21. (8分)如图,在四边形ABCD中,$AD// BC$,$AD=CD$,E是对角线BD上的一点,且$EA=EC$.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)如果$BE=BC$,且$∠ CBE:∠ BCE=2:3$,求证:四边形ABCD是正方形.

(1) 证明：
在$△ ADE$和$△ CDE$中，
$\{\begin{array}{l} AD=CD \\ DE=DE \\ EA=EC \end{array} $
$\therefore △ ADE ≌ △ CDE(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ CDE$，
$\because AD // BC$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ CBD$，
$\therefore ∠ CDE = ∠ CBD$，
$\therefore BC=CD$，
又$\because AD=CD$，$AD // BC$，
$\therefore AD=BC$且$AD // BC$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
又$\because AD=CD$，
$\therefore$ 平行四边形$ABCD$是菱形。
(2) 证明：
设$∠ CBE=2x$，$∠ BCE=3x$，
$\because BE=BC$，
$\therefore ∠ BEC=∠ BCE=3x$，
在$△ BCE$中，$∠ CBE+∠ BCE+∠ BEC=180°$，
即$2x+3x+3x=180°$，
解得$x=22.5°$，
$\therefore ∠ CBE=2×22.5°=45°$，
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore ∠ ABD=∠ CBE=45°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ABD+∠ CBE=90°$，
$\therefore$ 菱形$ABCD$是正方形。

22. (10分)如图,在$□ ABCD$中,P是边AB上的一点不与点A,B重合,$CP=CD$,过点P作$PQ⊥ CP$,交边AD于点Q,连接CQ.
(1)若$∠ BPC=∠ AQP$,求证:四边形ABCD是矩形;
(2)在(1)的条件下,当$AP=2$,$AD=6$时,求AQ的长.

(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BPC=∠DCP，
∵∠BPC=∠AQP，
∴∠AQP=∠DCP，
∵PQ⊥CP，
∴∠QPC=90°，
∴∠APQ+∠BPC=90°，
在△APQ中，∠A+∠AQP+∠APQ=180°，
又∵∠AQP=∠BPC，
∴∠A=180°-(∠AQP+∠APQ)=180°-90°=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形。
(2)解：
设AQ=x，则QD=AD-AQ=6-x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB，
∵CP=CD，CQ=CQ，∠D=∠QPC=90°，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴QD=QP=6-x，
在Rt△APQ中，由勾股定理得：
AQ²+AP²=QP²，
即$x^2+2^2=(6-x)^2$，
$x^2+4=36-12x+x^2$，
$12x=32$，
$x=\frac{8}{3}$，
∴AQ的长为$\frac{8}{3}$。