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5.在下面的三个矩形中，相似的是(
A.甲和乙
B.甲和丙
C.乙和丙
D.甲、乙和丙
B
).A.甲和乙
B.甲和丙
C.乙和丙
D.甲、乙和丙
答案
5. B
解析
甲矩形长4cm，宽3cm，长宽比为$\frac{4}{3}$；
乙矩形长4cm，宽2cm，长宽比为$\frac{4}{2}=2$；
丙矩形长2cm，宽1.5cm，长宽比为$\frac{2}{1.5}=\frac{4}{3}$；
甲和丙的长宽比相等，所以相似的是甲和丙。
B
乙矩形长4cm，宽2cm，长宽比为$\frac{4}{2}=2$；
丙矩形长2cm，宽1.5cm，长宽比为$\frac{2}{1.5}=\frac{4}{3}$；
甲和丙的长宽比相等，所以相似的是甲和丙。
B
6.在比例尺为$1 : 40000$的工程示意图上，某市地铁四号线的长度大约为$54.3cm$，它的实际长度约为(
A.$0.2172km$
B.$2.172km$
C.$21.72km$
D.$217.2km$
C
).A.$0.2172km$
B.$2.172km$
C.$21.72km$
D.$217.2km$
答案
6. C
解析
设实际长度为$x$cm，根据比例尺定义可得：$\frac{1}{40000}=\frac{54.3}{x}$，解得$x = 54.3×40000 = 2172000$cm。因为$1km=100000cm$，所以$2172000cm=2172000÷100000 = 21.72km$。C
7.如图，两个相似的四边形，求边$x,y$的长和$\angle\alpha,\angle\beta$的度数.
答案
7. $x = 21,y = 28,\angle \alpha = 100^{\circ},\angle \beta = 140^{\circ}.$
解析
解：因为两个四边形相似，所以对应边成比例，对应角相等。
由图可知，对应边的比例为$\frac{4}{14}=\frac{6}{x}=\frac{8}{y}$。
对于$x$：$\frac{4}{14}=\frac{6}{x}$，解得$x = \frac{14×6}{4}=21$。
对于$y$：$\frac{4}{14}=\frac{8}{y}$，解得$y = \frac{14×8}{4}=28$。
四边形内角和为$360^{\circ}$，在右边四边形中，已知三个角分别为$140^{\circ},66^{\circ},54^{\circ}$，所以$\angle\alpha = 360^{\circ}-140^{\circ}-66^{\circ}-54^{\circ}=100^{\circ}$。
因为对应角相等，所以$\angle\beta = 140^{\circ}$。
综上，$x = 21$，$y = 28$，$\angle\alpha = 100^{\circ}$，$\angle\beta = 140^{\circ}$。
由图可知，对应边的比例为$\frac{4}{14}=\frac{6}{x}=\frac{8}{y}$。
对于$x$：$\frac{4}{14}=\frac{6}{x}$，解得$x = \frac{14×6}{4}=21$。
对于$y$：$\frac{4}{14}=\frac{8}{y}$，解得$y = \frac{14×8}{4}=28$。
四边形内角和为$360^{\circ}$，在右边四边形中，已知三个角分别为$140^{\circ},66^{\circ},54^{\circ}$，所以$\angle\alpha = 360^{\circ}-140^{\circ}-66^{\circ}-54^{\circ}=100^{\circ}$。
因为对应角相等，所以$\angle\beta = 140^{\circ}$。
综上，$x = 21$，$y = 28$，$\angle\alpha = 100^{\circ}$，$\angle\beta = 140^{\circ}$。
8.已知菱形$ABCD \backsim$菱形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，且$AC = 8cm,BD = 6cm,A_{1}B_{1} = 2.5cm$,求菱形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$两条对角线的长.
答案
8. $A₁C₁ = 4 cm,B₁D₁ = 3 cm.$
解析
解：在菱形$ABCD$中，$AC = 8cm$，$BD = 6cm$，菱形的对角线互相垂直平分，所以两条对角线的一半分别为$\frac{AC}{2} = 4cm$，$\frac{BD}{2} = 3cm$。
根据勾股定理，菱形$ABCD$的边长$AB=\sqrt{(\frac{AC}{2})^{2}+(\frac{BD}{2})^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5cm$。
因为菱形$ABCD \backsim$菱形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，相似比为$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{5}{2.5}=2$。
所以菱形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的对角线$A_{1}C_{1}=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4cm$，$B_{1}D_{1}=\frac{BD}{2}=\frac{6}{2}=3cm$。
$A_{1}C_{1} = 4cm$，$B_{1}D_{1} = 3cm$。
根据勾股定理，菱形$ABCD$的边长$AB=\sqrt{(\frac{AC}{2})^{2}+(\frac{BD}{2})^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5cm$。
因为菱形$ABCD \backsim$菱形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，相似比为$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{5}{2.5}=2$。
所以菱形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的对角线$A_{1}C_{1}=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4cm$，$B_{1}D_{1}=\frac{BD}{2}=\frac{6}{2}=3cm$。
$A_{1}C_{1} = 4cm$，$B_{1}D_{1} = 3cm$。
B 级
9.已知$\bigtriangleup ABC$的三边长分别为$20cm,50cm,60cm$，现要利用长度分别为$30cm$和$60cm$的细木条各一根，做一个与$\bigtriangleup ABC$相似的三角形木架，要求将其中一根作为一边，将另一根截断(允许有余料)作为另外两边，那么另外两边的长度分别为(
A.$10cm,25cm$
B.$10cm,36cm$或$12cm,36cm$
C.$12cm,36cm$
D.$10cm,25cm$或$12cm,36cm$
9.已知$\bigtriangleup ABC$的三边长分别为$20cm,50cm,60cm$，现要利用长度分别为$30cm$和$60cm$的细木条各一根，做一个与$\bigtriangleup ABC$相似的三角形木架，要求将其中一根作为一边，将另一根截断(允许有余料)作为另外两边，那么另外两边的长度分别为(
D
).A.$10cm,25cm$
B.$10cm,36cm$或$12cm,36cm$
C.$12cm,36cm$
D.$10cm,25cm$或$12cm,36cm$
答案
9. D
解析
$\triangle ABC$三边长之比为$20:50:60=2:5:6$。
情况一：用$30cm$木条为一边，截断$60cm$木条。
若$30cm$对应$2$份，则每份$15cm$，另两边为$5×15=75cm$，$6×15=90cm$，$75+90=165＞60$，舍去；
若$30cm$对应$5$份，则每份$6cm$，另两边为$2×6=12cm$，$6×6=36cm$，$12+36=48＜60$，可行；
若$30cm$对应$6$份，则每份$5cm$，另两边为$2×5=10cm$，$5×5=25cm$，$10+25=35＜60$，可行。
情况二：用$60cm$木条为一边，截断$30cm$木条。
若$60cm$对应$2$份，每份$30cm$，另两边和$5×30+6×30=330＞30$，舍去；
若$60cm$对应$5$份，每份$12cm$，另两边和$2×12+6×12=96＞30$，舍去；
若$60cm$对应$6$份，每份$10cm$，另两边和$2×10+5×10=70＞30$，舍去。
综上，另外两边长度为$10cm,25cm$或$12cm,36cm$。
D
情况一：用$30cm$木条为一边，截断$60cm$木条。
若$30cm$对应$2$份，则每份$15cm$，另两边为$5×15=75cm$，$6×15=90cm$，$75+90=165＞60$，舍去；
若$30cm$对应$5$份，则每份$6cm$，另两边为$2×6=12cm$，$6×6=36cm$，$12+36=48＜60$，可行；
若$30cm$对应$6$份，则每份$5cm$，另两边为$2×5=10cm$，$5×5=25cm$，$10+25=35＜60$，可行。
情况二：用$60cm$木条为一边，截断$30cm$木条。
若$60cm$对应$2$份，每份$30cm$，另两边和$5×30+6×30=330＞30$，舍去；
若$60cm$对应$5$份，每份$12cm$，另两边和$2×12+6×12=96＞30$，舍去；
若$60cm$对应$6$份，每份$10cm$，另两边和$2×10+5×10=70＞30$，舍去。
综上，另外两边长度为$10cm,25cm$或$12cm,36cm$。
D
