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4. 如图4，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形向左偏移，使点C落在y轴正半轴上点$C'$处，则点D的对应点$D'$的坐标为（
A.$(-2\sqrt{3}, 2)$
B.$(-4, 2)$
C.$(-4, 2\sqrt{3})$
D.$(-2, \sqrt{3})$
C
）。A.$(-2\sqrt{3}, 2)$
B.$(-4, 2)$
C.$(-4, 2\sqrt{3})$
D.$(-2, \sqrt{3})$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发，先确定A、B两点的坐标：由AB长为4、中点是原点，可直接得到A、B的坐标。再抓住图形偏移后边长不变的特点，可知BC'仍等于正方形边长4，在直角三角形BOC'中用勾股定理即可求出OC'的长度。最后通过构造全等三角形，利用平行四边形对边平行的性质得到角相等，证明三角形全等后就能求出D'的横、纵坐标。
【解析】
解：
∵正方形ABCD边长为4，AB在x轴上且AB中点是原点O，
∴$OA=OB=\frac{1}{2}AB=2$，即$A(-2,0)$，$B(2,0)$。
固定A、B偏移后边长不变，故$BC'=AD'=4$。
在$Rt△ BOC'$中，$OB=2$，$BC'=4$，由勾股定理得：
$OC'=\sqrt{BC'^2-OB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
过点$D'$作$D'E⊥ x$轴于点E，
∵偏移后四边形$ABC'D'$是平行四边形，$AD'// BC'$，
∴$∠ D'AE=∠ C'BO$（同位角相等）。
在$△ D'AE$和$△ C'BO$中：
$\begin{cases}∠ AED'=∠ BOC'=90° \\∠ D'AE=∠ C'BO \\AD'=BC'\end{cases}$
∴$△ D'AE≌△ C'BO$（AAS），
∴$AE=OB=2$，$D'E=OC'=2\sqrt{3}$。
∵E在A左侧，
∴点$D'$的横坐标为$-2-2=-4$，纵坐标为$2\sqrt{3}$，即$D'(-4,2\sqrt{3})$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查图形变换的相关性质，解题关键是抓住偏移前后边长不变的特点，结合数形结合思想利用勾股定理和全等三角形求解点坐标，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件出发，先确定A、B两点的坐标：由AB长为4、中点是原点，可直接得到A、B的坐标。再抓住图形偏移后边长不变的特点，可知BC'仍等于正方形边长4，在直角三角形BOC'中用勾股定理即可求出OC'的长度。最后通过构造全等三角形，利用平行四边形对边平行的性质得到角相等，证明三角形全等后就能求出D'的横、纵坐标。
【解析】
解：
∵正方形ABCD边长为4，AB在x轴上且AB中点是原点O，
∴$OA=OB=\frac{1}{2}AB=2$，即$A(-2,0)$，$B(2,0)$。
固定A、B偏移后边长不变，故$BC'=AD'=4$。
在$Rt△ BOC'$中，$OB=2$，$BC'=4$，由勾股定理得：
$OC'=\sqrt{BC'^2-OB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
过点$D'$作$D'E⊥ x$轴于点E，
∵偏移后四边形$ABC'D'$是平行四边形，$AD'// BC'$，
∴$∠ D'AE=∠ C'BO$（同位角相等）。
在$△ D'AE$和$△ C'BO$中：
$\begin{cases}∠ AED'=∠ BOC'=90° \\∠ D'AE=∠ C'BO \\AD'=BC'\end{cases}$
∴$△ D'AE≌△ C'BO$（AAS），
∴$AE=OB=2$，$D'E=OC'=2\sqrt{3}$。
∵E在A左侧，
∴点$D'$的横坐标为$-2-2=-4$，纵坐标为$2\sqrt{3}$，即$D'(-4,2\sqrt{3})$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查图形变换的相关性质，解题关键是抓住偏移前后边长不变的特点，结合数形结合思想利用勾股定理和全等三角形求解点坐标，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
5. 如图5所示是一块大正方形地板砖，上面的图案是由四个全等的五边形和一个小正方形组成的.若$AD=20\ \mathrm{cm}$，点$A$是$OE$的中点，则图中大正方形地板砖的边长为
$40\sqrt{2}$
cm.答案
5. $40\sqrt{2}$
解析
【分析】解题时首先从已知条件入手：①四个五边形全等，根据全等图形对应边相等，可得到AD与AE长度相等；②点A是OE中点，可得OA=AE，结合AD=20cm即可求出OE的长度。再观察图形特征，大正方形的中心到相邻两个顶点的连线互相垂直且长度均等于OE，构成等腰直角三角形，大正方形的边长就是该等腰直角三角形的斜边，最后利用勾股定理即可计算出大正方形的边长。
【解析】
解：
∵ 四个五边形是全等图形，
∴ 对应边相等，即 $ AE = AD = 20\ \mathrm{cm} $。
∵ 点A是OE的中点，
∴ $ OA = AE = 20\ \mathrm{cm} $，
∴ $ OE = OA + AE = 20 + 20 = 40\ \mathrm{cm} $。
∵ 整体是大正方形，四个五边形全等，
∴ 大正方形中心O到相邻两个顶点的线段长度相等，且夹角为$ 90° $，两条线段长度均为$ 40\ \mathrm{cm} $。
设大正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，根据勾股定理：
$x^2 = 40^2 + 40^2 = 1600 + 1600 = 3200$
∵ 边长为正数，
∴ $ x = \sqrt{3200} = 40\sqrt{2}\ \mathrm{cm} $。
【答案】$ 40\sqrt{2} $
【知识点】全等图形的性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】本题考查了全等图形、正方形性质与勾股定理的综合应用，解题的关键是结合图形特征找到线段间的数量关系，将求大正方形边长转化为求等腰直角三角形的斜边长度。
【难度系数】0.6
【解析】
解：
∵ 四个五边形是全等图形，
∴ 对应边相等，即 $ AE = AD = 20\ \mathrm{cm} $。
∵ 点A是OE的中点，
∴ $ OA = AE = 20\ \mathrm{cm} $，
∴ $ OE = OA + AE = 20 + 20 = 40\ \mathrm{cm} $。
∵ 整体是大正方形，四个五边形全等，
∴ 大正方形中心O到相邻两个顶点的线段长度相等，且夹角为$ 90° $，两条线段长度均为$ 40\ \mathrm{cm} $。
设大正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，根据勾股定理：
$x^2 = 40^2 + 40^2 = 1600 + 1600 = 3200$
∵ 边长为正数，
∴ $ x = \sqrt{3200} = 40\sqrt{2}\ \mathrm{cm} $。
【答案】$ 40\sqrt{2} $
【知识点】全等图形的性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】本题考查了全等图形、正方形性质与勾股定理的综合应用，解题的关键是结合图形特征找到线段间的数量关系，将求大正方形边长转化为求等腰直角三角形的斜边长度。
【难度系数】0.6
6. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是解决数学问题的一种重要方法. 如图6，BD是矩形ABCD的对角线，将$△ BCD$分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图7重新摆放. 观察两图，若$a=4$，$b=2$，则矩形ABCD的面积是
16
.答案
6. 16
解析
【分析】
解题时先设分割得到的小正方形边长为x，结合已知的a、b长度表示出矩形的长、宽和对角线长度，再根据矩形对角线与长、宽满足勾股定理列等式，最后通过代数式变形，用整体代入的方法计算矩形面积，不需要求出x的具体值，可简化计算过程。
【解析】
设分割出的小正方形的边长为x。
由题意可知，矩形ABCD的长为$a+x$，宽为$b+x$，对角线BD的长度为$a+b=4+2=6$。
根据矩形的性质，对角线的平方等于长与宽的平方和，可列方程：
$(4+x)^2 + (2+x)^2 = 6^2$
展开并整理等式：
$16+8x+x^2 +4+4x+x^2 = 36$
$2x^2+12x+20=36$
化简得：$x^2+6x=8$
矩形ABCD的面积为长乘宽，即：
$S=(4+x)(2+x)=x^2+6x+8$
将$x^2+6x=8$代入上式，得$S=8+8=16$。
【答案】
16
【知识点】
勾股定理，整式的运算，矩形的性质
【点评】
本题结合图形割补考查几何图形面积计算，解题的关键是找到各线段的数量关系，利用整体代入法计算面积，避免不必要的计算步骤。
【难度系数】
0.6
解题时先设分割得到的小正方形边长为x，结合已知的a、b长度表示出矩形的长、宽和对角线长度，再根据矩形对角线与长、宽满足勾股定理列等式，最后通过代数式变形，用整体代入的方法计算矩形面积，不需要求出x的具体值，可简化计算过程。
【解析】
设分割出的小正方形的边长为x。
由题意可知，矩形ABCD的长为$a+x$，宽为$b+x$，对角线BD的长度为$a+b=4+2=6$。
根据矩形的性质，对角线的平方等于长与宽的平方和，可列方程：
$(4+x)^2 + (2+x)^2 = 6^2$
展开并整理等式：
$16+8x+x^2 +4+4x+x^2 = 36$
$2x^2+12x+20=36$
化简得：$x^2+6x=8$
矩形ABCD的面积为长乘宽，即：
$S=(4+x)(2+x)=x^2+6x+8$
将$x^2+6x=8$代入上式，得$S=8+8=16$。
【答案】
16
【知识点】
勾股定理，整式的运算，矩形的性质
【点评】
本题结合图形割补考查几何图形面积计算，解题的关键是找到各线段的数量关系，利用整体代入法计算面积，避免不必要的计算步骤。
【难度系数】
0.6
7. 如图8，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA₁B的两个顶点，以对角线OA₁为边作正方形OA₁A₂B₁，再以正方形OA₁A₂B₁的对角线OA₂为边作正方形OA₂A₃B₂，…，依此规律，正方形OAₙAₙ₊₁Bₙ的边长是
$(\sqrt{2})^n$
。答案
7. $(\sqrt{2})^n$
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题时先从特殊情况入手：首先利用已知点坐标算出第一个正方形的边长，再结合正方形对角线长度是边长的√2倍的性质，依次计算后续几个正方形的边长，对比边长和对应序号n的关系，就能归纳得出通用规律。
【解析】
1. 第一个正方形为OAA₁B，已知O(0,0)、A(0,1)，因此它的边长$OA=1=(√2)^0$，该正方形对应$n=0$时的$OAₙA_{n+1}Bₙ$（即$OA₀A₁B₀$）。
2. 第二个正方形为$OA₁A₂B₁$，它的边长是第一个正方形的对角线$OA₁$，根据正方形对角线计算公式，$OA₁=1×√2=√2=(√2)^1$，对应$n=1$的情况。
3. 第三个正方形为$OA₂A₃B₂$，它的边长是第二个正方形的对角线$OA₂$，计算得$OA₂=√2×√2=(√2)^2$，对应$n=2$的情况。
4. 依此类推，每一个新正方形的边长都是前一个正方形边长的$√2$倍，因此正方形$OAₙA_{n+1}Bₙ$的边长为$(√2)^n$。
【答案】
$(√2)^n$
【知识点】
正方形的性质、规律探究、勾股定理
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题的关键是掌握正方形对角线和边长的数量关系，通过计算前几项的边长归纳得到通用表达式，考查了从特殊到一般的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，解题时先从特殊情况入手：首先利用已知点坐标算出第一个正方形的边长，再结合正方形对角线长度是边长的√2倍的性质，依次计算后续几个正方形的边长，对比边长和对应序号n的关系，就能归纳得出通用规律。
【解析】
1. 第一个正方形为OAA₁B，已知O(0,0)、A(0,1)，因此它的边长$OA=1=(√2)^0$，该正方形对应$n=0$时的$OAₙA_{n+1}Bₙ$（即$OA₀A₁B₀$）。
2. 第二个正方形为$OA₁A₂B₁$，它的边长是第一个正方形的对角线$OA₁$，根据正方形对角线计算公式，$OA₁=1×√2=√2=(√2)^1$，对应$n=1$的情况。
3. 第三个正方形为$OA₂A₃B₂$，它的边长是第二个正方形的对角线$OA₂$，计算得$OA₂=√2×√2=(√2)^2$，对应$n=2$的情况。
4. 依此类推，每一个新正方形的边长都是前一个正方形边长的$√2$倍，因此正方形$OAₙA_{n+1}Bₙ$的边长为$(√2)^n$。
【答案】
$(√2)^n$
【知识点】
正方形的性质、规律探究、勾股定理
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题的关键是掌握正方形对角线和边长的数量关系，通过计算前几项的边长归纳得到通用表达式，考查了从特殊到一般的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图9，点A在线段BG上，四边形ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为16和20，求△CDE的面积. 
图9
图9答案
8. 如答图10
，过点E作$EH ⊥ CD$，交CD的延长线于点H. 由已知得 $DG = DE = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，$AD = CD = \sqrt{16} = 4$，$\therefore AG = \sqrt{DG^2 - AD^2} = 2$. 易证$△ DAG ≌ △ DHE$（AAS），$\therefore EH = AG = 2$，$\therefore S_{△ CDE} = \frac{1}{2}CD · EH = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$解析
【分析】
要计算△CDE的面积，已知正方形ABCD的面积可先求出CD的长度，因此只需求出CD边上的高即可解题。首先根据两个正方形的面积求出各自的边长，再在Rt△DAG中利用勾股定理求出AG的长度；接着过点E作CD延长线的垂线EH，通过角度推导证明△DAG与△DHE全等，即可得到高EH与AG相等，最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：如答图10，过点E作$EH ⊥ CD$，交CD的延长线于点H。
∵四边形ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为16和20，
∴$AD = CD = \sqrt{16} = 4$，$DG = DE = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，$∠ADC = ∠GDE = ∠DAG = 90°$，
∴$∠ADG + ∠GDC = ∠EDH + ∠GDC = 90°$，即$∠ADG = ∠EDH$。
在Rt△DAG中，由勾股定理得：
$AG = \sqrt{DG^2 - AD^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 4^2} = \sqrt{20 - 16} = 2$。
在△DAG和△DHE中：
$\begin{cases}∠DAG = ∠DHE = 90° \\∠ADG = ∠EDH \\DG = DE\end{cases}$
∴$△DAG ≌ △DHE$（AAS），
∴$EH = AG = 2$。
∴$S_{△CDE} = \frac{1}{2} · CD · EH = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于正方形相关的常规几何计算题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将未知的三角形高转化为可求解的线段，考查了几何基础知识的综合运用能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.6
要计算△CDE的面积，已知正方形ABCD的面积可先求出CD的长度，因此只需求出CD边上的高即可解题。首先根据两个正方形的面积求出各自的边长，再在Rt△DAG中利用勾股定理求出AG的长度；接着过点E作CD延长线的垂线EH，通过角度推导证明△DAG与△DHE全等，即可得到高EH与AG相等，最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：如答图10
，过点E作$EH ⊥ CD$，交CD的延长线于点H。∵四边形ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为16和20，
∴$AD = CD = \sqrt{16} = 4$，$DG = DE = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，$∠ADC = ∠GDE = ∠DAG = 90°$，
∴$∠ADG + ∠GDC = ∠EDH + ∠GDC = 90°$，即$∠ADG = ∠EDH$。
在Rt△DAG中，由勾股定理得：
$AG = \sqrt{DG^2 - AD^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 4^2} = \sqrt{20 - 16} = 2$。
在△DAG和△DHE中：
$\begin{cases}∠DAG = ∠DHE = 90° \\∠ADG = ∠EDH \\DG = DE\end{cases}$
∴$△DAG ≌ △DHE$（AAS），
∴$EH = AG = 2$。
∴$S_{△CDE} = \frac{1}{2} · CD · EH = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于正方形相关的常规几何计算题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将未知的三角形高转化为可求解的线段，考查了几何基础知识的综合运用能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.6
