23. (10分)如图,在$□ ABDC$中,$BN⊥ AB$,交AD于点N,$CM⊥ CD$,交AD于点M,连接BM,CN.
(1)求证:四边形CMBN是平行四边形;
(2)若点M,N是AD的三等分点,且$AC=5$,$AB=8$,求CM的长.

(1) 证明：
∵ 四边形ABDC是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，∠A=∠D。
∵ BN⊥AB，CM⊥CD，
∴ ∠ABN=∠DCM=90°，
∴ BN//CM（同位角相等，两直线平行）。
在△ABN和△DCM中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠D \\AB=CD \\∠ABN=∠DCM\end{array} $
∴ △ABN≌△DCM（ASA），
∴ BN=CM。
又∵ BN//CM，
∴ 四边形CMBN是平行四边形。
(2) 解：
以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(8,0)。
设D(a,b)，∵ 四边形ABDC是平行四边形，
∴ 点C的坐标为(a-8,b)。
∵ M、N是AD的三等分点，
∴ M$(\frac{a}{3},\frac{b}{3})$，N$(\frac{2a}{3},\frac{2b}{3})$。
∵ BN⊥AB，AB在x轴上，
∴ N的横坐标与B的横坐标相等，即$\frac{2a}{3}=8$，
解得a=12。
∵ AC=5，由勾股定理得：
$4^2 + b^2=5^2$，
解得b=3（负值舍去）。
∴ C(4,3)，M(4,1)，
∴ CM=|3-1|=2。

24. (12分)如图,已知四边形ABCD为正方形,$AB=4\sqrt{2}$,E为对角线AC上的一动点,连接DE,过点E作$EF⊥ DE$交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形;
(2)探究:$CE+CG$的值是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.

(1) 证明：
过点E作$EM⊥BC$于点M，$EN⊥CD$于点N。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分$∠BCD$，$∠BCD=90°$，
∴$EM=EN$，$∠EMF=∠END=90°$，
∴四边形EMCN是正方形，$∠MEN=90°$。
∵四边形DEFG是矩形，
∴$∠DEF=90°$，
∴$∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°$，
∴$∠DEN=∠MEF$。
在$△ DEN$和$△ FEM$中，
$\{\begin{array}{l}∠END=∠EMF \\EN=EM \\∠DEN=∠MEF\end{array} $
∴$△ DEN≌△ FEM(ASA)$，
∴$DE=EF$，
∵四边形DEFG是矩形，且$DE=EF$，
∴矩形DEFG是正方形。
(2) 解：$CE+CG$的值是定值，定值为8。
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴$AD=CD$，$DE=DG$，$∠ADC=∠EDG=90°$，
∴$∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC$，
即$∠ADE=∠CDG$。
在$△ ADE$和$△ CDG$中，
$\{\begin{array}{l}AD=CD \\∠ADE=∠CDG \\DE=DG\end{array} $
∴$△ ADE≌△ CDG(SAS)$，
∴$AE=CG$。
∵$AC=AE+CE$，
∴$CE+CG=CE+AE=AC$。
∵在正方形ABCD中，$AB=4\sqrt{2}$，
∴$AC=\sqrt{2}×AB=\sqrt{2}×4\sqrt{2}=8$，
∴$CE+CG=8$，即$CE+CG$的值为定值8。