆锥与原圆锥相似，相似比为$\frac{1}{2}$，因此小圆锥的底面半径为$\frac{1}{2}r$，高为$\frac{1}{2}h$。
小圆锥体积$V_{小}=\frac{1}{3}π (\frac{1}{2}r)^2 × \frac{1}{2}h = \frac{1}{3}π × \frac{1}{4}r^2 × \frac{1}{2}h = \frac{1}{8}V_{原}$，并非$\frac{1}{2}V_{原}$，故该说法错误。
(2) 设圆柱和圆锥的底面积为$S$，圆柱的高为$h_{柱}$，圆锥的高$h_{锥}=9\ \mathrm{cm}$。
根据体积相等可得：$S h_{柱} = \frac{1}{3}S h_{锥}$，两边同时除以$S$得：$h_{柱} = \frac{1}{3}h_{锥} = \frac{1}{3} × 9 = 3\ \mathrm{cm}$，并非$27\ \mathrm{cm}$，故该说法错误。
【答案】
(1) ×；(2) ×
【知识点】
圆锥体积公式、圆柱体积公式、相似体体积比
【点评】
本题重点考查圆柱与圆锥的体积关系、相似圆锥的体积变化规律，解题核心是牢记体积公式，明确相似图形边长比与体积比的关系，避免混淆圆柱和圆锥高的比例关系。
【难度系数】
0.4
3. 求下列各圆锥的体积。
(1)
(2)
(1)
(2)
答案
3. (1) $10.8\ \mathrm{m}^3$
(2) $75.36\ \mathrm{dm}^3$
(2) $75.36\ \mathrm{dm}^3$
解析
【分析】
要计算圆锥的体积，首先需牢记圆锥体积公式：$ V = \frac{1}{3}Sh $（其中$ S $是圆锥的底面积，$ h $是圆锥的高）。对于每个圆锥，先确定其底面积（若已知底面半径或直径，需先计算出底面积）和高，再代入公式进行计算：
1. 第(1)题已知圆锥的底面积和高，直接代入公式计算即可；
2. 第(2)题已知底面直径和高，先根据直径求出半径，再计算底面积，最后代入体积公式求解。
【解析】
(1) 已知圆锥的底面积$ S = 5.4\ \mathrm{m}^2 $，高$ h = 6\ \mathrm{m} $，根据圆锥体积公式：
$V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} × 5.4 × 6 = 10.8\ \mathrm{m}^3$
(2) 已知圆锥底面直径$ d = 6\ \mathrm{dm} $，则底面半径$ r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{dm} $，高$ h = 8\ \mathrm{dm} $。
先计算底面积：
$S = π r^2 = 3.14 × 3^2 = 28.26\ \mathrm{dm}^2$
再代入圆锥体积公式：
$V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} × 28.26 × 8 = 75.36\ \mathrm{dm}^3$
【答案】
(1) $ 10.8\ \mathrm{m}^3 $；(2) $ 75.36\ \mathrm{dm}^3 $
【知识点】
1. 圆锥体积公式应用
2. 圆的面积计算
【点评】
本题主要考查圆锥体积的计算，解题关键是熟练掌握圆锥体积公式，注意计算时不要遗漏乘以$\frac{1}{3}$，同时若已知底面直径，需先转化为半径再计算底面积，计算过程中要保证数值运算的准确性。
【难度系数】
0.6
要计算圆锥的体积，首先需牢记圆锥体积公式：$ V = \frac{1}{3}Sh $（其中$ S $是圆锥的底面积，$ h $是圆锥的高）。对于每个圆锥，先确定其底面积（若已知底面半径或直径，需先计算出底面积）和高，再代入公式进行计算：
1. 第(1)题已知圆锥的底面积和高，直接代入公式计算即可；
2. 第(2)题已知底面直径和高，先根据直径求出半径，再计算底面积，最后代入体积公式求解。
【解析】
(1) 已知圆锥的底面积$ S = 5.4\ \mathrm{m}^2 $，高$ h = 6\ \mathrm{m} $，根据圆锥体积公式：
$V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} × 5.4 × 6 = 10.8\ \mathrm{m}^3$
(2) 已知圆锥底面直径$ d = 6\ \mathrm{dm} $，则底面半径$ r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{dm} $，高$ h = 8\ \mathrm{dm} $。
先计算底面积：
$S = π r^2 = 3.14 × 3^2 = 28.26\ \mathrm{dm}^2$
再代入圆锥体积公式：
$V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} × 28.26 × 8 = 75.36\ \mathrm{dm}^3$
【答案】
(1) $ 10.8\ \mathrm{m}^3 $；(2) $ 75.36\ \mathrm{dm}^3 $
【知识点】
1. 圆锥体积公式应用
2. 圆的面积计算
【点评】
本题主要考查圆锥体积的计算，解题关键是熟练掌握圆锥体积公式，注意计算时不要遗漏乘以$\frac{1}{3}$，同时若已知底面直径，需先转化为半径再计算底面积，计算过程中要保证数值运算的准确性。
【难度系数】
0.6
4. 一堆圆锥形的黄沙，底面周长是$25.12\ \mathrm{m}$，高是$1.5\ \mathrm{m}$，如果每立方米黄沙重$1.5\ \mathrm{t}$，那么这堆黄沙重多少吨？
答案
4. $37.68\ \mathrm{t}$
解析
【分析】
要计算这堆黄沙的重量，需先求出圆锥形黄沙的体积，再根据“总重量=体积×每立方米黄沙重量”计算。求圆锥体积需要知道底面积和高，题目已给出高，因此先通过底面周长求出底面半径，再计算底面积，最后代入圆锥体积公式求出体积，进而算出总重量。具体步骤：①由底面周长求半径；②由半径求底面积；③用圆锥体积公式求体积；④计算总重量。
【解析】
1. 求底面半径：
已知底面周长$C = 25.12\ \mathrm{m}$，根据圆的周长公式$C = 2π r$（$π$取3.14），可得半径$r = C÷(2π) = 25.12÷(2×3.14) = 4\ \mathrm{m}$。
2. 求底面积：
根据圆的面积公式$S = π r^2$，可得底面积$S = 3.14×4^2 = 50.24\ \mathrm{m^2}$。
3. 求圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V = \frac{1}{3}Sh$（$h$为高），代入数据得$V = \frac{1}{3}×50.24×1.5 = 25.12\ \mathrm{m^3}$。
4. 求黄沙总重量：
已知每立方米黄沙重$1.5\ \mathrm{t}$，则总重量为$25.12×1.5 = 37.68\ \mathrm{t}$。
【答案】
$37.68\ \mathrm{t}$
【知识点】
圆锥体积计算，圆的周长应用，质量计算
【点评】
本题属于圆锥体积的实际应用问题，综合考查了圆的周长、面积公式以及圆锥体积公式的运用，需要学生理清解题逻辑，注意圆锥体积公式中“$\frac{1}{3}$”的易错点，培养运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
要计算这堆黄沙的重量，需先求出圆锥形黄沙的体积，再根据“总重量=体积×每立方米黄沙重量”计算。求圆锥体积需要知道底面积和高，题目已给出高，因此先通过底面周长求出底面半径，再计算底面积，最后代入圆锥体积公式求出体积，进而算出总重量。具体步骤：①由底面周长求半径；②由半径求底面积；③用圆锥体积公式求体积；④计算总重量。
【解析】
1. 求底面半径：
已知底面周长$C = 25.12\ \mathrm{m}$，根据圆的周长公式$C = 2π r$（$π$取3.14），可得半径$r = C÷(2π) = 25.12÷(2×3.14) = 4\ \mathrm{m}$。
2. 求底面积：
根据圆的面积公式$S = π r^2$，可得底面积$S = 3.14×4^2 = 50.24\ \mathrm{m^2}$。
3. 求圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V = \frac{1}{3}Sh$（$h$为高），代入数据得$V = \frac{1}{3}×50.24×1.5 = 25.12\ \mathrm{m^3}$。
4. 求黄沙总重量：
已知每立方米黄沙重$1.5\ \mathrm{t}$，则总重量为$25.12×1.5 = 37.68\ \mathrm{t}$。
【答案】
$37.68\ \mathrm{t}$
【知识点】
圆锥体积计算，圆的周长应用，质量计算
【点评】
本题属于圆锥体积的实际应用问题，综合考查了圆的周长、面积公式以及圆锥体积公式的运用，需要学生理清解题逻辑，注意圆锥体积公式中“$\frac{1}{3}$”的易错点，培养运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图，一个直角梯形绕轴旋转一周后形成的立体图形的体积是多少？
答案
5. $549.5\ \mathrm{cm}^3$
解析
【分析】
首先明确直角梯形绕轴旋转后形成的立体图形是由一个圆柱和一个圆锥组合而成。其中圆柱的底面半径为5cm，高为6cm；圆锥的底面半径与圆柱相同为5cm，高为9-6=3cm。解题思路是分别根据圆柱和圆锥的体积公式计算各自体积，再将两者体积相加得到立体图形的总体积。
【解析】
1. 计算圆柱的体积：
根据圆柱体积公式 $ V_{\mathrm{圆柱}} = π r^2 h $，其中 $ r=5\ \mathrm{cm} $，$ h=6\ \mathrm{cm} $，代入得：
$ V_{\mathrm{圆柱}} = 3.14 × 5^2 × 6 = 3.14 × 25 × 6 = 471\ \mathrm{cm}^3 $
2. 计算圆锥的体积：
圆锥的高为 $ 9-6=3\ \mathrm{cm} $，根据圆锥体积公式 $ V_{\mathrm{圆锥}} = \frac{1}{3} π r^2 h' $，代入得：
$ V_{\mathrm{圆锥}} = \frac{1}{3} × 3.14 × 5^2 × 3 = 3.14 × 25 × 1 = 78.5\ \mathrm{cm}^3 $
3. 计算总体积：
将圆柱和圆锥的体积相加，$ V_{\mathrm{总}} = 471 + 78.5 = 549.5\ \mathrm{cm}^3 $
【答案】
$549.5\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆柱体积计算、圆锥体积计算
【点评】
本题考查组合立体图形的体积计算，关键是正确分析梯形旋转后形成的立体图形的组成，熟练运用圆柱和圆锥的体积公式进行计算。
【难度系数】
0.6
首先明确直角梯形绕轴旋转后形成的立体图形是由一个圆柱和一个圆锥组合而成。其中圆柱的底面半径为5cm，高为6cm；圆锥的底面半径与圆柱相同为5cm，高为9-6=3cm。解题思路是分别根据圆柱和圆锥的体积公式计算各自体积，再将两者体积相加得到立体图形的总体积。
【解析】
1. 计算圆柱的体积：
根据圆柱体积公式 $ V_{\mathrm{圆柱}} = π r^2 h $，其中 $ r=5\ \mathrm{cm} $，$ h=6\ \mathrm{cm} $，代入得：
$ V_{\mathrm{圆柱}} = 3.14 × 5^2 × 6 = 3.14 × 25 × 6 = 471\ \mathrm{cm}^3 $
2. 计算圆锥的体积：
圆锥的高为 $ 9-6=3\ \mathrm{cm} $，根据圆锥体积公式 $ V_{\mathrm{圆锥}} = \frac{1}{3} π r^2 h' $，代入得：
$ V_{\mathrm{圆锥}} = \frac{1}{3} × 3.14 × 5^2 × 3 = 3.14 × 25 × 1 = 78.5\ \mathrm{cm}^3 $
3. 计算总体积：
将圆柱和圆锥的体积相加，$ V_{\mathrm{总}} = 471 + 78.5 = 549.5\ \mathrm{cm}^3 $
【答案】
$549.5\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆柱体积计算、圆锥体积计算
【点评】
本题考查组合立体图形的体积计算，关键是正确分析梯形旋转后形成的立体图形的组成，熟练运用圆柱和圆锥的体积公式进行计算。
【难度系数】
0.6
