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23.如图,设四边形ABCD是边长为1的正方形,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去.
(1)记正方形ABCD的边长为$a_1=1$,按上述方法所作的正方形的边长依次为$a_2,a_3,a_4,\dots,a_n$,请求出$a_2,a_3,a_4$的值;
(2)根据以上规律写出$a_n$的表达式.
(1)记正方形ABCD的边长为$a_1=1$,按上述方法所作的正方形的边长依次为$a_2,a_3,a_4,\dots,a_n$,请求出$a_2,a_3,a_4$的值;
(2)根据以上规律写出$a_n$的表达式.
答案
23.解:(1)$a_2=AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$;
$a_3=AE=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$;
$a_4=HE=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.
(2)规律:$a_n=(\sqrt{2})^{n-1}$($n$ 为正整数).
$a_3=AE=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$;
$a_4=HE=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.
(2)规律:$a_n=(\sqrt{2})^{n-1}$($n$ 为正整数).
解析
【分析】
本题是结合正方形性质的规律探究题，解题思路如下：首先明确后一个正方形的边长是前一个正方形的对角线，利用正方形内角为直角的性质，借助勾股定理即可依次计算$a_2$、$a_3$、$a_4$的值；再观察前几个边长的表达式，找出指数的变化规律，即可归纳出$a_n$的通用表达式。
【解析】
(1) 已知正方形ABCD的边长$a_1=1$，AC是正方形ABCD的对角线，在$Rt△ ABC$中，由勾股定理可得：
$a_2=AC=\sqrt{a_1^2+a_1^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
AE是第二个正方形ACEF的对角线，同理在$Rt△ ACE$中：
$a_3=AE=\sqrt{a_2^2+a_2^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$；
HE是第三个正方形AEGH的对角线，同理在$Rt△ AEH$中：
$a_4=HE=\sqrt{a_3^2+a_3^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
(2) 观察得到的边长：$a_1=1=(\sqrt{2})^0$，$a_2=\sqrt{2}=(\sqrt{2})^1$，$a_3=2=(\sqrt{2})^2$，$a_4=2\sqrt{2}=(\sqrt{2})^3$，可归纳得出规律：第$n$个正方形的边长是$(\sqrt{2})$的$(n-1)$次方，即$a_n=(\sqrt{2})^{n-1}$（$n$为正整数）。
【答案】
(1)$a_2=\sqrt{2}$，$a_3=2$，$a_4=2\sqrt{2}$；
(2)$a_n=(\sqrt{2})^{n-1}$（$n$为正整数）。
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，规律探究
【点评】
本题将几何图形性质与规律归纳结合考查，解题核心是抓住“后一个正方形的边长为前一个正方形对角线”这一特征，结合勾股定理逐步推导即可，归纳规律时注意对应好项数和指数的关系。
【难度系数】
0.7
本题是结合正方形性质的规律探究题，解题思路如下：首先明确后一个正方形的边长是前一个正方形的对角线，利用正方形内角为直角的性质，借助勾股定理即可依次计算$a_2$、$a_3$、$a_4$的值；再观察前几个边长的表达式，找出指数的变化规律，即可归纳出$a_n$的通用表达式。
【解析】
(1) 已知正方形ABCD的边长$a_1=1$，AC是正方形ABCD的对角线，在$Rt△ ABC$中，由勾股定理可得：
$a_2=AC=\sqrt{a_1^2+a_1^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
AE是第二个正方形ACEF的对角线，同理在$Rt△ ACE$中：
$a_3=AE=\sqrt{a_2^2+a_2^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$；
HE是第三个正方形AEGH的对角线，同理在$Rt△ AEH$中：
$a_4=HE=\sqrt{a_3^2+a_3^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
(2) 观察得到的边长：$a_1=1=(\sqrt{2})^0$，$a_2=\sqrt{2}=(\sqrt{2})^1$，$a_3=2=(\sqrt{2})^2$，$a_4=2\sqrt{2}=(\sqrt{2})^3$，可归纳得出规律：第$n$个正方形的边长是$(\sqrt{2})$的$(n-1)$次方，即$a_n=(\sqrt{2})^{n-1}$（$n$为正整数）。
【答案】
(1)$a_2=\sqrt{2}$，$a_3=2$，$a_4=2\sqrt{2}$；
(2)$a_n=(\sqrt{2})^{n-1}$（$n$为正整数）。
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，规律探究
【点评】
本题将几何图形性质与规律归纳结合考查，解题核心是抓住“后一个正方形的边长为前一个正方形对角线”这一特征，结合勾股定理逐步推导即可，归纳规律时注意对应好项数和指数的关系。
【难度系数】
0.7
24.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB和PQ的端点均在小正方形的顶点上.
(1)在线段PQ上确定一点C(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC是轴对称图形，并在网格中画出△ABC；
(2)请直接写出△ABC的周长和面积.
(1)在线段PQ上确定一点C(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC是轴对称图形，并在网格中画出△ABC；
(2)请直接写出△ABC的周长和面积.
答案
24.解:(1)
(2)周长:$10+5\sqrt{2}$;面积:$12.5$.
解析
【分析】
(1) 轴对称的三角形为等腰三角形，因此要使△ABC是轴对称图形，只需构造等腰△ABC即可。首先利用勾股定理算出AB的长度，再在线段PQ的格点中寻找点C，使△ABC的两条边长度相等，就能满足要求。(2) 画出△ABC后，用勾股定理分别计算三条边的长度，相加得到周长；用割补法或者等腰直角三角形面积公式即可算出面积。
【解析】
(1) 设每个小正方形的边长为1，观察AB的位置，横向相差4个单位长度，纵向相差3个单位长度，由勾股定理得$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$。在线段PQ上找到格点C，使得AC=AB=5，连接AC、BC，此时△ABC为等腰直角三角形，属于轴对称图形，画图如参考答案所示。
(2) 计算周长：已知AB=AC=5，再观察BC的位置，横向相差7个单位长度，纵向相差1个单位长度，由勾股定理得$BC=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，因此△ABC的周长为$AB+AC+BC=5+5+5\sqrt{2}=10+5\sqrt{2}$。
计算面积：△ABC是直角边为5的等腰直角三角形，因此面积为$\frac{1}{2} × 5 × 5 = 12.5$，通过割补法用大矩形面积减去周围三个小直角三角形的面积，计算结果一致。
【答案】
(1)
(2)周长:$10+5\sqrt{2}$;面积:$12.5$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形的性质，网格图形计算
【点评】
本题结合网格考查了轴对称图形的识别、勾股定理的应用以及三角形周长和面积的计算，解题的核心是根据轴对称的特征确定需构造等腰三角形，再结合网格的特点找到符合要求的点C。
【难度系数】
0.65
(1) 轴对称的三角形为等腰三角形，因此要使△ABC是轴对称图形，只需构造等腰△ABC即可。首先利用勾股定理算出AB的长度，再在线段PQ的格点中寻找点C，使△ABC的两条边长度相等，就能满足要求。(2) 画出△ABC后，用勾股定理分别计算三条边的长度，相加得到周长；用割补法或者等腰直角三角形面积公式即可算出面积。
【解析】
(1) 设每个小正方形的边长为1，观察AB的位置，横向相差4个单位长度，纵向相差3个单位长度，由勾股定理得$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$。在线段PQ上找到格点C，使得AC=AB=5，连接AC、BC，此时△ABC为等腰直角三角形，属于轴对称图形，画图如参考答案所示。
(2) 计算周长：已知AB=AC=5，再观察BC的位置，横向相差7个单位长度，纵向相差1个单位长度，由勾股定理得$BC=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，因此△ABC的周长为$AB+AC+BC=5+5+5\sqrt{2}=10+5\sqrt{2}$。
计算面积：△ABC是直角边为5的等腰直角三角形，因此面积为$\frac{1}{2} × 5 × 5 = 12.5$，通过割补法用大矩形面积减去周围三个小直角三角形的面积，计算结果一致。
【答案】
(1)
(2)周长:$10+5\sqrt{2}$;面积:$12.5$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形的性质，网格图形计算
【点评】
本题结合网格考查了轴对称图形的识别、勾股定理的应用以及三角形周长和面积的计算，解题的核心是根据轴对称的特征确定需构造等腰三角形，再结合网格的特点找到符合要求的点C。
【难度系数】
0.65
