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9.已知$a,b,c$是一个三角形的三边长，且满足$(a-6)^2+\sqrt{b-8}+|c-10|=0$，则该三角形的形状是（
A.底与边不相等的等腰三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
D
）A.底与边不相等的等腰三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
答案
9.D
解析
【分析】
平方、算术平方根、绝对值均为非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0。我们可以先根据这个性质求出三角形三边a、b、c的长度，再通过三边的数量关系判断三角形的形状。
【解析】
∵ 平方、算术平方根、绝对值都具有非负性，即$(a-6)^2≥0$，$\sqrt{b-8}≥0$，$|c-10|≥0$，且三者之和为0，
∴ 每个非负项都等于0，即：
$a-6=0$，解得$a=6$；
$b-8=0$，解得$b=8$；
$c-10=0$，解得$c=10$。
计算三边的平方：$a^2+b^2=6^2+8^2=36+64=100$，$c^2=10^2=100$，
∴ $a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理可知，该三角形为直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先利用非负数的性质求出三边长，再结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，考查的都是基础知识点的应用。
【难度系数】
0.8
平方、算术平方根、绝对值均为非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0。我们可以先根据这个性质求出三角形三边a、b、c的长度，再通过三边的数量关系判断三角形的形状。
【解析】
∵ 平方、算术平方根、绝对值都具有非负性，即$(a-6)^2≥0$，$\sqrt{b-8}≥0$，$|c-10|≥0$，且三者之和为0，
∴ 每个非负项都等于0，即：
$a-6=0$，解得$a=6$；
$b-8=0$，解得$b=8$；
$c-10=0$，解得$c=10$。
计算三边的平方：$a^2+b^2=6^2+8^2=36+64=100$，$c^2=10^2=100$，
∴ $a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理可知，该三角形为直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先利用非负数的性质求出三边长，再结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，考查的都是基础知识点的应用。
【难度系数】
0.8
10. 如图，一小虫从长、宽、高分别为1 cm，2 cm，3 cm的长方体盒子的表面上A点爬到B点，它经过的最短路径长度为（
A.$3\sqrt{2}$ cm
B.$2\sqrt{5}$ cm
C.$\sqrt{26}$ cm
D.$4\sqrt{3}$ cm
A
）A.$3\sqrt{2}$ cm
B.$2\sqrt{5}$ cm
C.$\sqrt{26}$ cm
D.$4\sqrt{3}$ cm
答案
10.A
解析
【分析】
要解决长方体表面的最短路径问题，核心思路是将立体图形的表面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”的原理，把爬行路径转化为直角三角形的斜边，再通过勾股定理计算不同展开方式下的路径长度，比较后取最小值即可。
首先明确长方体的长、宽、高分别为1cm、2cm、3cm，A、B分别在两个相邻的面上，共有3种不同的展开方式，分别计算每种方式下的路径长度再比较大小。
【解析】
将长方体表面展开，共有三种情况，分别用勾股定理计算路径长度：
1. 展开后直角三角形的两条直角边为（1+2）cm和3cm：
路径长度 = $\sqrt{(1+2)^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ cm；
2. 展开后直角三角形的两条直角边为（1+3）cm和2cm：
路径长度 = $\sqrt{(1+3)^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ cm；
3. 展开后直角三角形的两条直角边为（2+3）cm和1cm：
路径长度 = $\sqrt{(2+3)^2 + 1^2} = \sqrt{25+1} = \sqrt{26}$ cm。
比较三个结果：$3\sqrt{2} ＜ 2\sqrt{5} ＜ \sqrt{26}$，因此最短路径长度为$3\sqrt{2}$ cm。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；最短路径问题；立体图形展开
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型考题，解题的关键是掌握立体转平面的展开方法，需注意枚举所有可能的展开情况，避免漏算，既考查了空间想象能力，也考查了勾股定理的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决长方体表面的最短路径问题，核心思路是将立体图形的表面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”的原理，把爬行路径转化为直角三角形的斜边，再通过勾股定理计算不同展开方式下的路径长度，比较后取最小值即可。
首先明确长方体的长、宽、高分别为1cm、2cm、3cm，A、B分别在两个相邻的面上，共有3种不同的展开方式，分别计算每种方式下的路径长度再比较大小。
【解析】
将长方体表面展开，共有三种情况，分别用勾股定理计算路径长度：
1. 展开后直角三角形的两条直角边为（1+2）cm和3cm：
路径长度 = $\sqrt{(1+2)^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ cm；
2. 展开后直角三角形的两条直角边为（1+3）cm和2cm：
路径长度 = $\sqrt{(1+3)^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ cm；
3. 展开后直角三角形的两条直角边为（2+3）cm和1cm：
路径长度 = $\sqrt{(2+3)^2 + 1^2} = \sqrt{25+1} = \sqrt{26}$ cm。
比较三个结果：$3\sqrt{2} ＜ 2\sqrt{5} ＜ \sqrt{26}$，因此最短路径长度为$3\sqrt{2}$ cm。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；最短路径问题；立体图形展开
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型考题，解题的关键是掌握立体转平面的展开方法，需注意枚举所有可能的展开情况，避免漏算，既考查了空间想象能力，也考查了勾股定理的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
二、填空题
11. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$a=8$，$c=17$，则$b=$
11. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$a=8$，$c=17$，则$b=$
15
。答案
11.15
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知两边求第三边的问题，解题核心是运用勾股定理。首先明确∠C=90°，因此斜边为c，勾股定理的表达式为$a^2+b^2=c^2$，要求$b$可将公式变形为$b=\sqrt{c^2-a^2}$（边长为正数，因此取算术平方根），再代入已知的$a$、$c$数值计算即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ 根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$，
变形得$b=\sqrt{c^2-a^2}$，
将$a=8$，$c=17$代入得：
$b=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{289 - 64}=\sqrt{225}=15$。
【答案】
15
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题时需先确定直角对应的斜边，再正确代入勾股定理计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题是直角三角形中已知两边求第三边的问题，解题核心是运用勾股定理。首先明确∠C=90°，因此斜边为c，勾股定理的表达式为$a^2+b^2=c^2$，要求$b$可将公式变形为$b=\sqrt{c^2-a^2}$（边长为正数，因此取算术平方根），再代入已知的$a$、$c$数值计算即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ 根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$，
变形得$b=\sqrt{c^2-a^2}$，
将$a=8$，$c=17$代入得：
$b=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{289 - 64}=\sqrt{225}=15$。
【答案】
15
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题时需先确定直角对应的斜边，再正确代入勾股定理计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
若一个三角形的三边长分别为9,40,41,则此三角形是
直角三角形
.答案
12.直角三角形
解析
【分析】
要判断已知三边长的三角形的形状，可运用勾股定理的逆定理求解，思考步骤如下：第一步先找出三条边中的最长边，第二步分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方，若二者相等，则该三角形为直角三角形，否则不是。本题中三边长为9、40、41，首先确定最长边为41，接下来只需验证9²+40²是否等于41²即可得到结论。
【解析】
第一步：确定该三角形的最长边为41。
第二步：计算两条较短边的平方和：
$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$
第三步：计算最长边的平方：
$41^2 = 1681$
可得$9^2 + 40^2 = 41^2$，根据勾股定理的逆定理，可判定该三角形为直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查勾股定理逆定理的应用，解题核心是先确定最长边，再通过平方运算验证三边是否符合逆定理的条件，计算难度低，易于掌握。
【难度系数】
0.9
要判断已知三边长的三角形的形状，可运用勾股定理的逆定理求解，思考步骤如下：第一步先找出三条边中的最长边，第二步分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方，若二者相等，则该三角形为直角三角形，否则不是。本题中三边长为9、40、41，首先确定最长边为41，接下来只需验证9²+40²是否等于41²即可得到结论。
【解析】
第一步：确定该三角形的最长边为41。
第二步：计算两条较短边的平方和：
$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$
第三步：计算最长边的平方：
$41^2 = 1681$
可得$9^2 + 40^2 = 41^2$，根据勾股定理的逆定理，可判定该三角形为直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查勾股定理逆定理的应用，解题核心是先确定最长边，再通过平方运算验证三边是否符合逆定理的条件，计算难度低，易于掌握。
【难度系数】
0.9
13.小乐家到学校的直线距离有 500 m,但需要拐一个直角弯(拐弯处为直角顶点)才能到达,从家门口到拐弯处有 300 m,则从拐弯处到学校有
400
m.答案
13.400
解析
【分析】
根据题意可判断小乐家、拐弯处、学校三点的连线构成直角三角形，拐弯处为直角顶点，小乐家到学校的直线距离是该直角三角形的斜边，家门口到拐弯处的距离是其中一条直角边，所求的拐弯处到学校的距离就是另一条直角边，可直接运用勾股定理求解。
【解析】
设拐弯处到学校的距离为$ x $ m，由题意可知三点构成直角三角形，直角顶点在拐弯处，根据勾股定理可得：
$300^2 + x^2 = 500^2$
移项计算：
$x^2 = 500^2 - 300^2 = 250000 - 90000 = 160000$
因为距离为正数，所以$ x = \sqrt{160000} = 400 $。
【答案】
400
【知识点】
勾股定理；实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用，解题核心是将实际路径问题转化为直角三角形的边长计算问题，找准各边对应的长度后代入公式即可得出结果。
【难度系数】
0.8
根据题意可判断小乐家、拐弯处、学校三点的连线构成直角三角形，拐弯处为直角顶点，小乐家到学校的直线距离是该直角三角形的斜边，家门口到拐弯处的距离是其中一条直角边，所求的拐弯处到学校的距离就是另一条直角边，可直接运用勾股定理求解。
【解析】
设拐弯处到学校的距离为$ x $ m，由题意可知三点构成直角三角形，直角顶点在拐弯处，根据勾股定理可得：
$300^2 + x^2 = 500^2$
移项计算：
$x^2 = 500^2 - 300^2 = 250000 - 90000 = 160000$
因为距离为正数，所以$ x = \sqrt{160000} = 400 $。
【答案】
400
【知识点】
勾股定理；实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用，解题核心是将实际路径问题转化为直角三角形的边长计算问题，找准各边对应的长度后代入公式即可得出结果。
【难度系数】
0.8
14. 如图,一艘船由某岛(A处)正南 30 n mile的 B 处向东以 20 n mile/h 的速度航行 2 h 后到达 C 处,则 AC 间的距离是
50
n mile.答案
14.50
解析
【分析】
首先根据题意，AB为正南方向，BC为正东方向，可得∠B=90°，△ABC是直角三角形。先根据“路程=速度×时间”求出BC的长度，再结合已知的AB长度，利用勾股定理即可求出斜边AC的长度。
【解析】
解：由题意得，∠B=90°，AB=30 n mile，
BC的长度为：$20×2=40$（n mile），
在Rt△ABC中，根据勾股定理：$AC^2=AB^2+BC^2$，
代入数值：$AC^2=30^2+40^2=900+1600=2500$，
所以$AC=\sqrt{2500}=50$（n mile）。
【答案】
50
【知识点】
勾股定理、路程计算、直角三角形判定
【点评】
本题是勾股定理在实际航行问题中的应用，解题的核心是结合方向信息判断出三角形为直角三角形，再求出两条直角边的长度后代入勾股定理计算，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
首先根据题意，AB为正南方向，BC为正东方向，可得∠B=90°，△ABC是直角三角形。先根据“路程=速度×时间”求出BC的长度，再结合已知的AB长度，利用勾股定理即可求出斜边AC的长度。
【解析】
解：由题意得，∠B=90°，AB=30 n mile，
BC的长度为：$20×2=40$（n mile），
在Rt△ABC中，根据勾股定理：$AC^2=AB^2+BC^2$，
代入数值：$AC^2=30^2+40^2=900+1600=2500$，
所以$AC=\sqrt{2500}=50$（n mile）。
【答案】
50
【知识点】
勾股定理、路程计算、直角三角形判定
【点评】
本题是勾股定理在实际航行问题中的应用，解题的核心是结合方向信息判断出三角形为直角三角形，再求出两条直角边的长度后代入勾股定理计算，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
15.如图,在$△ ABC$中,$AC=6$,$AB=BC=5$,则$BC$边上的高$AD=$
4.8
.答案
15.4.8
解析
【分析】
要求BC边上的高AD，可选择两种常见思路求解：
思路1：AD垂直BC，因此△ABD和△ACD都是直角三角形，AD是两个直角三角形的公共直角边。设BD的长度为x，则DC=BC-BD=5-x，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD²，联立方程即可求出x，进而计算AD的长度。
思路2：利用等面积法求解。△ABC是AB=BC的等腰三角形，先根据等腰三角形三线合一求出AC边上的高，算出△ABC的面积，再结合面积公式“面积=½×BC×AD”，即可反推出AD的长度。
【解析】
方法1（勾股定理列方程）：
设BD=x，
∵BC=5，
∴DC=5-x
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2 - BD^2=5^2 - x^2=25 - x^2$
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2 - DC^2=6^2 - (5-x)^2=36 - (25 -10x +x^2)=11 +10x -x^2$
∴$25 - x^2 = 11 + 10x - x^2$
消去$x^2$得：$25=11+10x$，解得$x=1.4$
将$x=1.4$代入$AD^2=25 - x^2$，得$AD^2=25 - 1.96=23.04$
∵AD＞0，
∴$AD=\sqrt{23.04}=4.8$
方法2（等面积法）：
过点B作BE⊥AC于点E，
∵AB=BC=5，△ABC是等腰三角形，BE⊥AC
∴E是AC中点（等腰三角形三线合一），$AE=\frac{1}{2}AC=3$
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$BE^2=AB^2 - AE^2=5^2 - 3^2=16$，
∴$BE=4$
△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×AC×BE=\frac{1}{2}×6×4=12$
又
∵$S=\frac{1}{2}×BC×AD$，BC=5
∴$12=\frac{1}{2}×5×AD$，解得$AD=\frac{24}{5}=4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，等腰三角形性质
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，既可以通过公共边结合勾股定理联立方程求解，也可以用等面积法简化计算，解题时可灵活选择方法，注意保证计算准确性。
【难度系数】
0.7
要求BC边上的高AD，可选择两种常见思路求解：
思路1：AD垂直BC，因此△ABD和△ACD都是直角三角形，AD是两个直角三角形的公共直角边。设BD的长度为x，则DC=BC-BD=5-x，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD²，联立方程即可求出x，进而计算AD的长度。
思路2：利用等面积法求解。△ABC是AB=BC的等腰三角形，先根据等腰三角形三线合一求出AC边上的高，算出△ABC的面积，再结合面积公式“面积=½×BC×AD”，即可反推出AD的长度。
【解析】
方法1（勾股定理列方程）：
设BD=x，
∵BC=5，
∴DC=5-x
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2 - BD^2=5^2 - x^2=25 - x^2$
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2 - DC^2=6^2 - (5-x)^2=36 - (25 -10x +x^2)=11 +10x -x^2$
∴$25 - x^2 = 11 + 10x - x^2$
消去$x^2$得：$25=11+10x$，解得$x=1.4$
将$x=1.4$代入$AD^2=25 - x^2$，得$AD^2=25 - 1.96=23.04$
∵AD＞0，
∴$AD=\sqrt{23.04}=4.8$
方法2（等面积法）：
过点B作BE⊥AC于点E，
∵AB=BC=5，△ABC是等腰三角形，BE⊥AC
∴E是AC中点（等腰三角形三线合一），$AE=\frac{1}{2}AC=3$
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$BE^2=AB^2 - AE^2=5^2 - 3^2=16$，
∴$BE=4$
△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×AC×BE=\frac{1}{2}×6×4=12$
又
∵$S=\frac{1}{2}×BC×AD$，BC=5
∴$12=\frac{1}{2}×5×AD$，解得$AD=\frac{24}{5}=4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，等腰三角形性质
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，既可以通过公共边结合勾股定理联立方程求解，也可以用等面积法简化计算，解题时可灵活选择方法，注意保证计算准确性。
【难度系数】
0.7
16.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境.已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要
150a
元.答案
16.150a
解析
【分析】
要计算购买草皮的总费用，首先需要求出这块三角形空地的面积。已知三角形两边的长度和两边的夹角为150°，我们可以通过作辅助线构造含30°角的直角三角形，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出三角形的高，再结合三角形面积公式计算面积，最后乘以每平方米草皮的售价即可得到总费用。
【解析】
设夹角为150°的三角形顶点为A，相邻两边长分别为AB=20m，AC=30m，∠BAC=150°。
过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于点D，则∠ADB=90°。
∵∠BAC=150°，
∴∠BAD=180°-150°=30°。
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=20m，
∴30°角对的直角边BD=½AB=½×20=10m。
根据三角形面积公式，这块空地的面积S=½×底×高=½×AC×BD=½×30×10=150（平方米）。
已知草皮每平方米售价a元，因此总费用为150×a=150a元。
【答案】
150a
【知识点】
三角形面积计算；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题的解题核心是通过作高构造直角三角形，将已知的150°钝角转化为其补角30°的特殊角，进而求出三角形的高，再结合面积公式求解，侧重考查对三角形相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算购买草皮的总费用，首先需要求出这块三角形空地的面积。已知三角形两边的长度和两边的夹角为150°，我们可以通过作辅助线构造含30°角的直角三角形，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出三角形的高，再结合三角形面积公式计算面积，最后乘以每平方米草皮的售价即可得到总费用。
【解析】
设夹角为150°的三角形顶点为A，相邻两边长分别为AB=20m，AC=30m，∠BAC=150°。
过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于点D，则∠ADB=90°。
∵∠BAC=150°，
∴∠BAD=180°-150°=30°。
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=20m，
∴30°角对的直角边BD=½AB=½×20=10m。
根据三角形面积公式，这块空地的面积S=½×底×高=½×AC×BD=½×30×10=150（平方米）。
已知草皮每平方米售价a元，因此总费用为150×a=150a元。
【答案】
150a
【知识点】
三角形面积计算；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题的解题核心是通过作高构造直角三角形，将已知的150°钝角转化为其补角30°的特殊角，进而求出三角形的高，再结合面积公式求解，侧重考查对三角形相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
17.有两棵树，一棵高6 m，另一棵高3 m，两树相距4 m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了
5
m.答案
17.5
解析
【分析】
要解决小鸟飞行的最短距离问题，首先根据“两点之间线段最短”，可知小鸟沿两棵树树梢的直线飞行时路程最短。接下来我们可以将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题：先计算两棵树的高度差作为直角三角形的一条直角边，两树的水平距离作为另一条直角边，所求最短距离就是直角三角形的斜边，用勾股定理即可计算。
【解析】
我们可以通过构造直角三角形求解：
1. 设高6m的树树梢为A，底部为B，则AB=6m；高3m的树树梢为C，底部为D，则CD=3m，两树水平距离BD=4m。
2. 过点C作CE⊥AB，垂足为E，可得CE=BD=4m，BE=CD=3m。
3. 计算两棵树的高度差：AE = AB - BE = 6 - 3 = 3m。
4. 在Rt△AEC中，根据勾股定理$AC^2 = AE^2 + CE^2$，代入数值得$AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，因此$AC = 5m$（距离为正数，舍去负根）。
【答案】
5
【知识点】
1. 勾股定理
2. 最短路径问题
3. 直角三角形性质
【点评】
这道题将生活实际问题转化为几何模型，重点考查学生对勾股定理的应用能力，解题的关键是准确构造出对应的直角三角形，找到两条直角边的长度。
【难度系数】
0.8
要解决小鸟飞行的最短距离问题，首先根据“两点之间线段最短”，可知小鸟沿两棵树树梢的直线飞行时路程最短。接下来我们可以将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题：先计算两棵树的高度差作为直角三角形的一条直角边，两树的水平距离作为另一条直角边，所求最短距离就是直角三角形的斜边，用勾股定理即可计算。
【解析】
我们可以通过构造直角三角形求解：
1. 设高6m的树树梢为A，底部为B，则AB=6m；高3m的树树梢为C，底部为D，则CD=3m，两树水平距离BD=4m。
2. 过点C作CE⊥AB，垂足为E，可得CE=BD=4m，BE=CD=3m。
3. 计算两棵树的高度差：AE = AB - BE = 6 - 3 = 3m。
4. 在Rt△AEC中，根据勾股定理$AC^2 = AE^2 + CE^2$，代入数值得$AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，因此$AC = 5m$（距离为正数，舍去负根）。
【答案】
5
【知识点】
1. 勾股定理
2. 最短路径问题
3. 直角三角形性质
【点评】
这道题将生活实际问题转化为几何模型，重点考查学生对勾股定理的应用能力，解题的关键是准确构造出对应的直角三角形，找到两条直角边的长度。
【难度系数】
0.8
18.将一根长24 cm的筷子，置于底面直径15 cm、高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示.设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是
7 cm≤h≤16 cm
。答案
18. 7 cm≤h≤16 cm
解析
【分析】
要确定筷子露在外面的长度h的取值范围，首先明确h=筷子总长度-杯子内筷子的长度，因此只需找到杯子内筷子长度的取值范围即可。我们考虑两种极端情况：①筷子竖直放置时，杯内筷子长度最短，此时h最大；②筷子斜放，两端分别抵住杯底圆周和杯口边缘时，杯内筷子长度最长，此时杯内筷子长度、圆柱底面直径、圆柱的高构成直角三角形，杯内长度为斜边，此时h最小。分别计算两种情况的h值，就能得到h的取值范围。
【解析】
1. 求h的最大值：
当筷子竖直放入水杯中时，杯内筷子的长度等于圆柱的高，即8 cm。
此时露在外面的长度最大：$ h_{\mathrm{max}} = 24 - 8 = 16\ \mathrm{cm} $。
2. 求h的最小值：
当筷子斜放，底端接触底面圆周、顶端接触杯口对侧边缘时，杯内筷子长度为直角三角形的斜边，两条直角边分别为底面直径15 cm、圆柱的高8 cm。
根据勾股定理，杯内筷子最大长度为：$ \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\ \mathrm{cm} $。
此时露在外面的长度最小：$ h_{\mathrm{min}} = 24 - 17 =7\ \mathrm{cm} $。
综上，h的取值范围是7 cm≤h≤16 cm。
【答案】
7 cm≤h≤16 cm
【知识点】
勾股定理的应用；圆柱的特征
【点评】
本题需要结合实际场景分析两种极端情况，将立体几何中的长度问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题的关键是准确找到杯内筷子长度的最值对应的放置方式，属于勾股定理在实际生活中的典型应用。
【难度系数】
0.7
要确定筷子露在外面的长度h的取值范围，首先明确h=筷子总长度-杯子内筷子的长度，因此只需找到杯子内筷子长度的取值范围即可。我们考虑两种极端情况：①筷子竖直放置时，杯内筷子长度最短，此时h最大；②筷子斜放，两端分别抵住杯底圆周和杯口边缘时，杯内筷子长度最长，此时杯内筷子长度、圆柱底面直径、圆柱的高构成直角三角形，杯内长度为斜边，此时h最小。分别计算两种情况的h值，就能得到h的取值范围。
【解析】
1. 求h的最大值：
当筷子竖直放入水杯中时，杯内筷子的长度等于圆柱的高，即8 cm。
此时露在外面的长度最大：$ h_{\mathrm{max}} = 24 - 8 = 16\ \mathrm{cm} $。
2. 求h的最小值：
当筷子斜放，底端接触底面圆周、顶端接触杯口对侧边缘时，杯内筷子长度为直角三角形的斜边，两条直角边分别为底面直径15 cm、圆柱的高8 cm。
根据勾股定理，杯内筷子最大长度为：$ \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\ \mathrm{cm} $。
此时露在外面的长度最小：$ h_{\mathrm{min}} = 24 - 17 =7\ \mathrm{cm} $。
综上，h的取值范围是7 cm≤h≤16 cm。
【答案】
7 cm≤h≤16 cm
【知识点】
勾股定理的应用；圆柱的特征
【点评】
本题需要结合实际场景分析两种极端情况，将立体几何中的长度问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题的关键是准确找到杯内筷子长度的最值对应的放置方式，属于勾股定理在实际生活中的典型应用。
【难度系数】
0.7
