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1. 下列分式中,是最简分式的是(
A.$\frac{4}{2x}$
B.$\frac{2x}{x^{2}+1}$
C.$\frac{x+1}{x^{2}-1}$
D.$\frac{a^{2}}{a}$
B
)A.$\frac{4}{2x}$
B.$\frac{2x}{x^{2}+1}$
C.$\frac{x+1}{x^{2}-1}$
D.$\frac{a^{2}}{a}$
答案
解：A. $\frac{4}{2x}=\frac{2}{x}$，不是最简分式；
B. $\frac{2x}{x^{2}+1}$，分子分母没有公因式，是最简分式；
C. $\frac{x+1}{x^{2}-1}=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x-1}$，不是最简分式；
D. $\frac{a^{2}}{a}=a$，不是最简分式。
故选：B
B. $\frac{2x}{x^{2}+1}$，分子分母没有公因式，是最简分式；
C. $\frac{x+1}{x^{2}-1}=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x-1}$，不是最简分式；
D. $\frac{a^{2}}{a}=a$，不是最简分式。
故选：B
2. 若分式$\frac{x}{x-2025}$有意义,则$x$的取值范围是
$x \neq 2025$
.答案
【解析】：
本题主要考察分式有意义的条件，即分母不能为0。
对于分式$\frac{x}{x-2025}$，要使其有意义，需要满足条件$x - 2025 \neq 0$。
解这个不等式，我们得到$x \neq 2025$。
【答案】：
$x \neq 2025$。
本题主要考察分式有意义的条件，即分母不能为0。
对于分式$\frac{x}{x-2025}$，要使其有意义，需要满足条件$x - 2025 \neq 0$。
解这个不等式，我们得到$x \neq 2025$。
【答案】：
$x \neq 2025$。
3. 若分式$\frac{x^{2}-9}{x-3}$的值为零,则$x= $
-3
.答案
解：要使分式$\frac{x^{2}-9}{x-3}$的值为零，则分子为零且分母不为零。
分子$x^2 - 9 = 0$，即$(x + 3)(x - 3) = 0$，解得$x = 3$或$x = -3$。
分母$x - 3 \neq 0$，即$x \neq 3$。
综上，$x = -3$。
$-3$
分子$x^2 - 9 = 0$，即$(x + 3)(x - 3) = 0$，解得$x = 3$或$x = -3$。
分母$x - 3 \neq 0$，即$x \neq 3$。
综上，$x = -3$。
$-3$
4. 我国某厂家于2025年官宣一款芯片D2000成功完成5nm工艺验证.5nm即0.000000005m,用科学记数法表示为
5× 10^{-9}
m.答案
【解析】：
本题考查科学记数法的表示方法。科学记数法是一种表示很大或很小的数的方法，其形式为$a× 10^{n}$，其中$1\leq a＜10$，n为整数。
对于给定的数$0.000000005$，需要找到一个合适的a和n，使得$a× 10^{n}=0.000000005$。
观察$0.000000005$，可以将其写为$5× 10^{-9}$，其中$a=5$，$n=-9$。
【答案】：
$5× 10^{-9}$
本题考查科学记数法的表示方法。科学记数法是一种表示很大或很小的数的方法，其形式为$a× 10^{n}$，其中$1\leq a＜10$，n为整数。
对于给定的数$0.000000005$，需要找到一个合适的a和n，使得$a× 10^{n}=0.000000005$。
观察$0.000000005$，可以将其写为$5× 10^{-9}$，其中$a=5$，$n=-9$。
【答案】：
$5× 10^{-9}$
5. 若关于$x的分式方程\frac{3x-m}{x+1}= 2$的解为负数,则$m$的取值范围为
$m ＜ -2$且$m \neq -3$
.答案
【解析】：
本题是一个分式方程问题，需要先解方程得出$x$的表达式，再根据题目条件“解为负数”来确定$m$的取值范围。
首先，解方程$\frac{3x-m}{x+1}= 2$。
为了消去分母，两边同时乘以$x+1$，得到：
$3x - m = 2(x + 1)$
展开并整理，得到：
$3x - m = 2x + 2$
$x = m + 2$
这是方程的解。
接下来，根据题目条件，解$x$必须为负数，并且$x \neq -1$（因为分母不能为0）。
所以，有：
$m + 2 ＜ 0$
$m ＜ -2$
同时，$m + 2 \neq -1$，
$m \neq -3$
综合以上两个条件，得出$m$的取值范围为$m ＜ -2$且$m \neq -3$。
【答案】：
$m ＜ -2$且$m \neq -3$
本题是一个分式方程问题，需要先解方程得出$x$的表达式，再根据题目条件“解为负数”来确定$m$的取值范围。
首先，解方程$\frac{3x-m}{x+1}= 2$。
为了消去分母，两边同时乘以$x+1$，得到：
$3x - m = 2(x + 1)$
展开并整理，得到：
$3x - m = 2x + 2$
$x = m + 2$
这是方程的解。
接下来，根据题目条件，解$x$必须为负数，并且$x \neq -1$（因为分母不能为0）。
所以，有：
$m + 2 ＜ 0$
$m ＜ -2$
同时，$m + 2 \neq -1$，
$m \neq -3$
综合以上两个条件，得出$m$的取值范围为$m ＜ -2$且$m \neq -3$。
【答案】：
$m ＜ -2$且$m \neq -3$
6. 计算：
(1)$a^{-2}b^{2}\cdot (a^{2}b^{-2})^{-3}$；
(2)$\left(\frac{3}{a+1}+a-3\right)÷ \frac{a^{2}-4a+4}{a+1}$.
(1)$a^{-2}b^{2}\cdot (a^{2}b^{-2})^{-3}$；
(2)$\left(\frac{3}{a+1}+a-3\right)÷ \frac{a^{2}-4a+4}{a+1}$.
答案
(1)解：原式$=a^{-2}b^{2}\cdot a^{-6}b^{6}=a^{-8}b^{8}=\frac{b^{8}}{a^{8}}$
(2)解：原式$=\left(\frac{3}{a+1}+\frac{(a-3)(a+1)}{a+1}\right)÷\frac{(a-2)^{2}}{a+1}$
$=\frac{3+a^{2}-2a-3}{a+1}\cdot\frac{a+1}{(a-2)^{2}}$
$=\frac{a(a-2)}{a+1}\cdot\frac{a+1}{(a-2)^{2}}=\frac{a}{a-2}$
7. 已知$a+b-2= 0$,求代数式$\frac{3(a+2b)-3b}{a^{2}+2ab+b^{2}}$的值.
答案
解：原式$=\frac{3a+6b-3b}{(a+b)^2}=\frac{3a+3b}{(a+b)^2}=\frac{3(a+b)}{(a+b)^2}=\frac{3}{a+b}$.
由$a+b-2=0$，得$a+b=2$.
将$a+b=2$代入，得原式$=\frac{3}{2}$.
由$a+b-2=0$，得$a+b=2$.
将$a+b=2$代入，得原式$=\frac{3}{2}$.
8. 解方程.
(1)$\frac{x}{x+1}= \frac{2x}{3x+3}+1$；
(2)$\frac{2}{x-2}-\frac{4}{x^{2}-4}= \frac{1}{x+2}$.
(1)$\frac{x}{x+1}= \frac{2x}{3x+3}+1$；
(2)$\frac{2}{x-2}-\frac{4}{x^{2}-4}= \frac{1}{x+2}$.
答案
(1)解：方程两边同乘$3(x+1)$，得$3x=2x+3(x+1)$
去括号，得$3x=2x+3x+3$
移项、合并同类项，得$-2x=3$
系数化为1，得$x=-\frac{3}{2}$
检验：当$x=-\frac{3}{2}$时，$3(x+1)=3(-\frac{3}{2}+1)=-\frac{3}{2}\neq0$
所以原分式方程的解为$x=-\frac{3}{2}$
(2)解：方程两边同乘$(x+2)(x-2)$，得$2(x+2)-4=x-2$
去括号，得$2x+4-4=x-2$
移项、合并同类项，得$x=-2$
检验：当$x=-2$时，$(x+2)(x-2)=0$，所以$x=-2$是增根
原分式方程无解
去括号，得$3x=2x+3x+3$
移项、合并同类项，得$-2x=3$
系数化为1，得$x=-\frac{3}{2}$
检验：当$x=-\frac{3}{2}$时，$3(x+1)=3(-\frac{3}{2}+1)=-\frac{3}{2}\neq0$
所以原分式方程的解为$x=-\frac{3}{2}$
(2)解：方程两边同乘$(x+2)(x-2)$，得$2(x+2)-4=x-2$
去括号，得$2x+4-4=x-2$
移项、合并同类项，得$x=-2$
检验：当$x=-2$时，$(x+2)(x-2)=0$，所以$x=-2$是增根
原分式方程无解
