14. 如图,在矩形ABCD中,$BC=20$ cm,点P和点Q分别从点B和点D出发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动,点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s,则最快s后,四边形ABPQ成为矩形.

4

设最快$ t $秒后，四边形$ ABPQ $成为矩形。
因为四边形$ ABPQ $为矩形，所以$ AQ=BP $。
已知矩形$ ABCD $中$ BC=AD=20\ \mathrm{cm} $，点$ P $速度为$ 3\ \mathrm{cm/s} $，点$ Q $速度为$ 2\ \mathrm{cm/s} $，
则$ BP=3t $，$ AQ=20-2t $，
列方程：$ 3t=20-2t $，
解得$ t=4 $。

15. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=4$,$AC=6$,D,E分别是BC,AD的中点,$AF// BC$,并交CE的延长线于点F,连接BF,则四边形AFBD的面积为.

12

1. 计算$△ ABC$的面积：$\because ∠ BAC=90°$，$AB=4$，$AC=6$，$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×4×6=12$。
2. 求$△ ABD$的面积：$\because D$是$BC$中点，中线将三角形分成面积相等的两部分，$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=6$。
3. 证明$△ AFE≌△ DCE$：$\because AF// BC$，$\therefore ∠ FAE=∠ CDE$；$\because E$是$AD$中点，$\therefore AE=DE$；又$∠ AEF=∠ DEC$（对顶角相等），$\therefore △ AFE≌△ DCE$（ASA），得$AF=CD$。
4. 判定四边形$AFBD$是平行四边形：$\because D$是$BC$中点，$\therefore CD=BD$，结合$AF=CD$得$AF=BD$，又$AF// BD$，$\therefore$四边形$AFBD$是平行四边形。
5. 计算平行四边形$AFBD$的面积：平行四边形的面积等于$2$倍的$△ ABD$的面积，即$S_{\mathrm{四边形}AFBD}=2×6=12$。

三、解答题(共75分)
16. (6分)如图,在$□ ABCD$中,E,F分别是AD和BC上的点,$∠ DAF=∠ BCE$.求证:$BF=DE$.

证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，AB=CD。
∵ ∠DAF=∠BCE，
∴ ∠BAD - ∠DAF = ∠BCD - ∠BCE，
即 ∠BAF=∠DCE。
在△ABF和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠D \\AB=CD \\∠BAF=∠DCE\end{array} $
∴ △ABF≌△CDE（ASA），
∴ BF=DE。

17. (7分)如图,在菱形ABCD中,$AE⊥ BC$于点E,$AF⊥ CD$于点F,连接EF.
(1)求证:$AE=AF$;
(2)若$∠ B=60°$,求$∠ AEF$的度数.

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $ AB=AD $，$ ∠ B=∠ D $，
∵ $ AE⊥ BC $，$ AF⊥ CD $，
∴ $ ∠ AEB=∠ AFD=90° $，
在$ △ ABE $和$ △ ADF $中，
$\begin{cases}∠ AEB=∠ AFD \\∠ B=∠ D \\AB=AD\end{cases}$
∴ $ △ ABE ≌ △ ADF $（AAS），
∴ $ AE=AF $。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，$ ∠ B=60° $，
∴ $ AB=BC $，$ ∠ BAD=∠ C=180°-∠ B=120° $，
∵ $ AE⊥ BC $，
∴ $ ∠ BAE=90°-∠ B=30° $，
由(1)知$ △ ABE ≌ △ ADF $，
∴ $ ∠ DAF=∠ BAE=30° $，
∴ $ ∠ EAF=∠ BAD-∠ BAE-∠ DAF=120°-30°-30°=60° $，
又∵ $ AE=AF $，
∴ $ △ AEF $是等边三角形，
∴ $ ∠ AEF=60° $。