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1. 判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）。
（1）一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆柱的体积比圆锥的体积多$\frac{2}{3}$。 （$\quad$）
（2）把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的2倍。 （$\quad$）
（3）圆锥的底面周长扩大为原来的3倍，高不变，则它的体积扩大为原来的3倍。 （$\quad$）
（1）一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆柱的体积比圆锥的体积多$\frac{2}{3}$。 （$\quad$）
（2）把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的2倍。 （$\quad$）
（3）圆锥的底面周长扩大为原来的3倍，高不变，则它的体积扩大为原来的3倍。 （$\quad$）
答案
(1) ×
(2) √
(3) ×
(2) √
(3) ×
解析
【分析】
我们需要结合圆柱和圆锥的体积关系、底面周长与半径的变化规律来逐一判断每个小题：
1. 第(1)题：先明确等底等高时圆柱体积是圆锥的3倍，计算圆柱比圆锥多的体积占圆锥体积的比例，对比题目说法判断对错；
2. 第(2)题：削成最大的圆锥必然与圆柱等底等高，根据两者体积的份数关系，计算削去部分体积与圆锥体积的倍数关系；
3. 第(3)题：先由底面周长的扩大倍数推出底面半径的变化，再根据底面积与半径的平方关系，结合圆锥体积公式判断体积的变化倍数。
【解析】
(1) 设等底等高的圆锥体积为$V$，则圆柱体积为$3V$。圆柱比圆锥多的体积为$3V - V = 2V$，多的部分占圆锥体积的比例是$\frac{2V}{V}=2$，即圆柱体积比圆锥多2倍，而非$\frac{2}{3}$，所以该说法错误。
(2) 把圆柱削成最大的圆锥，此圆锥与圆柱等底等高，设圆锥体积为$V$，圆柱体积为$3V$，削去部分体积为$3V - V = 2V$，$2V÷ V=2$，即削去部分体积是圆锥体积的2倍，该说法正确。
(3) 圆锥底面周长扩大为原来的3倍，根据$C=2π r$，可知底面半径扩大为原来的3倍；底面积$S=π r^2$，则底面积扩大为原来的$3^2=9$倍。圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}Sh$，高不变，体积扩大为原来的9倍，而非3倍，所以该说法错误。
【答案】
(1) ×
(2) √
(3) ×
【知识点】
圆柱与圆锥体积关系、圆的周长与面积关系、圆锥体积计算
【点评】
本题主要考查圆柱和圆锥的体积核心关系，以及圆的周长、面积与半径的变化规律，需要准确把握单位“1”的确定和公式的灵活运用，避免混淆倍数关系。
【难度系数】
0.6
我们需要结合圆柱和圆锥的体积关系、底面周长与半径的变化规律来逐一判断每个小题：
1. 第(1)题：先明确等底等高时圆柱体积是圆锥的3倍，计算圆柱比圆锥多的体积占圆锥体积的比例，对比题目说法判断对错；
2. 第(2)题：削成最大的圆锥必然与圆柱等底等高，根据两者体积的份数关系，计算削去部分体积与圆锥体积的倍数关系；
3. 第(3)题：先由底面周长的扩大倍数推出底面半径的变化，再根据底面积与半径的平方关系，结合圆锥体积公式判断体积的变化倍数。
【解析】
(1) 设等底等高的圆锥体积为$V$，则圆柱体积为$3V$。圆柱比圆锥多的体积为$3V - V = 2V$，多的部分占圆锥体积的比例是$\frac{2V}{V}=2$，即圆柱体积比圆锥多2倍，而非$\frac{2}{3}$，所以该说法错误。
(2) 把圆柱削成最大的圆锥，此圆锥与圆柱等底等高，设圆锥体积为$V$，圆柱体积为$3V$，削去部分体积为$3V - V = 2V$，$2V÷ V=2$，即削去部分体积是圆锥体积的2倍，该说法正确。
(3) 圆锥底面周长扩大为原来的3倍，根据$C=2π r$，可知底面半径扩大为原来的3倍；底面积$S=π r^2$，则底面积扩大为原来的$3^2=9$倍。圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}Sh$，高不变，体积扩大为原来的9倍，而非3倍，所以该说法错误。
【答案】
(1) ×
(2) √
(3) ×
【知识点】
圆柱与圆锥体积关系、圆的周长与面积关系、圆锥体积计算
【点评】
本题主要考查圆柱和圆锥的体积核心关系，以及圆的周长、面积与半径的变化规律，需要准确把握单位“1”的确定和公式的灵活运用，避免混淆倍数关系。
【难度系数】
0.6
(1)两个底面积和体积分别相等的圆柱和圆锥，圆柱的高一定是圆锥高的($\quad$)。
A.3倍
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
A.3倍
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆圆柱和圆锥的体积公式。已知圆柱体积公式为$V = S h_{柱}$，圆锥体积公式为$V = \frac{1}{3} S h_{锥}$。题目给出圆柱和圆锥的底面积$S$与体积$V$都相等，我们可以通过设未知数的方式，分别表示出圆柱和圆锥的高，再计算两者高的比例关系。具体步骤为：先根据体积公式推导出各自的高，再用圆柱的高除以圆锥的高，得到两者的倍数关系。
【解析】
设圆柱和圆锥的底面积为$S$，体积为$V$。
1. 根据圆柱体积公式$V = S h_{柱}$，可得圆柱的高：$h_{柱} = \frac{V}{S}$；
2. 根据圆锥体积公式$V = \frac{1}{3} S h_{锥}$，可得圆锥的高：$h_{锥} = \frac{3V}{S}$；
3. 计算圆柱的高与圆锥高的比值：
$\frac{h_{柱}}{h_{锥}} = \frac{\frac{V}{S}}{\frac{3V}{S}} = \frac{1}{3}$，即圆柱的高是圆锥高的$\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
圆柱与圆锥的体积关系
【点评】
本题考查圆柱和圆锥体积公式的灵活运用，解题关键是抓住“底面积和体积相等”这一核心条件，通过公式推导得出两者高的比例关系，属于基础题型，有助于巩固对立体图形体积公式的理解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆圆柱和圆锥的体积公式。已知圆柱体积公式为$V = S h_{柱}$，圆锥体积公式为$V = \frac{1}{3} S h_{锥}$。题目给出圆柱和圆锥的底面积$S$与体积$V$都相等，我们可以通过设未知数的方式，分别表示出圆柱和圆锥的高，再计算两者高的比例关系。具体步骤为：先根据体积公式推导出各自的高，再用圆柱的高除以圆锥的高，得到两者的倍数关系。
【解析】
设圆柱和圆锥的底面积为$S$，体积为$V$。
1. 根据圆柱体积公式$V = S h_{柱}$，可得圆柱的高：$h_{柱} = \frac{V}{S}$；
2. 根据圆锥体积公式$V = \frac{1}{3} S h_{锥}$，可得圆锥的高：$h_{锥} = \frac{3V}{S}$；
3. 计算圆柱的高与圆锥高的比值：
$\frac{h_{柱}}{h_{锥}} = \frac{\frac{V}{S}}{\frac{3V}{S}} = \frac{1}{3}$，即圆柱的高是圆锥高的$\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
圆柱与圆锥的体积关系
【点评】
本题考查圆柱和圆锥体积公式的灵活运用，解题关键是抓住“底面积和体积相等”这一核心条件，通过公式推导得出两者高的比例关系，属于基础题型，有助于巩固对立体图形体积公式的理解。
【难度系数】
0.8
(2)一个圆锥的体积是$12\ \mathrm{cm}^3$，底面积是$4\ \mathrm{cm}^2$，高是($\quad$)$\mathrm{cm}$。
A.3
B.6
C.9
A.3
B.6
C.9
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆圆锥的体积计算公式：圆锥体积$V = \frac{1}{3} × \mathrm{底面积}S × \mathrm{高}h$。题目已知圆锥的体积和底面积，要求高，需要对体积公式进行变形，推导出求高的公式$h = \frac{3V}{S}$。之后将题目给出的体积和底面积数值代入变形后的公式，计算出高的具体数值，再匹配选项得出答案。
【解析】
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，变形得到求高的公式：
$h=\frac{3V}{S}$
将$V=12\ \mathrm{cm}^3$，$S=4\ \mathrm{cm}^2$代入公式：
$h=\frac{3×12}{4}=\frac{36}{4}=9\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
圆锥的体积公式
【点评】
本题考查圆锥体积公式的逆运用，解题核心是熟练掌握圆锥体积公式，并能根据已知条件对公式进行合理变形，代入数值计算即可，属于基础题型，侧重对公式掌握程度的考查。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆圆锥的体积计算公式：圆锥体积$V = \frac{1}{3} × \mathrm{底面积}S × \mathrm{高}h$。题目已知圆锥的体积和底面积，要求高，需要对体积公式进行变形，推导出求高的公式$h = \frac{3V}{S}$。之后将题目给出的体积和底面积数值代入变形后的公式，计算出高的具体数值，再匹配选项得出答案。
【解析】
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，变形得到求高的公式：
$h=\frac{3V}{S}$
将$V=12\ \mathrm{cm}^3$，$S=4\ \mathrm{cm}^2$代入公式：
$h=\frac{3×12}{4}=\frac{36}{4}=9\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
圆锥的体积公式
【点评】
本题考查圆锥体积公式的逆运用，解题核心是熟练掌握圆锥体积公式，并能根据已知条件对公式进行合理变形，代入数值计算即可，属于基础题型，侧重对公式掌握程度的考查。
【难度系数】
0.9
(3)把一段圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，已知削掉的部分重8 kg，则这段圆柱形钢材重($\quad$)kg。
A.8
B.12
C.16
A.8
B.12
C.16
答案
B
解析
【分析】
首先要明确，把圆柱削成最大的圆锥，这个圆锥和圆柱是等底等高的。根据圆柱和圆锥的体积公式，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，那么削掉的部分体积就是圆柱体积的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。由于钢材的密度均匀，重量和体积成正比，所以削掉部分的重量也占圆柱钢材总重量的$\frac{2}{3}$。已知削掉部分重8kg，要求圆柱钢材的重量，只需要用削掉部分的重量除以它占总重量的比例即可。
【解析】
1. 确定等底等高圆柱与圆锥的体积关系：
等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，因此削去部分的体积占圆柱体积的：
$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
2. 结合重量与体积的正比关系：
因为钢材密度均匀，重量比等于体积比，所以削去部分的重量占圆柱钢材总重量的$\frac{2}{3}$。
3. 计算圆柱钢材的重量：
圆柱钢材重量 = 削去部分重量÷$\frac{2}{3}$ = $8÷\frac{2}{3}=8×\frac{3}{2}=12$（kg）
【答案】
B
【知识点】
等底等高圆柱与圆锥体积关系、分数除法应用
【点评】
本题紧密结合圆柱与圆锥的核心体积关系，同时利用密度均匀时重量与体积的正比关系，考查学生对基础几何知识的理解和分数除法的实际应用能力，解题关键是找准削去部分重量对应的分率。
【难度系数】
0.7
首先要明确，把圆柱削成最大的圆锥，这个圆锥和圆柱是等底等高的。根据圆柱和圆锥的体积公式，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，那么削掉的部分体积就是圆柱体积的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。由于钢材的密度均匀，重量和体积成正比，所以削掉部分的重量也占圆柱钢材总重量的$\frac{2}{3}$。已知削掉部分重8kg，要求圆柱钢材的重量，只需要用削掉部分的重量除以它占总重量的比例即可。
【解析】
1. 确定等底等高圆柱与圆锥的体积关系：
等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，因此削去部分的体积占圆柱体积的：
$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
2. 结合重量与体积的正比关系：
因为钢材密度均匀，重量比等于体积比，所以削去部分的重量占圆柱钢材总重量的$\frac{2}{3}$。
3. 计算圆柱钢材的重量：
圆柱钢材重量 = 削去部分重量÷$\frac{2}{3}$ = $8÷\frac{2}{3}=8×\frac{3}{2}=12$（kg）
【答案】
B
【知识点】
等底等高圆柱与圆锥体积关系、分数除法应用
【点评】
本题紧密结合圆柱与圆锥的核心体积关系，同时利用密度均匀时重量与体积的正比关系，考查学生对基础几何知识的理解和分数除法的实际应用能力，解题关键是找准削去部分重量对应的分率。
【难度系数】
0.7
3. 一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等。已知圆锥的底面积是$16\ \mathrm{dm}^2$，圆柱的底面积是多少？
答案
$\boldsymbol{\dfrac{16}{3}}\ \mathrm{dm}^{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确圆柱和圆锥的体积公式：圆柱体积$V = S_{圆柱}h$，圆锥体积$V=\frac{1}{3}S_{圆锥}h$。题目中圆柱与圆锥的体积、高分别相等，我们可以利用这两个公式建立等式，消去相同的高和体积，推导出圆柱底面积与圆锥底面积的关系，再代入已知的圆锥底面积计算圆柱底面积。具体思路是：因为体积和高相等，所以$S_{圆柱}h=\frac{1}{3}S_{圆锥}h$，等式两边同时除以$h$，可得圆柱底面积是圆锥底面积的$\frac{1}{3}$，进而求出结果。
【解析】
设圆柱和圆锥的高为$h$，体积为$V$。
1. 根据圆柱体积公式$V = S_{圆柱}h$，可得：$S_{圆柱}=\frac{V}{h}$；
2. 根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}S_{圆锥}h$，可得：$S_{圆锥}=\frac{3V}{h}$；
3. 由于圆柱和圆锥体积、高均相等，因此$S_{圆柱}=\frac{1}{3}S_{圆锥}$；
4. 将$S_{圆锥}=16\ \mathrm{dm}^2$代入，得圆柱底面积：
$S_{圆柱}=\frac{1}{3}×16=\frac{16}{3}\ \mathrm{dm}^2$
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{16}{3}}\ \mathrm{dm}^{2}$
【知识点】
圆柱与圆锥体积关系
【点评】
本题核心考查圆柱和圆锥体积公式的灵活应用，关键是抓住“体积和高相等”的条件，推导出两者底面积的比例关系。需要注意圆锥体积公式中$\frac{1}{3}$的系数，这是解题的易错点，牢记公式才能准确推导计算。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需明确圆柱和圆锥的体积公式：圆柱体积$V = S_{圆柱}h$，圆锥体积$V=\frac{1}{3}S_{圆锥}h$。题目中圆柱与圆锥的体积、高分别相等，我们可以利用这两个公式建立等式，消去相同的高和体积，推导出圆柱底面积与圆锥底面积的关系，再代入已知的圆锥底面积计算圆柱底面积。具体思路是：因为体积和高相等，所以$S_{圆柱}h=\frac{1}{3}S_{圆锥}h$，等式两边同时除以$h$，可得圆柱底面积是圆锥底面积的$\frac{1}{3}$，进而求出结果。
【解析】
设圆柱和圆锥的高为$h$，体积为$V$。
1. 根据圆柱体积公式$V = S_{圆柱}h$，可得：$S_{圆柱}=\frac{V}{h}$；
2. 根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}S_{圆锥}h$，可得：$S_{圆锥}=\frac{3V}{h}$；
3. 由于圆柱和圆锥体积、高均相等，因此$S_{圆柱}=\frac{1}{3}S_{圆锥}$；
4. 将$S_{圆锥}=16\ \mathrm{dm}^2$代入，得圆柱底面积：
$S_{圆柱}=\frac{1}{3}×16=\frac{16}{3}\ \mathrm{dm}^2$
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{16}{3}}\ \mathrm{dm}^{2}$
【知识点】
圆柱与圆锥体积关系
【点评】
本题核心考查圆柱和圆锥体积公式的灵活应用，关键是抓住“体积和高相等”的条件，推导出两者底面积的比例关系。需要注意圆锥体积公式中$\frac{1}{3}$的系数，这是解题的易错点，牢记公式才能准确推导计算。
【难度系数】
0.6
4. 一个圆柱和一个圆锥的高相等，体积之比是$5:2$。已知圆柱的底面积是$15\ \mathrm{cm}^2$，圆锥的底面积是多少平方厘米？
答案
设圆柱和圆锥的高均为$h\ \mathrm{cm}$。
$V_{\mathrm{圆柱}}=15h\ (\mathrm{cm}^{3})$
$V_{\mathrm{圆锥}}=V_{\mathrm{圆柱}}÷5×2=15h÷5×2=$
$6h\ (\mathrm{cm}^{3})$
$6h×3÷ h=18\ (\mathrm{cm}^{2})$
$V_{\mathrm{圆柱}}=15h\ (\mathrm{cm}^{3})$
$V_{\mathrm{圆锥}}=V_{\mathrm{圆柱}}÷5×2=15h÷5×2=$
$6h\ (\mathrm{cm}^{3})$
$6h×3÷ h=18\ (\mathrm{cm}^{2})$
解析
【分析】
首先，回忆圆柱和圆锥的体积公式：圆柱体积$V_{圆柱}=S_{圆柱}h$，圆锥体积$V_{圆锥}=\frac{1}{3}S_{圆锥}h$。题目中圆柱和圆锥高相等，体积比为$5:2$，已知圆柱底面积，求圆锥底面积。我们可以先设它们的高为$h$，用圆柱底面积表示出圆柱体积；再根据体积比求出圆锥体积；最后通过圆锥体积公式的变形$S_{圆锥}=3V_{圆锥}÷h$计算底面积，高$h$会在计算中约去，无需具体数值。
【解析】
设圆柱和圆锥的高均为$h\ \mathrm{cm}$。
1. 计算圆柱体积：
$V_{\mathrm{圆柱}}=S_{\mathrm{圆柱}}h=15h\ (\mathrm{cm}^{3})$
2. 根据体积比求圆锥体积：
因为圆柱与圆锥体积比是$5:2$，所以圆锥体积为圆柱体积的$\frac{2}{5}$，即
$V_{\mathrm{圆锥}}=15h÷5×2=6h\ (\mathrm{cm}^{3})$
3. 推导圆锥底面积：
由$V_{\mathrm{圆锥}}=\frac{1}{3}S_{\mathrm{圆锥}}h$变形得$S_{\mathrm{圆锥}}=3V_{\mathrm{圆锥}}÷h$，代入数据：
$S_{\mathrm{圆锥}}=6h×3÷h=18\ (\mathrm{cm}^{2})$
【答案】
$18$平方厘米
【知识点】
圆柱圆锥体积计算、比例的应用
【点评】
本题考查圆柱和圆锥体积公式的灵活运用，解题核心是利用高相等的条件，通过体积比建立数量关系，计算时需注意圆锥体积公式中的$\frac{1}{3}$，避免因遗漏该系数导致结果错误。
【难度系数】
0.6
首先，回忆圆柱和圆锥的体积公式：圆柱体积$V_{圆柱}=S_{圆柱}h$，圆锥体积$V_{圆锥}=\frac{1}{3}S_{圆锥}h$。题目中圆柱和圆锥高相等，体积比为$5:2$，已知圆柱底面积，求圆锥底面积。我们可以先设它们的高为$h$，用圆柱底面积表示出圆柱体积；再根据体积比求出圆锥体积；最后通过圆锥体积公式的变形$S_{圆锥}=3V_{圆锥}÷h$计算底面积，高$h$会在计算中约去，无需具体数值。
【解析】
设圆柱和圆锥的高均为$h\ \mathrm{cm}$。
1. 计算圆柱体积：
$V_{\mathrm{圆柱}}=S_{\mathrm{圆柱}}h=15h\ (\mathrm{cm}^{3})$
2. 根据体积比求圆锥体积：
因为圆柱与圆锥体积比是$5:2$，所以圆锥体积为圆柱体积的$\frac{2}{5}$，即
$V_{\mathrm{圆锥}}=15h÷5×2=6h\ (\mathrm{cm}^{3})$
3. 推导圆锥底面积：
由$V_{\mathrm{圆锥}}=\frac{1}{3}S_{\mathrm{圆锥}}h$变形得$S_{\mathrm{圆锥}}=3V_{\mathrm{圆锥}}÷h$，代入数据：
$S_{\mathrm{圆锥}}=6h×3÷h=18\ (\mathrm{cm}^{2})$
【答案】
$18$平方厘米
【知识点】
圆柱圆锥体积计算、比例的应用
【点评】
本题考查圆柱和圆锥体积公式的灵活运用，解题核心是利用高相等的条件，通过体积比建立数量关系，计算时需注意圆锥体积公式中的$\frac{1}{3}$，避免因遗漏该系数导致结果错误。
【难度系数】
0.6
