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1. 如图1，一把长为10 m的梯子AB斜靠在墙上，在梯子的顶端沿墙下滑的过程中，梯子的中点C到墙角O的距离变化情况是（
A.变大
B.变小
C.先变小再变大
D.不变
D
）。A.变大
B.变小
C.先变小再变大
D.不变
答案
1.D
解析
【分析】
首先明确梯子下滑过程中，墙角O与梯子两端A、B构成的△AOB始终是直角三角形（墙与地面垂直，∠AOB恒为90°），且梯子AB的长度始终保持10m不变。题目要求判断斜边AB的中点C到O的距离变化，可回忆直角三角形斜边中线的相关性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合AB长度不变的条件，即可推出OC的长度为定值，进而判断变化情况。
【解析】
∵墙与地面互相垂直，
∴∠AOB=90°，即△AOB始终为直角三角形。
∵点C是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得：
$OC=\frac{1}{2}AB$
已知梯子AB长为10m，下滑过程中AB长度不变，因此$OC=\frac{1}{2}×10=5m$，是固定值，故梯子中点C到墙角O的距离不变。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，直角的判定
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的应用题目，解题的关键是抓住梯子长度不变、墙面地面始终垂直这两个隐含条件，结合直角三角形的相关性质即可快速得出结论，有助于提升用几何知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.9
首先明确梯子下滑过程中，墙角O与梯子两端A、B构成的△AOB始终是直角三角形（墙与地面垂直，∠AOB恒为90°），且梯子AB的长度始终保持10m不变。题目要求判断斜边AB的中点C到O的距离变化，可回忆直角三角形斜边中线的相关性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合AB长度不变的条件，即可推出OC的长度为定值，进而判断变化情况。
【解析】
∵墙与地面互相垂直，
∴∠AOB=90°，即△AOB始终为直角三角形。
∵点C是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得：
$OC=\frac{1}{2}AB$
已知梯子AB长为10m，下滑过程中AB长度不变，因此$OC=\frac{1}{2}×10=5m$，是固定值，故梯子中点C到墙角O的距离不变。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，直角的判定
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的应用题目，解题的关键是抓住梯子长度不变、墙面地面始终垂直这两个隐含条件，结合直角三角形的相关性质即可快速得出结论，有助于提升用几何知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.9
2. 如图2，在$△ ABC$中，$EF// HK// AC$，$DK// FG// AB$，$GH// DE// BC$。若甲经过的路径为$D→A→B→C→D$，乙经过的路径为$D→E→F→G→H→K→D$，则下面对两者所经路程的判断，结论正确的是（
A.甲所经过的路程是乙的2倍
B.乙所经过的路程是甲的2倍
C.两者所经过的路程一样长
D.无法判断以上结论是否正确
C
）。A.甲所经过的路程是乙的2倍
B.乙所经过的路程是甲的2倍
C.两者所经过的路程一样长
D.无法判断以上结论是否正确
答案
2.C
解析
【分析】
首先明确两人的路程组成：甲的路程是路径$D→A→B→C→D$的总长，可转化为$△ ABC$的周长；乙的路程是6条线段的和。题目给出多组平行线，可依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，判定图中存在多个平行四边形，再利用平行四边形对边相等的性质，将乙路径中的线段分别转化为$△ ABC$三边上的对应线段，最后比较两者总长即可。
【解析】
设甲的路程为$S_甲$，乙的路程为$S_乙$。
1. 计算甲的路程：
甲的路径为$D→A→B→C→D$，因此$S_甲 = DA + AB + BC + CD$。
因为$DA + CD = AC$，所以$S_甲 = AB + BC + AC$，即甲的路程等于$△ ABC$的周长。
2. 转化乙的路程：
根据题中平行线条件，结合平行四边形对边相等的性质：
① 平行于$BC$的线段为$DE、GH$，可得$DE + GH = BC$；
② 平行于$AC$的线段为$EF、HK$，可得$EF + HK = AC$；
③ 平行于$AB$的线段为$FG、KD$，可得$FG + KD = AB$。
乙的路径为$D→E→F→G→H→K→D$，因此$S_乙 = DE + EF + FG + GH + HK + KD$，整理得：
$S_乙 = (DE + GH) + (EF + HK) + (FG + KD) = BC + AC + AB$。
3. 比较路程：
$S_甲 = S_乙$，即两人所经路程一样长。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、周长计算
【点评】
本题核心是利用平行四边形对边相等的性质，将折线长度转化为三角形的边长，通过转化思想简化计算，避免逐个计算线段长度的复杂过程。
【难度系数】
0.7
首先明确两人的路程组成：甲的路程是路径$D→A→B→C→D$的总长，可转化为$△ ABC$的周长；乙的路程是6条线段的和。题目给出多组平行线，可依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，判定图中存在多个平行四边形，再利用平行四边形对边相等的性质，将乙路径中的线段分别转化为$△ ABC$三边上的对应线段，最后比较两者总长即可。
【解析】
设甲的路程为$S_甲$，乙的路程为$S_乙$。
1. 计算甲的路程：
甲的路径为$D→A→B→C→D$，因此$S_甲 = DA + AB + BC + CD$。
因为$DA + CD = AC$，所以$S_甲 = AB + BC + AC$，即甲的路程等于$△ ABC$的周长。
2. 转化乙的路程：
根据题中平行线条件，结合平行四边形对边相等的性质：
① 平行于$BC$的线段为$DE、GH$，可得$DE + GH = BC$；
② 平行于$AC$的线段为$EF、HK$，可得$EF + HK = AC$；
③ 平行于$AB$的线段为$FG、KD$，可得$FG + KD = AB$。
乙的路径为$D→E→F→G→H→K→D$，因此$S_乙 = DE + EF + FG + GH + HK + KD$，整理得：
$S_乙 = (DE + GH) + (EF + HK) + (FG + KD) = BC + AC + AB$。
3. 比较路程：
$S_甲 = S_乙$，即两人所经路程一样长。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、周长计算
【点评】
本题核心是利用平行四边形对边相等的性质，将折线长度转化为三角形的边长，通过转化思想简化计算，避免逐个计算线段长度的复杂过程。
【难度系数】
0.7
3. 如图 3，将平行四边形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 E 处.
若∠1=56°，∠2=42°，则∠A 的度数为（
A.108°
B.109°
C.110°
D.111°
若∠1=56°，∠2=42°，则∠A 的度数为（
C
）.A.108°
B.109°
C.110°
D.111°
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对边平行的性质，得到内错角相等，即∠ADB=∠DBC；再结合折叠前后对应角相等的性质，可得∠ADB=∠EDB，进而推出∠DBC=∠EDB；接着根据三角形外角的性质，∠1是BE与CD交点和B、D构成的三角形的外角，等于两个不相邻内角和，即∠1=∠DBC+∠EDB=2∠DBC，据此可求出∠DBC即∠ADB的度数；最后在△ABD中，利用三角形内角和为180°，代入∠ADB和∠2（即∠ABD）的度数，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等），
由折叠的性质可知△ABD≌△EBD，
∴∠ADB=∠EDB，
∴∠DBC=∠EDB，
∵∠1是△BDF（F为BE与CD的交点）的外角，
∴∠1=∠DBC+∠EDB=2∠DBC，
已知∠1=56°，
∴∠DBC=∠ADB=56°÷2=28°，
在△ABD中，∠ABD=∠2=42°，根据三角形内角和为180°可得：
∠A=180°-∠ADB-∠ABD=180°-28°-42°=110°。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和与外角性质
【点评】
本题是四边形和三角形性质的基础综合题，解题核心是抓住平行四边形和折叠前后的等角关系，结合三角形外角、内角和公式进行计算，逻辑链条清晰，只要熟练掌握基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形对边平行的性质，得到内错角相等，即∠ADB=∠DBC；再结合折叠前后对应角相等的性质，可得∠ADB=∠EDB，进而推出∠DBC=∠EDB；接着根据三角形外角的性质，∠1是BE与CD交点和B、D构成的三角形的外角，等于两个不相邻内角和，即∠1=∠DBC+∠EDB=2∠DBC，据此可求出∠DBC即∠ADB的度数；最后在△ABD中，利用三角形内角和为180°，代入∠ADB和∠2（即∠ABD）的度数，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等），
由折叠的性质可知△ABD≌△EBD，
∴∠ADB=∠EDB，
∴∠DBC=∠EDB，
∵∠1是△BDF（F为BE与CD的交点）的外角，
∴∠1=∠DBC+∠EDB=2∠DBC，
已知∠1=56°，
∴∠DBC=∠ADB=56°÷2=28°，
在△ABD中，∠ABD=∠2=42°，根据三角形内角和为180°可得：
∠A=180°-∠ADB-∠ABD=180°-28°-42°=110°。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和与外角性质
【点评】
本题是四边形和三角形性质的基础综合题，解题核心是抓住平行四边形和折叠前后的等角关系，结合三角形外角、内角和公式进行计算，逻辑链条清晰，只要熟练掌握基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
