1. 若x= 1是分式方程$\frac{1}{x+1}= \frac{k}{2x}$的根,则实数k= .

解：将$x = 1$代入分式方程$\frac{1}{x + 1} = \frac{k}{2x}$，得
$\frac{1}{1 + 1} = \frac{k}{2×1}$
$\frac{1}{2} = \frac{k}{2}$
解得$k = 1$
1

2. 当x=时,$\frac{x}{x-5}-2与\frac{x+1}{x}$互为相反数.

解：由题意得，$\frac{x}{x - 5} - 2 + \frac{x + 1}{x} = 0$
方程两边同乘$x(x - 5)$，得：
$x^2 - 2x(x - 5) + (x + 1)(x - 5) = 0$
展开括号：
$x^2 - 2x^2 + 10x + x^2 - 5x + x - 5 = 0$
合并同类项：
$(x^2 - 2x^2 + x^2) + (10x - 5x + x) - 5 = 0$
$6x - 5 = 0$
解得：$x = \frac{5}{6}$
检验：当$x = \frac{5}{6}$时，$x(x - 5) = \frac{5}{6}×(\frac{5}{6} - 5) = \frac{5}{6}×(-\frac{25}{6}) = -\frac{125}{36} ≠ 0$
所以$x = \frac{5}{6}$是原方程的解。
$\frac{5}{6}$

3. 对于实数a,b,定义一种新运算“⊗”：$a⊗b= \frac{1}{a-b^2}$.这里等式的右边是实数运算,例如$1⊗3= \frac{1}{1-3^2}= -\frac{1}{8}$.方程$x⊗(-2)= \frac{2}{x-4}-1$的解是.

解：由新运算定义得，$x⊗(-2)=\frac{1}{x - (-2)^2}=\frac{1}{x - 4}$。
方程可化为：$\frac{1}{x - 4}=\frac{2}{x - 4}-1$
两边同乘$x - 4$得：$1 = 2 - (x - 4)$
去括号：$1 = 2 - x + 4$
移项合并：$x = 2 + 4 - 1$
解得：$x = 5$
检验：当$x = 5$时，$x - 4 = 1 ≠ 0$，所以$x = 5$是原方程的解。
答案：$x = 5$

4. 若关于x的分式方程$\frac{m}{x-2}-\frac{3}{2-x}= 1$无解,则m=.

解：方程两边同乘$x - 2$得：$m + 3 = x - 2$，解得$x = m + 5$。
因为分式方程无解，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$。
将$x = 2$代入$x = m + 5$，得$2 = m + 5$，解得$m = -3$。
故答案为：$-3$

5. 若关于x的分式方程$\frac{3x}{x-1}= \frac{m}{1-x}+2$的解为负数,则m的取值范围是.

解：方程两边同乘$x - 1$得：$3x = -m + 2(x - 1)$
去括号得：$3x = -m + 2x - 2$
移项得：$3x - 2x = -m - 2$
解得：$x = -m - 2$
因为方程的解为负数，所以$x ＜ 0$，即$-m - 2 ＜ 0$，解得$m ＞ -2$
又因为分母不能为$0$，所以$x - 1 \neq 0$，即$-m - 2 - 1 \neq 0$，解得$m \neq -3$
综上，$m$的取值范围是$m ＞ -2$且$m \neq -3$
答案：$m ＞ -2$且$m \neq -3$

6. 随着第五代移动通信技术(5G)的发展,市场对5G产品的需求越来越大.为满足市场需求,某大型5G产品生产厂家更新技术后,加快了生产速度,现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品,现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同.设更新技术前每天生产x万件产品,依题意可列出方程：.

解：设更新技术前每天生产$x$万件产品，则现在每天生产$(x + 30)$万件产品。
更新技术前生产$400$万件产品所需时间为$\dfrac{400}{x}$天，现在生产$500$万件产品所需时间为$\dfrac{500}{x + 30}$天。
依题意，两者时间相同，可列出方程：$\dfrac{400}{x} = \dfrac{500}{x + 30}$
$\dfrac{400}{x} = \dfrac{500}{x + 30}$

7. 一项工程,甲、乙两家公司合作,12天可以完成,共需支付施工费102000元.如果甲、乙两家公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.
(1)若甲、乙两家公司单独完成此项工程,各需多少天？
(2)若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少？

(1)设甲公司单独完成此项工程需$x$天，则乙公司单独完成此项工程需$1.5x$天。
根据题意，得$\frac{1}{x} + \frac{1}{1.5x} = \frac{1}{12}$
方程两边同乘$18x$，得$18 + 12 = 1.5x$
解得$x = 20$
经检验，$x = 20$是原分式方程的解，且符合题意。
$1.5x = 1.5×20 = 30$
答：甲公司单独完成此项工程需20天，乙公司单独完成此项工程需30天。
(2)设甲公司每天的施工费为$y$元，则乙公司每天的施工费为$(y - 1500)$元。
根据题意，得$12(y + y - 1500) = 102000$
解得$y = 5000$
乙公司每天的施工费：$5000 - 1500 = 3500$（元）
甲公司单独完成此项工程的施工费：$20×5000 = 100000$（元）
乙公司单独完成此项工程的施工费：$30×3500 = 105000$（元）
因为$100000 ＜ 105000$，所以甲公司的施工费较少。
答：甲公司的施工费较少。