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25. 如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160 m. 假设当拖拉机行驶时，周围100 m以内会受到噪声的影响，那么当拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
答案
25.解:学校会受到噪声影响.理由如下.
如图,过点 $A$ 作 $AH⊥ MN$ 于点 $H$.
在 $\mathrm{Rt}△ APH$ 中,$∠ QPN=30°$,$AP=160\ \mathrm{m}$,
$\therefore AH=\frac{1}{2}AP=80\ \mathrm{m}＜100\ \mathrm{m}$,
故学校受影响.
设 $MN$ 上两点 $B$,$C$,使 $AB=AC=100\ \mathrm{m}$,在 $\mathrm{Rt}△ AHB$ 中,
$HB=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{100^2-80^2}=60\ \mathrm{m}$.
$\therefore$ 受影响的路程 $BC=2×60=120(\mathrm{m})=0.12\ \mathrm{km}$.
$\because$ 拖拉机的速度为 $18\ \mathrm{km/h}$,
$\therefore$ 受影响时间 $t=0.12÷18×3600=24(\mathrm{s})$.
解析
【分析】
要解决本题可分为两个步骤思考：第一步判断学校是否受噪声影响：根据垂线段最短的性质，过点A作公路MN的垂线，求出垂线段的长度，将其与噪声影响范围半径100m比较，若小于100m则学校会受影响。第二步计算受影响的时间：若学校受影响，在MN上找到到点A距离等于100m的两个点，两点之间的线段就是拖拉机行驶时会影响学校的路段，求出该路段长度后，结合拖拉机的速度即可算出受影响的时间，计算时注意统一单位。
【解析】
1. 判断学校是否受影响：
过点$A$作$AH ⊥ MN$于点$H$，
在$\mathrm{Rt}△ APH$中，$∠ QPN=30°$，$AP=160\ \mathrm{m}$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AH=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×160=80\ \mathrm{m}$，
因为$80\ \mathrm{m}＜100\ \mathrm{m}$，所以学校会受到噪声影响。
2. 计算受影响的时间：
在$MN$上取点$B$、$C$，使得$AB=AC=100\ \mathrm{m}$，即拖拉机行驶在$BC$段时，学校会受噪声影响。
在$\mathrm{Rt}△ AHB$中，由勾股定理得：
$HB=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{100^2-80^2}=60\ \mathrm{m}$，
因为$AB=AC$，$AH⊥ BC$，所以$BC=2HB=2×60=120\ \mathrm{m}=0.12\ \mathrm{km}$，
已知拖拉机速度为$18\ \mathrm{km/h}$，根据$时间=路程÷ 速度$，换算单位得：
受影响时间$t=0.12÷18×3600=24\ \mathrm{s}$。
【答案】
学校会受到噪声影响，受影响的时间为24秒。
【知识点】
垂线段最短；直角三角形30°角的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何实际应用题，结合生活中的噪声影响场景考查直角三角形相关性质的应用，解题的关键是正确理解噪声影响范围的几何意义，计算时要注意单位的统一，避免出现单位换算错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题可分为两个步骤思考：第一步判断学校是否受噪声影响：根据垂线段最短的性质，过点A作公路MN的垂线，求出垂线段的长度，将其与噪声影响范围半径100m比较，若小于100m则学校会受影响。第二步计算受影响的时间：若学校受影响，在MN上找到到点A距离等于100m的两个点，两点之间的线段就是拖拉机行驶时会影响学校的路段，求出该路段长度后，结合拖拉机的速度即可算出受影响的时间，计算时注意统一单位。
【解析】
1. 判断学校是否受影响：
过点$A$作$AH ⊥ MN$于点$H$，
在$\mathrm{Rt}△ APH$中，$∠ QPN=30°$，$AP=160\ \mathrm{m}$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AH=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×160=80\ \mathrm{m}$，
因为$80\ \mathrm{m}＜100\ \mathrm{m}$，所以学校会受到噪声影响。
2. 计算受影响的时间：
在$MN$上取点$B$、$C$，使得$AB=AC=100\ \mathrm{m}$，即拖拉机行驶在$BC$段时，学校会受噪声影响。
在$\mathrm{Rt}△ AHB$中，由勾股定理得：
$HB=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{100^2-80^2}=60\ \mathrm{m}$，
因为$AB=AC$，$AH⊥ BC$，所以$BC=2HB=2×60=120\ \mathrm{m}=0.12\ \mathrm{km}$，
已知拖拉机速度为$18\ \mathrm{km/h}$，根据$时间=路程÷ 速度$，换算单位得：
受影响时间$t=0.12÷18×3600=24\ \mathrm{s}$。
【答案】
学校会受到噪声影响，受影响的时间为24秒。
【知识点】
垂线段最短；直角三角形30°角的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何实际应用题，结合生活中的噪声影响场景考查直角三角形相关性质的应用，解题的关键是正确理解噪声影响范围的几何意义，计算时要注意单位的统一，避免出现单位换算错误。
【难度系数】
0.7
26.如图，$△ ABC$是等边三角形，其边长为1，D是BC的中点，点E，F分别位于AB，AC边上，且$∠ EDF=120°$.
(1)写出DE与DF的数量关系，并证明.
(2)若BE，DE，CF能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数.(要求:写出思路，画出图形，直接给出结果即可)
(3)$AE+AF$的长是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.
(1)写出DE与DF的数量关系，并证明.
(2)若BE，DE，CF能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数.(要求:写出思路，画出图形，直接给出结果即可)
(3)$AE+AF$的长是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.
答案
26.(1)结论:$DE=DF$.
证明:如图 1,连接 $AD$,过点 $D$ 作 $DN⊥ AB$,$DM⊥ AC$,垂足分别为 $N$,$M$.
$\because△ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore∠ BAC=60°$,$AB=AC$,
$\because BD=DC$,
$\therefore∠ BAD=∠ CAD$,
$\therefore DN=DM$,
$\because∠ EDF=120°$,
$\therefore∠ EDF+∠ BAC=180°$,
$∠ AED+∠ AFD=180°$,
$\because∠ AED+∠ DEN=180°$,
$\therefore∠ DFM=∠ DEN$,
在 $△ DNE$ 和 $△ DMF$ 中,
$\begin{cases}∠ DEN=∠ DFM,\\∠ DNE=∠ DMF,\\DN=DM,\end{cases}$
$\therefore△ DNE≌△ DMF(\mathrm{AAS})$,
$\therefore DE=DF$.
(2)能围成三角形,最大内角为 $120°$.
证明:如图 2,延长 $FD$ 到点 $M$,使得 $DF=DM$,连接 $BM$,$EM$.
在 $△ DFC$ 和 $△ DMB$ 中,
$\begin{cases}DC=DB,\\∠ FDC=∠ MDB,\\DF=DM,\end{cases}$
$\therefore△ DFC≌△ DMB(\mathrm{SAS})$,
$\therefore∠ MBD=∠ C=60°$,$BM=CF$,
$\because DE=DF=DM$,
$∠ EDM=180°-∠ EDF=60°$,
$\therefore△ EDM$ 是等边三角形,
$\therefore EM=DE$,
$\therefore EB$,$ED$,$CF$ 能围成 $△ EBM$,最大内角 $∠ EBM=∠ EBC+∠ MBD=60°+60°=120°$.
(3)如图 1,在 $△ ADN$ 和 $△ ADM$ 中
$\begin{cases}AD=AD,\\DN=DM,\end{cases}$
$\therefore△ ADN≌△ ADM(\mathrm{HL})$,
$\therefore AN=AM$,
$\therefore AE+AF=AN-EN+AM+MF$,由(1)可知 $EN=MF$.
$\therefore AE+AF=2AN$.
$\because BD=DC=\frac{1}{2}$,
在 $\mathrm{Rt}△ BDN$ 中,
$\because∠ B=60°$,
$\therefore∠ BDN=30°$,
$\therefore BN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{4}$,
$\therefore AN=AB-BN=\frac{3}{4}$,
$\therefore AE+AF=\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证明DE和DF的数量关系，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等。已知△ABC是等边三角形，D是BC中点，根据等边三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，此时过D作AB、AC的垂线，可得两条垂线段长度相等；再结合∠EDF=120°，可推导得到两个直角三角形的对应锐角相等，即可用AAS证明三角形全等，得到DE=DF。
(2) 要将BE、DE、CF三条线段围成三角形，需要通过构造全等将分散的线段转移到同一个三角形中：延长FD到M使DM=DF，可证△DFC和△DMB全等，将CF转化为BM；再结合第一问DE=DF的结论，可证△EDM是等边三角形，将DE转化为EM，此时BE、BM、EM构成△EBM，结合等边三角形的内角度数即可求出最大内角。
(3) 要判断AE+AF是否为定值，可利用前两问的全等结论：首先证Rt△ADN和Rt△ADM全等得到AN=AM，再结合第一问的EN=MF，将AE+AF转化为2AN；最后通过Rt△BDN中30°角对的直角边是斜边的一半求出BN的长度，即可算出AN的长度，得到AE+AF的定值。
【解析】
(1) 结论：$DE=DF$。
证明：如图1，连接$AD$，过点$D$作$DN⊥AB$，$DM⊥AC$，垂足分别为$N$、$M$。
$\because△ABC$是等边三角形，
$\therefore∠BAC=60°$，$AB=AC$，
$\because BD=DC$，
$\therefore∠BAD=∠CAD$，
$\therefore DN=DM$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
$\because∠EDF=120°$，
$\therefore∠EDF+∠BAC=180°$，
$\therefore∠AED+∠AFD=180°$（四边形内角和为$360°$），
$\because∠AED+∠DEN=180°$，
$\therefore∠DFM=∠DEN$，
在$△DNE$和$△DMF$中，
$\begin{cases}∠DEN=∠DFM,\\∠DNE=∠DMF=90°,\\DN=DM,\end{cases}$
$\therefore△DNE≌△DMF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DE=DF$。
(2) 能围成三角形，最大内角为$120°$。
证明：如图2，延长$FD$到点$M$，使得$DF=DM$，连接$BM$、$EM$。
在$△DFC$和$△DMB$中，
$\begin{cases}DC=DB,\\∠FDC=∠MDB,\\DF=DM,\end{cases}$
$\therefore△DFC≌△DMB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore∠MBD=∠C=60°$，$BM=CF$，
$\because DE=DF=DM$，$∠EDM=180°-∠EDF=60°$，
$\therefore△EDM$是等边三角形，
$\therefore EM=DE$，
$\therefore EB$、$ED$、$CF$能围成$△EBM$，最大内角$∠EBM=∠EBC+∠MBD=60°+60°=120°$。
(3) $AE+AF$的长是定值，理由如下：
如图1，在$\mathrm{Rt}△ADN$和$\mathrm{Rt}△ADM$中，
$\begin{cases}AD=AD,\\DN=DM,\end{cases}$
$\therefore△ADN≌△ADM(\mathrm{HL})$，
$\therefore AN=AM$，
$\therefore AE+AF=AN-EN+AM+MF$，由(1)可知$EN=MF$，
$\therefore AE+AF=2AN$，
$\because BD=DC=\frac{1}{2}$，
在$\mathrm{Rt}△BDN$中，$\because∠B=60°$，
$\therefore∠BDN=30°$，
$\therefore BN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{4}$，
$\therefore AN=AB-BN=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
$\therefore AE+AF=2×\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=DF}$，证明见解析，辅助线图：
(2) 能围成三角形，最大内角为$\boldsymbol{120°}$，辅助线图：
(3) 是定值，为$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题是几何综合题，围绕等边三角形的性质展开，核心是通过构造辅助线证明三角形全等，实现线段和角的转移，对几何逻辑推理能力、辅助线构造能力有一定要求，熟练掌握全等三角形判定方法和等边三角形相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.3
(1) 要证明DE和DF的数量关系，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等。已知△ABC是等边三角形，D是BC中点，根据等边三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，此时过D作AB、AC的垂线，可得两条垂线段长度相等；再结合∠EDF=120°，可推导得到两个直角三角形的对应锐角相等，即可用AAS证明三角形全等，得到DE=DF。
(2) 要将BE、DE、CF三条线段围成三角形，需要通过构造全等将分散的线段转移到同一个三角形中：延长FD到M使DM=DF，可证△DFC和△DMB全等，将CF转化为BM；再结合第一问DE=DF的结论，可证△EDM是等边三角形，将DE转化为EM，此时BE、BM、EM构成△EBM，结合等边三角形的内角度数即可求出最大内角。
(3) 要判断AE+AF是否为定值，可利用前两问的全等结论：首先证Rt△ADN和Rt△ADM全等得到AN=AM，再结合第一问的EN=MF，将AE+AF转化为2AN；最后通过Rt△BDN中30°角对的直角边是斜边的一半求出BN的长度，即可算出AN的长度，得到AE+AF的定值。
【解析】
(1) 结论：$DE=DF$。
证明：如图1，连接$AD$，过点$D$作$DN⊥AB$，$DM⊥AC$，垂足分别为$N$、$M$。
$\because△ABC$是等边三角形，
$\therefore∠BAC=60°$，$AB=AC$，
$\because BD=DC$，
$\therefore∠BAD=∠CAD$，
$\therefore DN=DM$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
$\because∠EDF=120°$，
$\therefore∠EDF+∠BAC=180°$，
$\therefore∠AED+∠AFD=180°$（四边形内角和为$360°$），
$\because∠AED+∠DEN=180°$，
$\therefore∠DFM=∠DEN$，
在$△DNE$和$△DMF$中，
$\begin{cases}∠DEN=∠DFM,\\∠DNE=∠DMF=90°,\\DN=DM,\end{cases}$
$\therefore△DNE≌△DMF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DE=DF$。
(2) 能围成三角形，最大内角为$120°$。
证明：如图2，延长$FD$到点$M$，使得$DF=DM$，连接$BM$、$EM$。
在$△DFC$和$△DMB$中，
$\begin{cases}DC=DB,\\∠FDC=∠MDB,\\DF=DM,\end{cases}$
$\therefore△DFC≌△DMB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore∠MBD=∠C=60°$，$BM=CF$，
$\because DE=DF=DM$，$∠EDM=180°-∠EDF=60°$，
$\therefore△EDM$是等边三角形，
$\therefore EM=DE$，
$\therefore EB$、$ED$、$CF$能围成$△EBM$，最大内角$∠EBM=∠EBC+∠MBD=60°+60°=120°$。
(3) $AE+AF$的长是定值，理由如下：
如图1，在$\mathrm{Rt}△ADN$和$\mathrm{Rt}△ADM$中，
$\begin{cases}AD=AD,\\DN=DM,\end{cases}$
$\therefore△ADN≌△ADM(\mathrm{HL})$，
$\therefore AN=AM$，
$\therefore AE+AF=AN-EN+AM+MF$，由(1)可知$EN=MF$，
$\therefore AE+AF=2AN$，
$\because BD=DC=\frac{1}{2}$，
在$\mathrm{Rt}△BDN$中，$\because∠B=60°$，
$\therefore∠BDN=30°$，
$\therefore BN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{4}$，
$\therefore AN=AB-BN=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
$\therefore AE+AF=2×\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=DF}$，证明见解析，辅助线图：
(2) 能围成三角形，最大内角为$\boldsymbol{120°}$，辅助线图：
(3) 是定值，为$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题是几何综合题，围绕等边三角形的性质展开，核心是通过构造辅助线证明三角形全等，实现线段和角的转移，对几何逻辑推理能力、辅助线构造能力有一定要求，熟练掌握全等三角形判定方法和等边三角形相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.3
