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1. 下列运算正确的是(
A.$(a^{2})^{3}= a^{5}$
B.$2a^{3}÷ a= \frac{1}{2}a^{2}$
C.$a^{6}÷ a^{2}= a^{3}$
D.$(ab^{2})^{2}= a^{2}b^{4}$
D
)A.$(a^{2})^{3}= a^{5}$
B.$2a^{3}÷ a= \frac{1}{2}a^{2}$
C.$a^{6}÷ a^{2}= a^{3}$
D.$(ab^{2})^{2}= a^{2}b^{4}$
答案
【解析】：
本题主要考察幂的运算法则，包括幂的乘方、同底数幂的除法以及积的乘方等知识点。
A选项：使用幂的乘方法则，即$(a^m)^n = a^{m × n}$，所以$(a^{2})^{3}$应等于$a^{2 × 3} = a^{6}$，与选项A中的$a^{5}$不符，所以A选项错误。
B选项：使用同底数幂的除法法则，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$，所以$2a^{3} ÷ a$应等于$2a^{3-1} = 2a^{2}$，与选项B中的$\frac{1}{2}a^{2}$不符，所以B选项错误。
C选项：同样使用同底数幂的除法法则，$a^{6} ÷ a^{2}$应等于$a^{6-2} = a^{4}$，与选项C中的$a^{3}$不符，所以C选项错误。
D选项：使用积的乘方法则，即$(ab)^n = a^n × b^n$，所以$(ab^{2})^{2}$应等于$a^{2} × (b^{2})^{2} = a^{2}b^{4}$，与选项D中的$a^{2}b^{4}$相符，所以D选项正确。
【答案】：
D
本题主要考察幂的运算法则，包括幂的乘方、同底数幂的除法以及积的乘方等知识点。
A选项：使用幂的乘方法则，即$(a^m)^n = a^{m × n}$，所以$(a^{2})^{3}$应等于$a^{2 × 3} = a^{6}$，与选项A中的$a^{5}$不符，所以A选项错误。
B选项：使用同底数幂的除法法则，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$，所以$2a^{3} ÷ a$应等于$2a^{3-1} = 2a^{2}$，与选项B中的$\frac{1}{2}a^{2}$不符，所以B选项错误。
C选项：同样使用同底数幂的除法法则，$a^{6} ÷ a^{2}$应等于$a^{6-2} = a^{4}$，与选项C中的$a^{3}$不符，所以C选项错误。
D选项：使用积的乘方法则，即$(ab)^n = a^n × b^n$，所以$(ab^{2})^{2}$应等于$a^{2} × (b^{2})^{2} = a^{2}b^{4}$，与选项D中的$a^{2}b^{4}$相符，所以D选项正确。
【答案】：
D
2. 若分式$\frac{|x|-1}{x-1}$的值为0,则x的值为(
A.-1
B.0
C.1
D.±1
A
)A.-1
B.0
C.1
D.±1
答案
解：要使分式$\frac{|x| - 1}{x - 1}$的值为$0$，需满足分子为$0$且分母不为$0$。
1. 分子$|x| - 1 = 0$，解得$|x| = 1$，即$x = 1$或$x = -1$。
2. 分母$x - 1 \neq 0$，解得$x \neq 1$。
综上，$x = -1$。
答案：A
1. 分子$|x| - 1 = 0$，解得$|x| = 1$，即$x = 1$或$x = -1$。
2. 分母$x - 1 \neq 0$，解得$x \neq 1$。
综上，$x = -1$。
答案：A
3. 若关于x的分式方程$\frac{x}{x-3}-2= \frac{m}{x-3}$无解,则m的值为(
A.3
B.0
C.-3
D.2
A
)A.3
B.0
C.-3
D.2
答案
解：方程两边同乘$x - 3$，得$x - 2(x - 3) = m$。
去括号，得$x - 2x + 6 = m$。
合并同类项，得$-x + 6 = m$，即$x = 6 - m$。
因为分式方程无解，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$x = 6 - m$，得$3 = 6 - m$，解得$m = 3$。
答案：A
去括号，得$x - 2x + 6 = m$。
合并同类项，得$-x + 6 = m$，即$x = 6 - m$。
因为分式方程无解，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$x = 6 - m$，得$3 = 6 - m$，解得$m = 3$。
答案：A
4. 若将分式$\frac{2x}{x-y}$中的x,y的值都扩大为原来的3倍,则分式的值
不变
(填“变大”“变小”或“不变”).答案
【解析】：
本题主要考察分式的基本性质，即当分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式时，分式的值不变。
原分式为 $\frac{2x}{x-y}$，将 $x$ 和 $y$ 都扩大为原来的3倍，即 $x \rightarrow 3x$，$y \rightarrow 3y$。
新的分式为 $\frac{2 × 3x}{3x - 3y}$。
化简得 $\frac{6x}{3(x-y)} = \frac{2x}{x-y}$。
通过化简，我们发现新的分式与原分式的值相同。
【答案】：
不变
本题主要考察分式的基本性质，即当分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式时，分式的值不变。
原分式为 $\frac{2x}{x-y}$，将 $x$ 和 $y$ 都扩大为原来的3倍，即 $x \rightarrow 3x$，$y \rightarrow 3y$。
新的分式为 $\frac{2 × 3x}{3x - 3y}$。
化简得 $\frac{6x}{3(x-y)} = \frac{2x}{x-y}$。
通过化简，我们发现新的分式与原分式的值相同。
【答案】：
不变
5. 若$a+b= 6$,$ab= 2$,则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}= $
3
.答案
解：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}$
因为$a+b=6$，$ab=2$，
所以原式$=\frac{6}{2}=3$
答案：3
因为$a+b=6$，$ab=2$，
所以原式$=\frac{6}{2}=3$
答案：3
6. 下列运算正确的是______(填序号).
①$\frac{1}{3a}\cdot\frac{b}{2}= \frac{b}{6a}$；②$\frac{b}{a^{2}}÷\frac{a}{(-b)^{2}}= 1$；③$\frac{1}{x+y}÷\frac{1}{x-y}= 1$.
①$\frac{1}{3a}\cdot\frac{b}{2}= \frac{b}{6a}$；②$\frac{b}{a^{2}}÷\frac{a}{(-b)^{2}}= 1$；③$\frac{1}{x+y}÷\frac{1}{x-y}= 1$.
①
答案
【解析】：
本题主要考察分式的乘除运算。
① 对于 $\frac{1}{3a} \cdot \frac{b}{2}$，根据分式乘法的规则，分子乘分子，分母乘分母，得到 $\frac{1 × b}{3a × 2} = \frac{b}{6a}$，与题目中的 $\frac{b}{6a}$ 相符，所以①正确。
② 对于 $\frac{b}{a^{2}} ÷ \frac{a}{(-b)^{2}}$，首先计算 $(-b)^{2} = b^{2}$，然后根据分式除法的规则，转化为乘法，即 $\frac{b}{a^{2}} \cdot \frac{b^{2}}{a} = \frac{b^{3}}{a^{3}}$，与题目中的 $1$ 不符，所以②错误。
③ 对于 $\frac{1}{x+y} ÷ \frac{1}{x-y}$，根据分式除法的规则，转化为乘法，即 $\frac{1}{x+y} \cdot (x-y) = \frac{x-y}{x+y}$，与题目中的 $1$ 不符，所以③错误。
【答案】：
①
本题主要考察分式的乘除运算。
① 对于 $\frac{1}{3a} \cdot \frac{b}{2}$，根据分式乘法的规则，分子乘分子，分母乘分母，得到 $\frac{1 × b}{3a × 2} = \frac{b}{6a}$，与题目中的 $\frac{b}{6a}$ 相符，所以①正确。
② 对于 $\frac{b}{a^{2}} ÷ \frac{a}{(-b)^{2}}$，首先计算 $(-b)^{2} = b^{2}$，然后根据分式除法的规则，转化为乘法，即 $\frac{b}{a^{2}} \cdot \frac{b^{2}}{a} = \frac{b^{3}}{a^{3}}$，与题目中的 $1$ 不符，所以②错误。
③ 对于 $\frac{1}{x+y} ÷ \frac{1}{x-y}$，根据分式除法的规则，转化为乘法，即 $\frac{1}{x+y} \cdot (x-y) = \frac{x-y}{x+y}$，与题目中的 $1$ 不符，所以③错误。
【答案】：
①
7. 计算：(1)$\frac{-3ab}{x}\cdot\frac{2x^{2}}{9a^{2}b}$；
(2)$\frac{4m^{2}-4m+1}{m+1}÷\frac{4m^{2}-1}{m^{2}-1}$；
(3)$\frac{2m-n}{n-m}-\frac{m}{n-m}+\frac{n}{n-m}$.
(2)$\frac{4m^{2}-4m+1}{m+1}÷\frac{4m^{2}-1}{m^{2}-1}$；
(3)$\frac{2m-n}{n-m}-\frac{m}{n-m}+\frac{n}{n-m}$.
答案
(1)解：原式$=\frac{-3ab\cdot2x^{2}}{x\cdot9a^{2}b}=-\frac{6abx^{2}}{9a^{2}bx}=-\frac{2x}{3a}$
(2)解：原式$=\frac{(2m - 1)^{2}}{m + 1}\cdot\frac{(m + 1)(m - 1)}{(2m + 1)(2m - 1)}=\frac{(2m - 1)(m - 1)}{2m + 1}=\frac{2m^{2}-3m + 1}{2m + 1}$
(3)解：原式$=\frac{2m - n - m + n}{n - m}=\frac{m}{n - m}$
(2)解：原式$=\frac{(2m - 1)^{2}}{m + 1}\cdot\frac{(m + 1)(m - 1)}{(2m + 1)(2m - 1)}=\frac{(2m - 1)(m - 1)}{2m + 1}=\frac{2m^{2}-3m + 1}{2m + 1}$
(3)解：原式$=\frac{2m - n - m + n}{n - m}=\frac{m}{n - m}$
8. 先化简,再求值：$\frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}-1}÷\left(1-\frac{3}{x+1}\right)$,其中$x= 0$.
答案
解：原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}÷\left(\frac{x+1}{x+1}-\frac{3}{x+1}\right)$
$=\frac{x-1}{x+1}÷\frac{x-2}{x+1}$
$=\frac{x-1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{x-2}$
$=\frac{x-1}{x-2}$
当$x=0$时，原式$=\frac{0-1}{0-2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$
$=\frac{x-1}{x+1}÷\frac{x-2}{x+1}$
$=\frac{x-1}{x+1}\cdot\frac{x+1}{x-2}$
$=\frac{x-1}{x-2}$
当$x=0$时，原式$=\frac{0-1}{0-2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$
9. 下面是某同学解分式方程$\frac{x-3}{x-2}+2= \frac{1}{2-x}$的过程,请认真阅读解题过程并完成相应的学习任务.
解：去分母,得$x-3+2(x-2)= 1$,…………第一步
去括号,得$x-3+2x-4= 1$,…………第二步
移项、合并同类项,得$3x= 8$,…………第三步
解得$x= \frac{8}{3}$.…………第四步
经检验,$x= \frac{8}{3}$是原分式方程的解.…………第五步
(1)上面的解题过程是从第
(2)请你帮这个同学解出这个分式方程.
解：去分母，得$x-3+2(x-2)=-1$
去括号，得$x-3+2x-4=-1$
移项、合并同类项，得$3x=6$
解得$x=2$
经检验，$x=2$是原分式方程的增根，所以原分式方程无解.
解：去分母,得$x-3+2(x-2)= 1$,…………第一步
去括号,得$x-3+2x-4= 1$,…………第二步
移项、合并同类项,得$3x= 8$,…………第三步
解得$x= \frac{8}{3}$.…………第四步
经检验,$x= \frac{8}{3}$是原分式方程的解.…………第五步
(1)上面的解题过程是从第
一
步开始出现错误,这一步错误的原因是右边的1没有乘以-(x-2)（或右边的1应该变为-1）
；(2)请你帮这个同学解出这个分式方程.
解：去分母，得$x-3+2(x-2)=-1$
去括号，得$x-3+2x-4=-1$
移项、合并同类项，得$3x=6$
解得$x=2$
经检验，$x=2$是原分式方程的增根，所以原分式方程无解.
答案
(1)一；右边的1没有乘以-(x-2)（或右边的1应该变为-1）
(2)解：去分母，得$x-3+2(x-2)=-1$
去括号，得$x-3+2x-4=-1$
移项、合并同类项，得$3x=6$
解得$x=2$
经检验，$x=2$是原分式方程的增根，所以原分式方程无解.
(2)解：去分母，得$x-3+2(x-2)=-1$
去括号，得$x-3+2x-4=-1$
移项、合并同类项，得$3x=6$
解得$x=2$
经检验，$x=2$是原分式方程的增根，所以原分式方程无解.
