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9. 如图10，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接EG，FH，交点为O.
（1）如图11，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论.
（2）将图10的正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图12的方式拼接成一个新的正方形.若正方形ABCD的边长为3 cm，HA=EB=FC=GD=1 cm，则图12中阴影部分的面积为
（1）如图11，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论.
（2）将图10的正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图12的方式拼接成一个新的正方形.若正方形ABCD的边长为3 cm，HA=EB=FC=GD=1 cm，则图12中阴影部分的面积为
1
cm²，拼出的正方形的边长为$\sqrt{10}$
cm.答案
9. （1）四边形EFGH是正方形. 证明：$\because$ 四边形ABCD是正方形，$\therefore ∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90°$，$AB = BC = CD = DA$. $\because HA = EB = FC = GD$，$\therefore AE = BF = CG = DH$，$\therefore △ AEH ≌ △ BFE ≌ △ CGF ≌ △ DHG$（SAS）. $\therefore EF = FG = GH = HE$，$\therefore$ 四边形EFGH是菱形. $\because △ DHG ≌ △ AEH$，$\therefore ∠ DHG = ∠ AEH$. $\because ∠ AEH + ∠ AHE = 90°$，$\therefore ∠ DHG + ∠ AHE = 90°$，$\therefore ∠ GHE = 90°$，$\therefore$ 四边形EFGH是正方形
（2）$1\ \ \sqrt{10}$ 提示：$\because HA = EB = FC = GD = 1\ \mathrm{cm}$，$AB = BC = CD = AD = 3\ \mathrm{cm}$，$\therefore GF = EF = EH = GH = \sqrt{5}\ \mathrm{cm}$. 由（1）知，四边形EFGH是正方形，$\therefore GO = OF$，$∠ GOF = 90°$，由勾股定理得 $GO = OF = \frac{\sqrt{10}}{2}\ \mathrm{cm}$. $\therefore S_{\mathrm{阴影}} = (\frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2})^2 - 4S_{\mathrm{四边形}ABCD} = 1\ (\mathrm{cm}^2)$. $\because GO = OF = \frac{\sqrt{10}}{2}\ \mathrm{cm}$，$\therefore$ 拼出的正方形的边长为 $2 × \frac{\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}\ (\mathrm{cm})$
（2）$1\ \ \sqrt{10}$ 提示：$\because HA = EB = FC = GD = 1\ \mathrm{cm}$，$AB = BC = CD = AD = 3\ \mathrm{cm}$，$\therefore GF = EF = EH = GH = \sqrt{5}\ \mathrm{cm}$. 由（1）知，四边形EFGH是正方形，$\therefore GO = OF$，$∠ GOF = 90°$，由勾股定理得 $GO = OF = \frac{\sqrt{10}}{2}\ \mathrm{cm}$. $\therefore S_{\mathrm{阴影}} = (\frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2})^2 - 4S_{\mathrm{四边形}ABCD} = 1\ (\mathrm{cm}^2)$. $\because GO = OF = \frac{\sqrt{10}}{2}\ \mathrm{cm}$，$\therefore$ 拼出的正方形的边长为 $2 × \frac{\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}\ (\mathrm{cm})$
解析
【分析】
（1）判断四边形EFGH的形状，可先利用正方形ABCD的边角性质，结合已知HA=EB=FC=GD推导出四条短边AE=BF=CG=DH，通过SAS证明四个小直角三角形全等，先得到四边形四边相等判定为菱形，再推导菱形的内角为90°，即可判定其为正方形。
（2）第二问先根据已知边长计算出直角三角形的两条直角边长，结合剪拼图形的特征，阴影小正方形的边长为较长直角边与较短直角边的差，可直接计算阴影面积；拼出的新正方形面积等于原正方形面积加阴影面积，开平方即可得到新正方形边长。
【解析】
（1）四边形EFGH是正方形，证明过程如下：
$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore ∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90°$，$AB = BC = CD = DA$。
$\because HA = EB = FC = GD$，
$\therefore AB-EB = BC-FC = CD-GD = DA-HA$，即$AE = BF = CG = DH$。
在$△ AEH$、$△ BFE$、$△ CGF$、$△ DHG$中：
$\begin{cases}AE=BF=CG=DH \\∠ A=∠ B=∠ C=∠ D \\HA=EB=FC=GD\end{cases}$
$\therefore △ AEH ≌ △ BFE ≌ △ CGF ≌ △ DHG$（SAS），
$\therefore EF = FG = GH = HE$，$\therefore$ 四边形EFGH是菱形。
$\because △ AEH ≌ △ DHG$，$\therefore ∠ DHG = ∠ AEH$。
在$\mathrm{Rt}△ AEH$中，$∠ AEH + ∠ AHE = 90°$，
$\therefore ∠ DHG + ∠ AHE = 90°$，
$\therefore ∠ GHE = 180° - (∠ DHG + ∠ AHE) = 90°$，
$\therefore$ 菱形EFGH是正方形。
（2）已知正方形ABCD边长为3$\mathrm{cm}$，$HA=EB=FC=GD=1\ \mathrm{cm}$，
则$AE=BF=CG=DH=3-1=2\ \mathrm{cm}$。
观察剪拼后的图形，阴影部分为小正方形，其边长为较长直角边减较短直角边，即$2-1=1\ \mathrm{cm}$，因此阴影部分面积为$1×1=1\ \mathrm{cm}^2$。
拼出的新正方形面积等于原正方形ABCD的面积加上阴影部分的面积，即$S=3×3 +1=10\ \mathrm{cm}^2$，因此新正方形的边长为$\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）四边形EFGH是正方形，证明见解析；
（2）$\boxed{1}$；$\boxed{\sqrt{10}}$
【知识点】
正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，图形剪拼
【点评】
本题综合考查了正方形的性质与判定、全等三角形的证明以及图形剪拼中的边长、面积计算，第一问需要熟练掌握特殊四边形的判定逻辑，第二问需要结合图形特征灵活运用面积法和线段和差关系求解，对几何推理能力和空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
（1）判断四边形EFGH的形状，可先利用正方形ABCD的边角性质，结合已知HA=EB=FC=GD推导出四条短边AE=BF=CG=DH，通过SAS证明四个小直角三角形全等，先得到四边形四边相等判定为菱形，再推导菱形的内角为90°，即可判定其为正方形。
（2）第二问先根据已知边长计算出直角三角形的两条直角边长，结合剪拼图形的特征，阴影小正方形的边长为较长直角边与较短直角边的差，可直接计算阴影面积；拼出的新正方形面积等于原正方形面积加阴影面积，开平方即可得到新正方形边长。
【解析】
（1）四边形EFGH是正方形，证明过程如下：
$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore ∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90°$，$AB = BC = CD = DA$。
$\because HA = EB = FC = GD$，
$\therefore AB-EB = BC-FC = CD-GD = DA-HA$，即$AE = BF = CG = DH$。
在$△ AEH$、$△ BFE$、$△ CGF$、$△ DHG$中：
$\begin{cases}AE=BF=CG=DH \\∠ A=∠ B=∠ C=∠ D \\HA=EB=FC=GD\end{cases}$
$\therefore △ AEH ≌ △ BFE ≌ △ CGF ≌ △ DHG$（SAS），
$\therefore EF = FG = GH = HE$，$\therefore$ 四边形EFGH是菱形。
$\because △ AEH ≌ △ DHG$，$\therefore ∠ DHG = ∠ AEH$。
在$\mathrm{Rt}△ AEH$中，$∠ AEH + ∠ AHE = 90°$，
$\therefore ∠ DHG + ∠ AHE = 90°$，
$\therefore ∠ GHE = 180° - (∠ DHG + ∠ AHE) = 90°$，
$\therefore$ 菱形EFGH是正方形。
（2）已知正方形ABCD边长为3$\mathrm{cm}$，$HA=EB=FC=GD=1\ \mathrm{cm}$，
则$AE=BF=CG=DH=3-1=2\ \mathrm{cm}$。
观察剪拼后的图形，阴影部分为小正方形，其边长为较长直角边减较短直角边，即$2-1=1\ \mathrm{cm}$，因此阴影部分面积为$1×1=1\ \mathrm{cm}^2$。
拼出的新正方形面积等于原正方形ABCD的面积加上阴影部分的面积，即$S=3×3 +1=10\ \mathrm{cm}^2$，因此新正方形的边长为$\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）四边形EFGH是正方形，证明见解析；
（2）$\boxed{1}$；$\boxed{\sqrt{10}}$
【知识点】
正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，图形剪拼
【点评】
本题综合考查了正方形的性质与判定、全等三角形的证明以及图形剪拼中的边长、面积计算，第一问需要熟练掌握特殊四边形的判定逻辑，第二问需要结合图形特征灵活运用面积法和线段和差关系求解，对几何推理能力和空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
