1 勾股数组规律探究：完成以下探究任务，填写下方探究表格（整合探究要求，直接在表格中完成计算、验证与规律总结）。

解：
|探究参数$(m,n)$|计算勾股数组$(a,b,c)$|验证过程（计算$a^2+b^2$与$c^2$）|验证结论|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|$m=4,n=1$|$a=2×4×1=8$，$b=4^2-1^2=15$，$c=4^2+1^2=17$，得到数组$(8,15,17)$|$a^2+b^2=8^2+15^2=64+225=289$，$c^2=17^2=289$，即$a^2+b^2=c^2$|数组$(8,15,17)$是勾股数组|
|$m=5,n=2$|$a=2×5×2=20$，$b=5^2-2^2=21$，$c=5^2+2^2=29$，得到数组$(20,21,29)$|$a^2+b^2=20^2+21^2=400+441=841$，$c^2=29^2=841$，即$a^2+b^2=c^2$|数组$(20,21,29)$是勾股数组|
|$m=3,n=2$|$a=2×3×2=12$，$b=3^2-2^2=5$，$c=3^2+2^2=13$，得到数组$(12,5,13)$|$a^2+b^2=12^2+5^2=144+25=169$，$c^2=13^2=169$，即$a^2+b^2=c^2$|数组$(12,5,13)$是勾股数组|

2 余弦定理雏形探究：结合勾股定理，探究非直角三角形的边长关系，完成以下任务.
(1)在锐角三角形ABC中，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，DC=y，AD=h，用勾股定理表示出AB²，AC²，推导AB²+AC²与BC²的关系.(提示：在Rt△ABD和Rt△ACD中，分别应用勾股定理)

(2)对比直角三角形中勾股定理的表达式，说明锐角三角形中边长关系与勾股定理的区别，初步理解余弦定理雏形.

解：
(1) 在$Rt△ ABD$中，由勾股定理可得：
$AB^2 = AD^2 + BD^2 = h^2 + x^2$
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理可得：
$AC^2 = AD^2 + DC^2 = h^2 + y^2$
由题意可知$BC = BD + DC = x + y$，因此：
$BC^2 = (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
将$AB^2$和$AC^2$相加：
$AB^2 + AC^2 = h^2 + x^2 + h^2 + y^2 = x^2 + y^2 + 2h^2$
将$x^2 + y^2 = BC^2 - 2xy$代入上式，整理得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2 + 2(h^2 - xy)$，进一步可得$AB^2 + AC^2 - BC^2 = 2h^2 ＞ 0$，即$AB^2 + AC^2 ＞ BC^2$。
(2) 直角三角形的勾股定理满足：两条直角边的平方和恰好等于斜边的平方，直角三角形最长边的平方等于另外两边的平方和；而锐角三角形中，任意两边的平方和都大于第三边的平方，不存在两边平方和等于第三边平方的情况，相较于直角三角形的等式关系，锐角三角形三边的平方关系多出了一个正的差值，这个差值由三角形的内角大小决定，这就是余弦定理的锐角情形雏形。