1. 对“等角对等边”这句话的理解,正确的是()
A.只要两个角相等,那么它们所对的边也相等
B.在两个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也相等
C.有两个角相等的三角形是等腰三角形
D.以上说法都是正确的

C

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= 50^{\circ}$,$\angle C= 90^{\circ}$,在射线$BA上找一点D$,使$\triangle ACD$为等腰三角形,则$\angle ADC$的度数为.

20°或70°或100°

3. 如图,$OC平分\angle AOB$,$P是OC$上任意一点,$PD// OB交OA于点D$,求证：$\triangle DOP$是等腰三角形.

证明:
∵OC平分∠BOA，
∴∠AOC=∠BOC.
∵PD//OB,
∴∠DPO=∠BOC,
∴∠DPO=∠AOC,
∴DP=DO,
∴△DOP是等腰三角形.

题型1 如图,已知线段$AB$,用直尺和圆规,以$AB为底边作等腰\triangle ABC$,使高$CD= AB$.(不要写作法,保留作图痕迹)
解：
1. 作线段$AB$的垂直平分线$MN$，交$AB$于点$D$。
2. 以$D$为圆心，$AB$长为半径画弧，交$MN$于点$C$。
3. 连接$AC$、$BC$，则$\triangle ABC$即为所求作的等腰三角形。
作图痕迹如上述步骤所示。

解：
1. 作线段$AB$的垂直平分线$MN$，交$AB$于点$D$。
2. 以$D$为圆心，$AB$长为半径画弧，交$MN$于点$C$。
3. 连接$AC$、$BC$，则$\triangle ABC$即为所求作的等腰三角形。
作图痕迹如上述步骤所示。

题型2 如图,$O是\angle ABC$,$\angle ACB$的平分线的交点,且$OD// AB$,$OE// AC$.
(1)图形中共有哪几个等腰三角形？选一个进行证明.
(2)试说明$\triangle ODE的周长与BC$的关系.
(3)若$BC= 12\mathrm{cm}$,则$\triangle ODE$的周长为______.

1. **（1）判断等腰三角形并证明
图形中的等腰三角形有$\triangle OBD$，$\triangle OEC$。
证明$\triangle OBD$是等腰三角形：
解：因为$BO$平分$\angle ABC$，所以$\angle 1=\angle 2$。
又因为$OD// AB$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle 1 = \angle 3$。
所以$\angle 2=\angle 3$，根据等角对等边，可得$OD = BD$，所以$\triangle OBD$是等腰三角形。
2. **（2）探究$\triangle ODE$的周长与$BC$的关系
解：因为$\triangle OBD$是等腰三角形（已证$OD = BD$），同理可证$\triangle OEC$是等腰三角形（$OE=EC$）。
$\triangle ODE$的周长$C_{\triangle ODE}=OD + DE+OE$。
把$OD = BD$，$OE = EC$代入上式得：$C_{\triangle ODE}=BD + DE+EC$。
而$BD + DE+EC=BC$，所以$\triangle ODE$的周长等于$BC$的长。
3. **（3）计算$\triangle ODE$的周长
因为$\triangle ODE$的周长等于$BC$的长，已知$BC = 12\mathrm{cm}$。
所以$\triangle ODE$的周长为$12\mathrm{cm}$。
综上，答案依次为：（1）$\triangle OBD$，$\triangle OEC$；（2）$\triangle ODE$的周长等于$BC$的长；（3）$12\mathrm{cm}$。