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三、解答题
19.如图,在$△ ABC$中,$CD ⊥ AB$于点$D$,$AC=4$,$BC=3$,$DB=1.8$.
(1)求$DC$的长.
(2)求$AD$的长.
(3)求证:$△ ABC$是直角三角形.
19.如图,在$△ ABC$中,$CD ⊥ AB$于点$D$,$AC=4$,$BC=3$,$DB=1.8$.
(1)求$DC$的长.
(2)求$AD$的长.
(3)求证:$△ ABC$是直角三角形.
答案
19.(1)解:$\because CD⊥ AB$,
$\therefore△ BCD$ 为直角三角形.
$\therefore DC = \sqrt{BC^2-DB^2} = \sqrt{3^2-1.8^2} = 2.4$.
(2)解:同理,$△ ACD$ 为直角三角形
$\therefore AD = \sqrt{AC^2-DC^2} = \sqrt{4^2-2.4^2} = 3.2$.
(3)证明:$AB = AD + DB = 3.2 + 1.8 = 5$.
$\because AC^2+BC^2 = 4^2+3^2 = 25$,$AB^2=25$,
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$,
$\therefore△ ABC$ 是直角三角形.
$\therefore△ BCD$ 为直角三角形.
$\therefore DC = \sqrt{BC^2-DB^2} = \sqrt{3^2-1.8^2} = 2.4$.
(2)解:同理,$△ ACD$ 为直角三角形
$\therefore AD = \sqrt{AC^2-DC^2} = \sqrt{4^2-2.4^2} = 3.2$.
(3)证明:$AB = AD + DB = 3.2 + 1.8 = 5$.
$\because AC^2+BC^2 = 4^2+3^2 = 25$,$AB^2=25$,
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$,
$\therefore△ ABC$ 是直角三角形.
解析
【分析】
本题可分三步逐步求解：
1. 求DC的长：已知CD垂直AB，可得△BCD是直角三角形，其中BC为斜边，DB、DC为直角边，已知BC和DB的长度，直接运用勾股定理即可求出DC的长。
2. 求AD的长：同理△ACD也是直角三角形，AC为斜边，DC、AD为直角边，已知AC长度和第(1)问求出的DC长度，再次运用勾股定理即可求出AD的长。
3. 证明△ABC是直角三角形：先通过AD+DB求出AB的总长度，再分别计算$AC^2+BC^2$和$AB^2$，若二者相等，根据勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形。
【解析】
(1) 解：$\because CD ⊥ AB$，
$\therefore △ BCD$为直角三角形。
由勾股定理得：
$DC = \sqrt{BC^2-DB^2} = \sqrt{3^2-1.8^2} = 2.4$。
(2) 解：同理，$△ ACD$为直角三角形，
由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2-DC^2} = \sqrt{4^2-2.4^2} = 3.2$。
(3) 证明：$AB = AD + DB = 3.2 + 1.8 = 5$，
$\because AC^2+BC^2 = 4^2+3^2 = 25$，$AB^2=25$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
【答案】
(1) $DC=2.4$；
(2) $AD=3.2$；
(3) $△ ABC$是直角三角形。
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理、线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理相关的基础题型，重点考查直角三角形的边长计算和直角三角形的判定方法，解题时需先找准直角三角形的斜边和直角边，再对应代入公式计算即可，解题逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
本题可分三步逐步求解：
1. 求DC的长：已知CD垂直AB，可得△BCD是直角三角形，其中BC为斜边，DB、DC为直角边，已知BC和DB的长度，直接运用勾股定理即可求出DC的长。
2. 求AD的长：同理△ACD也是直角三角形，AC为斜边，DC、AD为直角边，已知AC长度和第(1)问求出的DC长度，再次运用勾股定理即可求出AD的长。
3. 证明△ABC是直角三角形：先通过AD+DB求出AB的总长度，再分别计算$AC^2+BC^2$和$AB^2$，若二者相等，根据勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形。
【解析】
(1) 解：$\because CD ⊥ AB$，
$\therefore △ BCD$为直角三角形。
由勾股定理得：
$DC = \sqrt{BC^2-DB^2} = \sqrt{3^2-1.8^2} = 2.4$。
(2) 解：同理，$△ ACD$为直角三角形，
由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2-DC^2} = \sqrt{4^2-2.4^2} = 3.2$。
(3) 证明：$AB = AD + DB = 3.2 + 1.8 = 5$，
$\because AC^2+BC^2 = 4^2+3^2 = 25$，$AB^2=25$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
【答案】
(1) $DC=2.4$；
(2) $AD=3.2$；
(3) $△ ABC$是直角三角形。
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理、线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理相关的基础题型，重点考查直角三角形的边长计算和直角三角形的判定方法，解题时需先找准直角三角形的斜边和直角边，再对应代入公式计算即可，解题逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
20.如图,在$△ ABC$中,$AB=2$,$∠ ABC=30°$,$∠ ACB=45°$,求$BC$的长. 
答案
20.解:如图,过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$,垂足为 $D$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$∠ ABD=30°$,$AB=2$,
$\therefore AD = \frac{1}{2}AB = 1$,
$BD = \sqrt{AB^2-AD^2} = \sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$∠ ACB=45°$,
$\therefore∠ DAC=∠ ACB$,
$\therefore CD=AD=1$.
$\therefore BC=BD+CD=\sqrt{3}+1$.
解析
【分析】
本题中的△ABC是斜三角形，已知两个特殊角和一条边的长度，要计算BC的长，需先将斜三角形转化为直角三角形求解：过点A作AD⊥BC于D，即可将△ABC拆分为两个含特殊角的直角三角形。首先在Rt△ABD中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出AD，再用勾股定理求出BD；之后在Rt△ACD中，由45°角可知该三角形为等腰直角三角形，可得CD=AD，最后将BD与CD相加就能得到BC的长度。
【解析】
解：如图，过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$,垂足为 $D$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$∠ ABD=30°$,$AB=2$,
$\therefore AD = \frac{1}{2}AB = 1$,
由勾股定理得：$BD = \sqrt{AB^2-AD^2} = \sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$∠ ACB=45°$,
$\therefore∠ DAC=90°-∠ ACB=45°=∠ ACB$,
$\therefore CD=AD=1$.
$\therefore BC=BD+CD=\sqrt{3}+1$.
【答案】
$BC$的长为$\sqrt{3}+1$
【知识点】
直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解三角形的基础常考题，核心解题思路是通过作高将斜三角形转化为含特殊角的直角三角形，再结合特殊直角三角形的性质和勾股定理计算边长，解题的关键是正确作出辅助线。
【难度系数】
0.7
本题中的△ABC是斜三角形，已知两个特殊角和一条边的长度，要计算BC的长，需先将斜三角形转化为直角三角形求解：过点A作AD⊥BC于D，即可将△ABC拆分为两个含特殊角的直角三角形。首先在Rt△ABD中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出AD，再用勾股定理求出BD；之后在Rt△ACD中，由45°角可知该三角形为等腰直角三角形，可得CD=AD，最后将BD与CD相加就能得到BC的长度。
【解析】
解：如图，过点 $A$ 作 $AD⊥ BC$,垂足为 $D$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$∠ ABD=30°$,$AB=2$,
$\therefore AD = \frac{1}{2}AB = 1$,
由勾股定理得：$BD = \sqrt{AB^2-AD^2} = \sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$∠ ACB=45°$,
$\therefore∠ DAC=90°-∠ ACB=45°=∠ ACB$,
$\therefore CD=AD=1$.
$\therefore BC=BD+CD=\sqrt{3}+1$.
【答案】
$BC$的长为$\sqrt{3}+1$
【知识点】
直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解三角形的基础常考题，核心解题思路是通过作高将斜三角形转化为含特殊角的直角三角形，再结合特殊直角三角形的性质和勾股定理计算边长，解题的关键是正确作出辅助线。
【难度系数】
0.7
