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21. 如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明在 C 处用测角仪测得树顶端 A 的仰角为 $30°$，已知测角仪高 $DC=1.4\ \mathrm{m}$，$BC=30\ \mathrm{m}$，请帮助小明计算出树高 $AB$.($\sqrt{3} \approx 1.732$，结果保留三位有效数字)
答案
21.解:如图,过点 $D$ 作 $DE⊥ AB$ 于点 $E$,得矩形 $DCBE$,则 $DE = BC = 30\ \mathrm{m}$,$BE=DC=1.4\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$∠ ADE=30°$,
设 $AE=x\ \mathrm{m}$,则 $AD=2x\ \mathrm{m}$.
由勾股定理,得$(2x)^2-x^2=30^2$,
$3x^2=900$,$x=10\sqrt{3}\approx17.32$.
$\therefore$ 树高 $AB=AE+BE\approx17.32+1.4=18.72\approx18.7(\mathrm{m})$.
解析
【分析】
本题是利用几何知识解决实际测量高度的问题，解题思路如下：首先观察图形可知AB垂直地面BC，测角仪DC也垂直地面，因此我们可以过点D作DE⊥AB于E，这样就得到矩形DCBE，根据矩形对边相等的性质，可直接得到DE=BC=30m，BE=DC=1.4m，此时要求AB的高度，只需要求出AE的长度即可。接下来在Rt△ADE中，已知仰角∠ADE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角对的直角边AE是斜边AD的一半，我们可以设AE=x，那么AD=2x，再结合勾股定理列出方程即可求出x的值，最后将AE与BE相加就能得到树高AB。
【解析】
解：如图，过点$D$ 作 $DE⊥ AB$ 于点 $E$，得矩形 $DCBE$，则 $DE = BC = 30\ \mathrm{m}$，$BE=DC=1.4\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中，$∠ ADE=30°$，
设 $AE=x\ \mathrm{m}$，则 $AD=2x\ \mathrm{m}$。
由勾股定理，得$(2x)^2-x^2=30^2$，
$3x^2=900$，解得$x=10\sqrt{3}\approx17.32$。
$\therefore$ 树高 $AB=AE+BE\approx17.32+1.4=18.72\approx18.7(\mathrm{m})$。
【答案】
树高$AB$约为$\boxed{18.7\ \mathrm{m}}$
【知识点】
矩形的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是典型的直角三角形实际应用问题，核心是通过作辅助线将不规则图形转化为熟悉的矩形和直角三角形，进而利用相关几何性质计算，解题时需注意不要忽略测角仪的高度，最终结果要按要求保留有效数字。
【难度系数】
0.7
本题是利用几何知识解决实际测量高度的问题，解题思路如下：首先观察图形可知AB垂直地面BC，测角仪DC也垂直地面，因此我们可以过点D作DE⊥AB于E，这样就得到矩形DCBE，根据矩形对边相等的性质，可直接得到DE=BC=30m，BE=DC=1.4m，此时要求AB的高度，只需要求出AE的长度即可。接下来在Rt△ADE中，已知仰角∠ADE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角对的直角边AE是斜边AD的一半，我们可以设AE=x，那么AD=2x，再结合勾股定理列出方程即可求出x的值，最后将AE与BE相加就能得到树高AB。
【解析】
解：如图，过点$D$ 作 $DE⊥ AB$ 于点 $E$，得矩形 $DCBE$，则 $DE = BC = 30\ \mathrm{m}$，$BE=DC=1.4\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中，$∠ ADE=30°$，
设 $AE=x\ \mathrm{m}$，则 $AD=2x\ \mathrm{m}$。
由勾股定理，得$(2x)^2-x^2=30^2$，
$3x^2=900$，解得$x=10\sqrt{3}\approx17.32$。
$\therefore$ 树高 $AB=AE+BE\approx17.32+1.4=18.72\approx18.7(\mathrm{m})$。
【答案】
树高$AB$约为$\boxed{18.7\ \mathrm{m}}$
【知识点】
矩形的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是典型的直角三角形实际应用问题，核心是通过作辅助线将不规则图形转化为熟悉的矩形和直角三角形，进而利用相关几何性质计算，解题时需注意不要忽略测角仪的高度，最终结果要按要求保留有效数字。
【难度系数】
0.7
22.如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,若BC=10 cm,AB=8 cm.
(1)求FC的长；
(2)求EF的长.
(1)求FC的长；
(2)求EF的长.
答案
22.解:(1)由折叠得 $AF=AD=BC=10\ \mathrm{cm}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中,$BF^2=AF^2-AB^2=10^2-8^2=36$,
$\therefore BF=6\ \mathrm{cm}$.
$\therefore FC=BC-BF=10-6=4(\mathrm{cm})$.
(2)设 $EF=DE=x\ \mathrm{cm}$,
则 $EC=(8-x)\ \mathrm{cm}$.
在 $\mathrm{Rt}△ EFC$ 中,由勾股定理得 $x^2=(8-x)^2+4^2$,解得 $x=5$.
$\therefore EF=5\ \mathrm{cm}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中,$BF^2=AF^2-AB^2=10^2-8^2=36$,
$\therefore BF=6\ \mathrm{cm}$.
$\therefore FC=BC-BF=10-6=4(\mathrm{cm})$.
(2)设 $EF=DE=x\ \mathrm{cm}$,
则 $EC=(8-x)\ \mathrm{cm}$.
在 $\mathrm{Rt}△ EFC$ 中,由勾股定理得 $x^2=(8-x)^2+4^2$,解得 $x=5$.
$\therefore EF=5\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
解题思路如下：(1)首先利用折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得AF=AD，再结合长方形对边相等的性质，得到AD=BC=10cm，即AF=10cm；已知AB=8cm，△ABF是直角三角形，用勾股定理算出BF的长度，再用BC的长度减去BF的长度即可得到FC的长。(2)同样利用折叠的性质，得EF=DE，设EF的长度为x cm，那么DE=x cm，EC的长度就是CD的长度减去DE的长度，即(8-x)cm；△EFC是直角三角形，已知FC的长度，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程就能求出EF的长度。
【解析】
(1)由折叠的性质可得：$AF=AD$，
∵四边形ABCD是长方形，
∴$AD=BC=10\ \mathrm{cm}$，$∠ B=90°$，
∴$AF=10\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，根据勾股定理：
$BF^2=AF^2-AB^2=10^2-8^2=36$，
∴$BF=6\ \mathrm{cm}$，
∴$FC=BC-BF=10-6=4(\mathrm{cm})$。
(2)设$EF=x\ \mathrm{cm}$，由折叠的性质可知$DE=EF=x\ \mathrm{cm}$，
∵四边形ABCD是长方形，
∴$CD=AB=8\ \mathrm{cm}$，$∠ C=90°$，
∴$EC=CD-DE=(8-x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ EFC$中，根据勾股定理得：
$EF^2=EC^2+FC^2$，即$x^2=(8-x)^2+4^2$，
展开得：$x^2=64-16x+x^2+16$，
化简得：$16x=80$，解得$x=5$，
∴$EF=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$；(2)$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题是矩形折叠类的典型基础题，核心是利用折叠前后对应边相等的性质转化边的关系，再结合直角三角形的勾股定理进行计算或建立方程求解，解题时要注意结合图形梳理边之间的数量关系，熟练运用方程思想解决几何计算问题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：(1)首先利用折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得AF=AD，再结合长方形对边相等的性质，得到AD=BC=10cm，即AF=10cm；已知AB=8cm，△ABF是直角三角形，用勾股定理算出BF的长度，再用BC的长度减去BF的长度即可得到FC的长。(2)同样利用折叠的性质，得EF=DE，设EF的长度为x cm，那么DE=x cm，EC的长度就是CD的长度减去DE的长度，即(8-x)cm；△EFC是直角三角形，已知FC的长度，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程就能求出EF的长度。
【解析】
(1)由折叠的性质可得：$AF=AD$，
∵四边形ABCD是长方形，
∴$AD=BC=10\ \mathrm{cm}$，$∠ B=90°$，
∴$AF=10\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，根据勾股定理：
$BF^2=AF^2-AB^2=10^2-8^2=36$，
∴$BF=6\ \mathrm{cm}$，
∴$FC=BC-BF=10-6=4(\mathrm{cm})$。
(2)设$EF=x\ \mathrm{cm}$，由折叠的性质可知$DE=EF=x\ \mathrm{cm}$，
∵四边形ABCD是长方形，
∴$CD=AB=8\ \mathrm{cm}$，$∠ C=90°$，
∴$EC=CD-DE=(8-x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ EFC$中，根据勾股定理得：
$EF^2=EC^2+FC^2$，即$x^2=(8-x)^2+4^2$，
展开得：$x^2=64-16x+x^2+16$，
化简得：$16x=80$，解得$x=5$，
∴$EF=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$；(2)$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题是矩形折叠类的典型基础题，核心是利用折叠前后对应边相等的性质转化边的关系，再结合直角三角形的勾股定理进行计算或建立方程求解，解题时要注意结合图形梳理边之间的数量关系，熟练运用方程思想解决几何计算问题。
【难度系数】
0.7
