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例2 判断:在一道乘法算式中,如果两个乘数都乘5,那么积也要乘5。 ()
【错解】√
【分析】本题错在没有准确理解积的变化规律。根据积的变化规律:一个乘数不变,另一个乘数乘几,得到的积就等于原来的积乘几。如果两个乘数各乘一次5,积要随着乘数乘两次5,所以积要乘$5×5=25$。
【答案】×
【错解】√
【分析】本题错在没有准确理解积的变化规律。根据积的变化规律:一个乘数不变,另一个乘数乘几,得到的积就等于原来的积乘几。如果两个乘数各乘一次5,积要随着乘数乘两次5,所以积要乘$5×5=25$。
【答案】×
答案
5×5=25
×
×
解析
【分析】
拿到这道判断题，我们首先要围绕积的变化规律展开思考，不能直接看到两个乘数都乘5就误以为积只乘5。正确的思考逻辑是分步拆解乘数的变化：第一步先假设其中一个乘数乘5，另一个乘数保持不变，此时积会先跟着乘5；第二步再让第二个乘数也乘5，此时已经完成第一次变化的第一个乘数保持不变，积就要在之前乘5的基础上再乘一次5，也就是积总共要乘5×5=25，显然和题干说的积乘5不符，由此可以判断题干说法错误。
【解析】
我们可以通过代数推导验证结论：
设原乘法算式的两个乘数分别为a、b，原积为c，可得原式：
$a × b = c$
当两个乘数都乘5后，新的算式为：
$(a× 5) × (b× 5)$
根据乘法结合律对算式进行整理：
$= a × b × 5 × 5$
$= c × 25$
可以得出新的积是原来积的25倍，并非题干所说的乘5，因此题干说法错误。
【答案】
×
【知识点】
积的变化规律，乘法结合律
【点评】
这是积的变化规律板块的典型易错题，很多刚接触该知识点的同学会混淆单个乘数变化和两个乘数同时变化的规律，错误认为两个乘数同时乘5时积也只乘5，忽略了两个乘数分别变化时，积的总变化倍数是两个乘数变化倍数的乘积，做题时分步拆解乘数的变化过程就能避免这类概念错误。
【难度系数】
0.6
拿到这道判断题，我们首先要围绕积的变化规律展开思考，不能直接看到两个乘数都乘5就误以为积只乘5。正确的思考逻辑是分步拆解乘数的变化：第一步先假设其中一个乘数乘5，另一个乘数保持不变，此时积会先跟着乘5；第二步再让第二个乘数也乘5，此时已经完成第一次变化的第一个乘数保持不变，积就要在之前乘5的基础上再乘一次5，也就是积总共要乘5×5=25，显然和题干说的积乘5不符，由此可以判断题干说法错误。
【解析】
我们可以通过代数推导验证结论：
设原乘法算式的两个乘数分别为a、b，原积为c，可得原式：
$a × b = c$
当两个乘数都乘5后，新的算式为：
$(a× 5) × (b× 5)$
根据乘法结合律对算式进行整理：
$= a × b × 5 × 5$
$= c × 25$
可以得出新的积是原来积的25倍，并非题干所说的乘5，因此题干说法错误。
【答案】
×
【知识点】
积的变化规律，乘法结合律
【点评】
这是积的变化规律板块的典型易错题，很多刚接触该知识点的同学会混淆单个乘数变化和两个乘数同时变化的规律，错误认为两个乘数同时乘5时积也只乘5，忽略了两个乘数分别变化时，积的总变化倍数是两个乘数变化倍数的乘积，做题时分步拆解乘数的变化过程就能避免这类概念错误。
【难度系数】
0.6
变式训练4 判断题。
(1)两个数相乘,一个乘数不变,另一个乘数乘4,得到的积等于原来的积乘2。
(
(2)两个数相乘,一个乘数加23,另一个乘数减23,积不变。 (
(3)两个数相乘,一个乘数乘6,另一个乘数也乘6,得到的积等于原来的积乘12。
(
(1)两个数相乘,一个乘数不变,另一个乘数乘4,得到的积等于原来的积乘2。
(
×
)(2)两个数相乘,一个乘数加23,另一个乘数减23,积不变。 (
×
)(3)两个数相乘,一个乘数乘6,另一个乘数也乘6,得到的积等于原来的积乘12。
(
×
)答案
变式训练4 (1)× (2)× (3)×
解析
【分析】
我们可以借助积的变化规律逐个判断题目的正误：首先回忆积的变化核心规则，两个数相乘时，乘数的变化会对应引起积的变化，无需复杂计算，直接对照规则，必要时举简单实例验证即可。第(1)题对照“一个乘数不变，另一个乘数乘几，积就同步乘几”的规则，另一个乘数乘4时积理应乘4，和题目描述矛盾，可直接判断错误。第(2)题，积不变的前提是一个乘数乘某个非0数、另一个乘数除以相同的数，并非加减同一个数，随便举两个简单数试算就能发现积会改变，判断错误。第(3)题，两个乘数同时乘6，积要连续乘两次6，也就是乘6×6=36，和题目说的乘12矛盾，判断错误。
【解析】
(1) 根据积的变化规律：一个乘数不变，另一个乘数乘4，得到的积等于原来的积乘4，并非乘2，因此该说法错误。
(2) 积不变的性质不支持“一个乘数加23，另一个乘数减23”的操作，举反例：取两个数都是10，原积为10×10=100，变化后为(10+23)×(10-23)=-429，和原积完全不同，因此该说法错误。
(3) 两个乘数分别乘6，积的变化是乘6再乘6，即乘6×6=36，并非原来的积乘12，因此该说法错误。
【答案】
(1)× (2)× (3)×
【知识点】
积的变化规律
【点评】
本题是积的变化规律的基础辨析题，很容易让学生把积的变化性质和和差的“和不变（一个加数加一个数、另一个减同一个数和不变）”的性质混淆，要注意区分乘除类的积变化规律和加减类的和差变化规律的差异，避免凭直觉出错。
【难度系数】
0.7
我们可以借助积的变化规律逐个判断题目的正误：首先回忆积的变化核心规则，两个数相乘时，乘数的变化会对应引起积的变化，无需复杂计算，直接对照规则，必要时举简单实例验证即可。第(1)题对照“一个乘数不变，另一个乘数乘几，积就同步乘几”的规则，另一个乘数乘4时积理应乘4，和题目描述矛盾，可直接判断错误。第(2)题，积不变的前提是一个乘数乘某个非0数、另一个乘数除以相同的数，并非加减同一个数，随便举两个简单数试算就能发现积会改变，判断错误。第(3)题，两个乘数同时乘6，积要连续乘两次6，也就是乘6×6=36，和题目说的乘12矛盾，判断错误。
【解析】
(1) 根据积的变化规律：一个乘数不变，另一个乘数乘4，得到的积等于原来的积乘4，并非乘2，因此该说法错误。
(2) 积不变的性质不支持“一个乘数加23，另一个乘数减23”的操作，举反例：取两个数都是10，原积为10×10=100，变化后为(10+23)×(10-23)=-429，和原积完全不同，因此该说法错误。
(3) 两个乘数分别乘6，积的变化是乘6再乘6，即乘6×6=36，并非原来的积乘12，因此该说法错误。
【答案】
(1)× (2)× (3)×
【知识点】
积的变化规律
【点评】
本题是积的变化规律的基础辨析题，很容易让学生把积的变化性质和和差的“和不变（一个加数加一个数、另一个减同一个数和不变）”的性质混淆，要注意区分乘除类的积变化规律和加减类的和差变化规律的差异，避免凭直觉出错。
【难度系数】
0.7
变式训练5 根据$25×60=1500$填写下面的算式。
$( )×30=750$ $25×( )=150$
$50×( )=1500$ $( )×( )=300$
$( )×30=750$ $25×( )=150$
$50×( )=1500$ $( )×( )=300$
答案
变式训练5 25 6 30 5 60(最后两空答案不唯一)
解析
【分析】
我们可以依托已知等式25×60=1500，结合积的变化规律逐个推导括号内的数：首先观察每个待求算式的积、已知因数和原式对应部分的倍数关系，再根据“因数扩大/缩小多少倍，积随之对应扩大/缩小相同倍数”的规律反向推导未知因数，最后一组乘积为300的算式，只要满足两数乘积为300即可，答案不唯一。
【解析】
1. 推导第一个空：
对比原式25×60=1500，待求式中第二个因数30=60÷2，积750=1500÷2，一个因数除以2、积也除以2，说明另一个因数不变，因此括号内填25。
2. 推导第二个空：
对比原式，待求式中第一个因数25不变，积150=1500÷10，说明第二个因数也要对应除以10，即60÷10=6，括号内填6。
3. 推导第三个空：
对比原式，待求式中第一个因数50=25×2，积仍为1500不变，说明第二个因数要对应除以2，即60÷2=30，括号内填30。
4. 推导最后两个空：
目标积300=1500÷5，只需两个因数乘积为300即可，示例答案为5×60=300，也可填25×12、10×30等，答案不唯一。
【答案】
25；6；30；5；60（最后两空答案不唯一）
【知识点】
积的变化规律，整数乘法
【点评】
本题依托给定的基础乘法等式，考察学生对积的变化规律的掌握程度，前三个空可以直接通过和原式的倍数对比快速得出，最后一组开放填空可以发散学生思维，巩固因数和积的联动变化关系，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.8
我们可以依托已知等式25×60=1500，结合积的变化规律逐个推导括号内的数：首先观察每个待求算式的积、已知因数和原式对应部分的倍数关系，再根据“因数扩大/缩小多少倍，积随之对应扩大/缩小相同倍数”的规律反向推导未知因数，最后一组乘积为300的算式，只要满足两数乘积为300即可，答案不唯一。
【解析】
1. 推导第一个空：
对比原式25×60=1500，待求式中第二个因数30=60÷2，积750=1500÷2，一个因数除以2、积也除以2，说明另一个因数不变，因此括号内填25。
2. 推导第二个空：
对比原式，待求式中第一个因数25不变，积150=1500÷10，说明第二个因数也要对应除以10，即60÷10=6，括号内填6。
3. 推导第三个空：
对比原式，待求式中第一个因数50=25×2，积仍为1500不变，说明第二个因数要对应除以2，即60÷2=30，括号内填30。
4. 推导最后两个空：
目标积300=1500÷5，只需两个因数乘积为300即可，示例答案为5×60=300，也可填25×12、10×30等，答案不唯一。
【答案】
25；6；30；5；60（最后两空答案不唯一）
【知识点】
积的变化规律，整数乘法
【点评】
本题依托给定的基础乘法等式，考察学生对积的变化规律的掌握程度，前三个空可以直接通过和原式的倍数对比快速得出，最后一组开放填空可以发散学生思维，巩固因数和积的联动变化关系，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.8
变式训练6 已知$☆×△=350$,那么$(☆×2)×△=( )$;$☆×(3×△)=( )$;
$☆×(△÷7)=( )$。
$☆×(△÷7)=( )$。
答案
变式训练6 700 1050 50
解析
【分析】
这道题不需要求出☆和△各自的具体数值，我们可以利用乘法结合律对给出的新算式进行变形，将已知条件☆×△=350作为整体代入，结合积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也随之乘几或除以几，就可以快速算出结果。第一步先处理第一个算式，把括号去掉重新组合因数，把☆和△凑在一起；第二步同理处理第二个算式；第三步处理带除法的第三个算式，变形后代入已知的乘积计算即可。
【解析】
1. 计算$(☆×2)×△$：
根据乘法结合律调整运算顺序：
$(☆×2)×△ = ☆×2×△ = (☆×△)×2$
将$☆×△=350$代入，得：$350×2=700$。
2. 计算$☆×(3×△)$：
利用乘法结合律变形：
$☆×(3×△) = ☆×3×△ = (☆×△)×3$
将$☆×△=350$代入，得：$350×3=1050$。
3. 计算$☆×(△÷7)$：
去括号调整运算顺序：
$☆×(△÷7) = ☆×△÷7$
将$☆×△=350$代入，得：$350÷7=50$。
【答案】700；1050；50
【知识点】积的变化规律，乘法结合律
【点评】本题通过整体代换的思路，无需求解两个未知图形代表的具体数值，直接利用运算律将算式转化为已知乘积的形式，重点考察学生对积的变化规律的灵活运用，帮助学生建立整体代换的数学思维。
【难度系数】0.8
这道题不需要求出☆和△各自的具体数值，我们可以利用乘法结合律对给出的新算式进行变形，将已知条件☆×△=350作为整体代入，结合积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也随之乘几或除以几，就可以快速算出结果。第一步先处理第一个算式，把括号去掉重新组合因数，把☆和△凑在一起；第二步同理处理第二个算式；第三步处理带除法的第三个算式，变形后代入已知的乘积计算即可。
【解析】
1. 计算$(☆×2)×△$：
根据乘法结合律调整运算顺序：
$(☆×2)×△ = ☆×2×△ = (☆×△)×2$
将$☆×△=350$代入，得：$350×2=700$。
2. 计算$☆×(3×△)$：
利用乘法结合律变形：
$☆×(3×△) = ☆×3×△ = (☆×△)×3$
将$☆×△=350$代入，得：$350×3=1050$。
3. 计算$☆×(△÷7)$：
去括号调整运算顺序：
$☆×(△÷7) = ☆×△÷7$
将$☆×△=350$代入，得：$350÷7=50$。
【答案】700；1050；50
【知识点】积的变化规律，乘法结合律
【点评】本题通过整体代换的思路，无需求解两个未知图形代表的具体数值，直接利用运算律将算式转化为已知乘积的形式，重点考察学生对积的变化规律的灵活运用，帮助学生建立整体代换的数学思维。
【难度系数】0.8
变式训练7 为迎接全国各地游客,洛阳某公园准备对一个长15米的长方形牡丹园进行扩建。这个牡丹园原来的面积是120平方米。
(1)如果宽不变,长增加到45米,扩建后的面积是多少?
(2)如果宽不变,长增加了45米,扩建后的面积是多少?
(1)如果宽不变,长增加到45米,扩建后的面积是多少?
(2)如果宽不变,长增加了45米,扩建后的面积是多少?
答案
变式训练7
(1)$45÷15=3$ $120×3=360$(平方米)
答:扩建后的面积是360平方米。
(2)$45+15=60$(米) $60÷15=4$
$120×4=480$(平方米)
答:扩建后的面积是480平方米。
(1)$45÷15=3$ $120×3=360$(平方米)
答:扩建后的面积是360平方米。
(2)$45+15=60$(米) $60÷15=4$
$120×4=480$(平方米)
答:扩建后的面积是480平方米。
解析
【分析】
这道题的核心是利用长方形宽不变时面积随长的变化规律求解，解题的关键是先区分“长增加到”和“长增加了”的不同含义：“增加到45米”指新长的最终数值就是45米，“增加了45米”指在原长的基础上再多出45米。我们可以不用先单独算出宽，直接结合积的变化规律：宽不变时，长扩大几倍，面积就同步扩大几倍，先求出新长是原长的几倍，再用原面积乘对应倍数就能快速得到扩建后的面积，计算过程更简便。
【解析】
解：我们可以通过积的变化规律分步计算，也可以先求原宽再算新面积，两种方法结果一致：
(1) 第一步：计算新长是原长的倍数
已知原长15米，长增加到45米，倍数为：$45÷15=3$
第二步：宽不变，面积随长同步扩大3倍
扩建后面积为：$120×3=360$（平方米）
(2) 第一步：计算扩建后的总长度
已知原长15米，长增加了45米，新的总长度为：$15+45=60$（米）
第二步：计算新长是原长的倍数：$60÷15=4$
第三步：宽不变，面积随长同步扩大4倍
扩建后面积为：$120×4=480$（平方米）
【答案】
(1) 扩建后的面积是360平方米；(2) 扩建后的面积是480平方米。
【知识点】
1.长方形面积计算 2.积的变化规律 3.增量概念辨析
【点评】
本题的高频易错点是混淆“增加到”和“增加了”的语义，不少同学会误把第二问的总长度直接当成45米计算导致丢分，利用宽不变时长与面积的正比例关系，可以跳过求宽的步骤简化运算，既提升解题速度也能减少计算失误。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是利用长方形宽不变时面积随长的变化规律求解，解题的关键是先区分“长增加到”和“长增加了”的不同含义：“增加到45米”指新长的最终数值就是45米，“增加了45米”指在原长的基础上再多出45米。我们可以不用先单独算出宽，直接结合积的变化规律：宽不变时，长扩大几倍，面积就同步扩大几倍，先求出新长是原长的几倍，再用原面积乘对应倍数就能快速得到扩建后的面积，计算过程更简便。
【解析】
解：我们可以通过积的变化规律分步计算，也可以先求原宽再算新面积，两种方法结果一致：
(1) 第一步：计算新长是原长的倍数
已知原长15米，长增加到45米，倍数为：$45÷15=3$
第二步：宽不变，面积随长同步扩大3倍
扩建后面积为：$120×3=360$（平方米）
(2) 第一步：计算扩建后的总长度
已知原长15米，长增加了45米，新的总长度为：$15+45=60$（米）
第二步：计算新长是原长的倍数：$60÷15=4$
第三步：宽不变，面积随长同步扩大4倍
扩建后面积为：$120×4=480$（平方米）
【答案】
(1) 扩建后的面积是360平方米；(2) 扩建后的面积是480平方米。
【知识点】
1.长方形面积计算 2.积的变化规律 3.增量概念辨析
【点评】
本题的高频易错点是混淆“增加到”和“增加了”的语义，不少同学会误把第二问的总长度直接当成45米计算导致丢分，利用宽不变时长与面积的正比例关系，可以跳过求宽的步骤简化运算，既提升解题速度也能减少计算失误。
【难度系数】
0.7
