9. 已知$a+\frac{1}{a}= \sqrt{7}$,求下列各式的值.
(1)$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$；(2)$a-\frac{1}{a}$.

【解析】：
本题主要考察完全平方公式以及代数式的变形。
对于第一个式子$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$，我们可以利用完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将$a+\frac{1}{a}$看作一个整体，然后对其平方，再减去$2$倍的$a$与$\frac{1}{a}$的乘积，即$2 × a × \frac{1}{a} = 2$，从而得到$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$的值。
对于第二个式子$a-\frac{1}{a}$，我们可以先求$(a-\frac{1}{a})^2$，即$a^2 - 2 + \frac{1}{a^2}$，然后再开方。由于已知$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$的值，所以可以通过这个值求出$(a-\frac{1}{a})^2$，再考虑到$a$和$\frac{1}{a}$的大小关系，确定$a-\frac{1}{a}$的符号。
【答案】：
(1)解：
已知$a+\frac{1}{a}=\sqrt{7}$，
则$(a+\frac{1}{a})^2 = 7$，
即$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 7$，
所以$a^{2}+\frac{1}{a^{2}} = 7 - 2 = 5$。
(2)解：
考虑$(a-\frac{1}{a})^2$，
$(a-\frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2}$，
由(1)知$a^{2}+\frac{1}{a^{2}} = 5$，
所以$(a-\frac{1}{a})^2 = 5 - 2 = 3$，
因此$a-\frac{1}{a} = \pm \sqrt{3}$。
由于$a+\frac{1}{a}=\sqrt{7} ＞ 0$，说明$a$和$\frac{1}{a}$同号，且$a$的绝对值大于$\frac{1}{a}$的绝对值（因为$a$和$\frac{1}{a}$相乘为1，且它们的和为正，所以$a$必须大于$\frac{1}{a}$的绝对值），所以$a-\frac{1}{a}$应为正，但考虑到我们之前求的是平方，所以$a-\frac{1}{a}$可以是正负$\sqrt{3}$。
综上，$a-\frac{1}{a} = \pm \sqrt{3}$。

10. 小华在复习分式方程,由于印刷问题,方程中有一个数“?”看不清楚：$\frac{?}{x-2}+3= \frac{1}{2-x}$.
(1)她把这个数“?”猜成5,请你帮小华解这个分式方程.
(2)小华的妈妈说：“我看到参考答案是‘原分式方程无解’.”请你根据参考答案求出原分式方程中“?”代表的数.

(1)解：将“?”猜成5，方程为$\frac{5}{x - 2} + 3=\frac{1}{2 - x}$
方程两边同乘$(x - 2)$，得$5+3(x - 2)=-1$
去括号，得$5 + 3x-6=-1$
移项、合并同类项，得$3x=0$
解得$x = 0$
检验：当$x = 0$时，$x-2=-2\neq0$
所以$x = 0$是原分式方程的解
(2)解：设“?”代表的数为$a$，方程为$\frac{a}{x - 2}+3=\frac{1}{2 - x}$
方程两边同乘$(x - 2)$，得$a + 3(x - 2)=-1$
去括号，得$a+3x - 6=-1$
移项、合并同类项，得$3x=5 - a$
解得$x=\frac{5 - a}{3}$
因为原分式方程无解，所以$x - 2=0$，即$x = 2$
所以$\frac{5 - a}{3}=2$
解得$a=-1$

11. 今年春节档的电影上映后非常火爆,某电影中人物形象(A,B)造型的玩偶深受大众喜爱.某商家发现商机,花费4000元购买了一批A玩偶和B玩偶,已知商家购买A玩偶的费用是B玩偶费用的2倍少500元.
(1)商家购买A玩偶和B玩偶各花费多少钱？
(2)已知每个B玩偶的进价比A玩偶的进价贵5元,且购进的A玩偶的数量是B玩偶数量的2.5倍,则每个B玩偶的进价为多少元？

【解析】：
本题主要考查一元一次方程的应用和实际问题中的数学建模。
(1) 部分是一个简单的一元一次方程问题，通过设未知数，根据题意列出方程，并求解得到A玩偶和B玩偶的购买费用。
(2) 部分则稍微复杂一些，需要设立两个未知数（A玩偶和B玩偶的进价），然后根据题意列出两个方程（一个关于费用，一个关于数量），最后求解得到B玩偶的进价。
【答案】：
(1) 解：
设商家购买B玩偶的费用为$x$元，则购买A玩偶的费用为$(2x - 500)$元。
根据题意，有方程：
$x + (2x - 500) = 4000$，
解这个方程，得到：
$3x = 4500$，
$x = 1500$，
将$x = 1500$代入$2x - 500$，得到：
$2 × 1500 - 500 = 2500$（元），
答：商家购买A玩偶花费$2500$元，购买B玩偶花费$1500$元。
(2) 解：
设每个B玩偶的进价为$y$元，则每个A玩偶的进价为$(y - 5)$元。
由于A玩偶的数量是B玩偶数量的$2.5$倍，设B玩偶的数量为$n$，则A玩偶的数量为$2.5n$。
根据题意和第一问的答案，可以列出方程：
$\frac{2500}{y - 5} = 2.5 × \frac{1500}{y}$，
简化这个方程，得到：
$\frac{2500}{y - 5} = \frac{3750}{y}$，
进一步解方程，得到：
$2500y = 3750(y - 5)$，
$2500y = 3750y - 18750$，
$1250y = 18750$，
$y = 15$，
答：每个B玩偶的进价为$15$元。