18. (7分)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,AD是BC边的中线,过点A作BC的平行线,过点B作AD的平行线,两线相交于点E.
(1)求证:四边形ADBE是矩形;
(2)连接DE,交AB于点O,若$BC=8$,$AO=\frac{5}{2}$,求$\frac{AE}{DE}$的值.

(1) 证明：
∵ $ AE // BC $，$ BE // AD $，
∴ 四边形$ ADBE $是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵ $ AB=AC $，$ AD $是$ BC $边的中线，
∴ $ AD ⊥ BC $（等腰三角形三线合一），即$ ∠ ADB=90° $。
∴ 平行四边形$ ADBE $是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 解：
∵ $ AD $是$ BC $边的中线，$ BC=8 $，
∴ $ BD=\frac{1}{2}BC=4 $。
∵ 四边形$ ADBE $是矩形，
∴ $ DE=AB $，$ AO=\frac{1}{2}AB $（矩形的对角线相等且互相平分）。
∵ $ AO=\frac{5}{2} $，
∴ $ AB=2AO=5 $，即$ DE=5 $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABD $中，$ ∠ ADB=90° $，$ BD=4 $，$ AB=5 $，
由勾股定理得：$ AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3 $。
∵ 四边形$ ADBE $是矩形，
∴ $ AE=BD=4 $。
∴ $ \frac{AE}{DE}=\frac{4}{5} $。

19. (7分)如图,在$△ ABC$中,点D,E分别是BC,AC的中点,延长BA至点F,使得$AF=\frac{1}{3}BF$,连接DE,AD,EF.
(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;
(2)若$DE=3$,$CE=4$,$BC=10$,求EF的长.

(1) 证明：
∵ 点D，E分别是BC，AC的中点，
∴ DE是$△ ABC$的中位线，
∴ $DE// AB$，$DE = \frac{1}{2}AB$。
∵ $AF = \frac{1}{3}BF$，
∴ $BF = 3AF$，
∴ $AB = BF - AF = 2AF$，即$AF = \frac{1}{2}AB$，
∴ $DE = AF$，且$DE// AF$，
∴ 四边形ADEF是平行四边形。
(2) 解：
∵ 点D，E分别是BC，AC的中点，
∴ $AB = 2DE = 6$，$AC = 2CE = 8$，$CD = \frac{1}{2}BC = 5$。
∵ $DE = 3$，$CE = 4$，$CD = 5$，
∴ $DE^2 + CE^2 = 3^2 + 4^2 = 25 = CD^2$，
∴ $△ DEC$是直角三角形，$∠ DEC = 90°$。
∵ $DE// AB$，
∴ $∠ BAC = ∠ DEC = 90°$，即$△ ABC$是直角三角形。
∵ D是BC的中点，
∴ $AD = \frac{1}{2}BC = 5$。
∵ 四边形ADEF是平行四边形，
∴ $EF = AD = 5$。

20. (8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,$DE// AC$,$AE// BD$.
(1)求证:四边形AODE是矩形;
(2)连接CE,若$AB=2\sqrt{3}$,$∠ BCD=120°$,求CE的长.

(1) 证明：
∵ $DE// AC$，$AE// BD$，
∴ 四边形$AODE$是平行四边形。
∵ 四边形$ABCD$是菱形，
∴ $AC⊥ BD$，即$∠ AOD=90°$。
∴ 平行四边形$AODE$是矩形。
(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是菱形，$AB=2\sqrt{3}$，$∠ BCD=120°$，
∴ $AB=BC=2\sqrt{3}$，$∠ ABC=180°-120°=60°$，$AC⊥ BD$，$AO=CO=\frac{1}{2}AC$，$BO=DO=\frac{1}{2}BD$。
∴ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $AC=AB=2\sqrt{3}$，
∴ $AO=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12-3}=3$，
∴ $DO=3$。
∵ 四边形$AODE$是矩形，
∴ $AE=DO=3$，$AE// DO$。
∵ $BD⊥ AC$，
∴ $AE⊥ AC$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$AC=2\sqrt{3}$，$AE=3$，
∴ $CE=\sqrt{AC^2+AE^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{12+9}=\sqrt{21}$。