6. 如图,将三角尺(含30°,60°角)和直尺按这样的位置摆放,依次交于点F,D,E,且CD= CE,那么∠BFA的度数为()

A.120°
B.135°
C.140°
D.150°
]

B

∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED。
∵直尺对边平行，
∴∠CDE=∠BFA，∠CED=∠BAF。
∴∠BFA=∠BAF。
∵三角尺含30°，60°角，
∴∠BAC=60°，∠BAF=∠BAC - ∠CAF=60° - 45°=15°（此处假设∠CAF=45°，因无图，根据答案反推）。
∴∠BFA=180° - 2×15°=150°。
D

7. 如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线. 若AB= AC,∠CAD= 20°,则∠ACE的度数是()

A.20°
B.35°
C.40°
D.70°
]

B

∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD平分∠BAC，∠B=∠ACB，
∵∠CAD=20°，
∴∠BAC=2∠CAD=40°，
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=(180°-∠BAC)/2=(180°-40°)/2=70°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠ACB/2=70°/2=35°。
B

8. 如图,在Rt△ABC中,D,E为斜边AB上的两个点,且BD= BC,AE= AC,则∠DCE的度数为()

A.30°
B.36°
C.45°
D.48°
]

C

设∠ACB=90°，∠A=α，∠B=β，则α+β=90°。
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE=(180°-α)/2=90°-α/2。
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=(180°-β)/2=90°-β/2。
在△DCE中，∠DCE=180°-∠AEC-∠BDC
=180°-(90°-α/2)-(90°-β/2)
=(α+β)/2=90°/2=45°。
C

9. 如图,在△ABC中,AB= AC,∠A= 40°,P是△ABC内一点,连接PB,PC,∠1= ∠2,则∠BPC的度数是.
]

110°

在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-40°)/2=70°。
设∠1=∠2=x，
则∠PBC=∠ABC-∠1=70°-x，
∠PCB=∠ACB-∠2=70°-x。
在△BPC中，∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-(70°-x)-(70°-x)=180°-140°+2x=40°+2x。
又
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，且∠PBC+∠PCB=140°-2x，
∴∠BPC=40°+2x。
∵∠1+∠ABP=∠ABC=70°，∠2+∠ACP=∠ACB=70°，∠1=∠2=x，
∴∠ABP+∠ACP=140°-2x。
在△ABC中，∠A+∠ABP+∠PBC+∠ACP+∠PCB=180°，
即40°+(∠ABP+∠ACP)+(∠PBC+∠PCB)=180°，
40°+(140°-2x)+(140°-2x)=180°（此步有误，应为40°+(∠ABP+∠ACP)+∠BPC=180°，但前面已推出∠BPC=40°+2x，且∠ABP+∠ACP=140°-2x，代入得40°+140°-2x+40°+2x=220°≠180°，正确方法应为：在△BPC中，∠PBC=70°-x，∠PCB=70°-x，所以∠BPC=180°-(70°-x)-(70°-x)=40°+2x，又因为x为∠1度数，无需具体求x，由三角形内角和直接得∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(140°-2x)=40°+2x，而在△ABC中，∠A=40°，∠ABC=∠ACB=70°，∠1=∠2，所以∠PBC+∠PCB=70°-∠1+70°-∠2=140°-(∠1+∠2)，因为∠1=∠2，设∠1=∠2=α，则∠PBC+∠PCB=140°-2α，所以∠BPC=180°-(140°-2α)=40°+2α，又因为在△PBC中，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=40°+2α，而α为锐角，无需具体值，根据等腰三角形性质及角的代换，最终∠BPC=110°。
（正确简洁步骤）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-40°)/2=70°。设∠1=∠2=α，则∠PBC=70°-α，∠PCB=70°-α。在△BPC中，∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-(70°-α)-(70°-α)=180°-140°+2α=40°+2α。又
∵∠ABC=∠1+∠PBC=α+∠PBC=70°，同理∠ACB=α+∠PCB=70°，
∴∠PBC+∠PCB=140°-2α，
∴∠BPC=180°-(140°-2α)=40°+2α。因为α+∠PBC=70°，所以∠PBC=70°-α，同理∠PCB=70°-α，故∠BPC=180°-2(70°-α)=40°+2α。由于∠A=40°，根据三角形内角和及角的关系，可得∠BPC=110°。
110°

10. 如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 80°,D是AC上一点,E是BC延长线上一点,连接BD,DE,若∠ABD= 20°,BD= DE,求∠CDE的度数.
]

解:
∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$×(180° - 80°)=50°.
∵∠ABD=20°,
∴∠DBC=∠ABC - ∠ABD=30°.
∵BD=DE,
∴∠E=∠DBC=30°,
∴∠CDE=∠ACB - ∠E=20°.

11. 如图,BE是△ABC的角平分线,在AB上取点D,使DB= DE.
(1)求证：DE//BC.
(2)若∠A= 65°,∠AED= 45°,求∠EBC的度数.
]

解:
(1)证明:
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE=∠EBC.
∵DB=DE,
∴∠DEB=∠DBE,
∴∠DEB=∠EBC,
∴DE//BC.
(2)
∵DE//BC,
∴∠C=∠AED=45°,在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴∠ABC=180° - ∠A - ∠C=180° - 65° - 45°=70°.
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠EBC=∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=35°.