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三、解答题
1. 如图,直线AB,CD被EC所截,且$AB// CD,∠1=∠2$. 求证:$AM// CN$.
1. 如图,直线AB,CD被EC所截,且$AB// CD,∠1=∠2$. 求证:$AM// CN$.
答案
1. 证明:$\because AB// CD,$
$\therefore ∠ EAB=∠ ECD.$
$\because ∠ 1=∠ 2,$
$\therefore ∠ EAB-∠ 1=∠ ECD-∠ 2.$
$\therefore ∠ EAM=∠ ECN.$
$\therefore AM// CN.$
$\therefore ∠ EAB=∠ ECD.$
$\because ∠ 1=∠ 2,$
$\therefore ∠ EAB-∠ 1=∠ ECD-∠ 2.$
$\therefore ∠ EAM=∠ ECN.$
$\therefore AM// CN.$
解析
【分析】
要证明AM//CN，可通过证明两条直线被EC所截形成的同位角相等来推导。首先根据已知AB//CD，利用平行线的性质可得同位角∠EAB=∠ECD；再结合∠1=∠2的条件，通过等式的性质，将两个等角分别减去∠1和∠2，即可得到∠EAM=∠ECN；最后根据同位角相等、两直线平行的判定定理，就能证明AM//CN。
【解析】
证明：$\because AB// CD,$
$\therefore ∠EAB=∠ECD$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠1=∠2,$
$\therefore ∠EAB-∠1=∠ECD-∠2$（等式的性质），即$∠EAM=∠ECN$。
$\therefore AM// CN$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
证明:$\because AB// CD,$
$\therefore ∠ EAB=∠ ECD.$
$\because ∠ 1=∠ 2,$
$\therefore ∠ EAB-∠ 1=∠ ECD-∠ 2.$
$\therefore ∠ EAM=∠ ECN.$
$\therefore AM// CN.$
【知识点】
平行线的性质，等式的性质，平行线的判定
【点评】
本题是平行线性质与判定的基础综合应用题，解题的核心是理清性质与判定的使用逻辑：先由平行关系得到等角，再通过角的运算得到新的等角，最终由等角推出新的平行关系，整体逻辑链条清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要证明AM//CN，可通过证明两条直线被EC所截形成的同位角相等来推导。首先根据已知AB//CD，利用平行线的性质可得同位角∠EAB=∠ECD；再结合∠1=∠2的条件，通过等式的性质，将两个等角分别减去∠1和∠2，即可得到∠EAM=∠ECN；最后根据同位角相等、两直线平行的判定定理，就能证明AM//CN。
【解析】
证明：$\because AB// CD,$
$\therefore ∠EAB=∠ECD$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠1=∠2,$
$\therefore ∠EAB-∠1=∠ECD-∠2$（等式的性质），即$∠EAM=∠ECN$。
$\therefore AM// CN$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
证明:$\because AB// CD,$
$\therefore ∠ EAB=∠ ECD.$
$\because ∠ 1=∠ 2,$
$\therefore ∠ EAB-∠ 1=∠ ECD-∠ 2.$
$\therefore ∠ EAM=∠ ECN.$
$\therefore AM// CN.$
【知识点】
平行线的性质，等式的性质，平行线的判定
【点评】
本题是平行线性质与判定的基础综合应用题，解题的核心是理清性质与判定的使用逻辑：先由平行关系得到等角，再通过角的运算得到新的等角，最终由等角推出新的平行关系，整体逻辑链条清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 如图,直线$AB// CD$,$BC$平分$∠ ABD$,$∠ 1=65°$. 求$∠ 2$的度数.
答案
2. 解:$\because AB// CD,∠ 1=65^{\circ },$
$\therefore ∠ 1=∠ CBA=65^{\circ }.$
$\because BC$平分$∠ ABD,$
$\therefore ∠ CBA=∠ CBD=65^{\circ }.$
$\therefore ∠ 2=∠ 3=180^{\circ }-65^{\circ }-65^{\circ }=50^{\circ }.$
$\therefore ∠ 1=∠ CBA=65^{\circ }.$
$\because BC$平分$∠ ABD,$
$\therefore ∠ CBA=∠ CBD=65^{\circ }.$
$\therefore ∠ 2=∠ 3=180^{\circ }-65^{\circ }-65^{\circ }=50^{\circ }.$
解析
【分析】
本题可结合已知条件逐步推导角度：首先根据AB//CD，利用两直线平行内错角相等，得到∠1与∠CBA相等，求出∠CBA的度数；再根据BC平分∠ABD，由角平分线定义可得∠CBD=∠CBA，从而得到∠CBD的度数；最后结合平角为180°求出∠3的度数，再利用对顶角相等即可得出∠2的度数。
【解析】
解：$\because AB// CD,∠ 1=65^{\circ },$
$\therefore ∠ 1=∠ CBA=65^{\circ }$（两直线平行，内错角相等）。
$\because BC$平分$∠ ABD,$
$\therefore ∠ CBA=∠ CBD=65^{\circ }$（角平分线的定义）。
$\because ∠CBA+∠CBD+∠3=180^{\circ }$，且∠2与∠3是对顶角，
$\therefore ∠ 2=∠ 3=180^{\circ }-65^{\circ }-65^{\circ }=50^{\circ }.$
【答案】
$50^{\circ }$
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、对顶角相等
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，重点考查平行线性质和角平分线定义的综合应用，解题时要准确识别角的位置关系，理清推导逻辑，确保每一步运算都有对应的几何依据。
【难度系数】
0.8
本题可结合已知条件逐步推导角度：首先根据AB//CD，利用两直线平行内错角相等，得到∠1与∠CBA相等，求出∠CBA的度数；再根据BC平分∠ABD，由角平分线定义可得∠CBD=∠CBA，从而得到∠CBD的度数；最后结合平角为180°求出∠3的度数，再利用对顶角相等即可得出∠2的度数。
【解析】
解：$\because AB// CD,∠ 1=65^{\circ },$
$\therefore ∠ 1=∠ CBA=65^{\circ }$（两直线平行，内错角相等）。
$\because BC$平分$∠ ABD,$
$\therefore ∠ CBA=∠ CBD=65^{\circ }$（角平分线的定义）。
$\because ∠CBA+∠CBD+∠3=180^{\circ }$，且∠2与∠3是对顶角，
$\therefore ∠ 2=∠ 3=180^{\circ }-65^{\circ }-65^{\circ }=50^{\circ }.$
【答案】
$50^{\circ }$
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、对顶角相等
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，重点考查平行线性质和角平分线定义的综合应用，解题时要准确识别角的位置关系，理清推导逻辑，确保每一步运算都有对应的几何依据。
【难度系数】
0.8
3. 将直角三角形ABC沿BC方向平移到直角三角形DEF的位置，AB=6，BC=6，BE=2，DM=2. 求阴影部分DMCF的面积.
答案
3. 解:$S_{阴影部分DMCF} = S_{△ DEF} - S_{△ MEC} = \frac{1}{2}×6×6 - \frac{1}{2}×(6-2)×(6-2)=10.$
解析
【分析】
解题首先利用平移的性质：平移前后的图形全等，对应边相等、面积相等，可知△DEF和△ABC面积相同，DE=AB=6，EF=BC=6。观察图形可得，阴影部分DMCF的面积等于△DEF的面积减去两个三角形重叠部分△MEC的面积。接下来先求出△MEC的两条直角边长度：由DM=2可得ME=DE-DM，由BE=2可得EC=BC-BE，最后分别计算两个三角形的面积作差即可得到阴影面积。
【解析】
解：由平移的性质可知，△ABC≌△DEF，
∴ $ S_{△ DEF} = S_{△ ABC} $，$ DE = AB = 6 $，$ EF = BC = 6 $，
∵ $ DM = 2 $，
∴ $ ME = DE - DM = 6 - 2 = 4 $，
∵ $ BE = 2 $，
∴ $ EC = BC - BE = 6 - 2 = 4 $，
∴ $ S_{阴影DMCF} = S_{△ DEF} - S_{△ MEC} $
$ = \frac{1}{2} × 6 × 6 - \frac{1}{2} × 4 × 4 $
$ = 18 - 8 = 10 $
【答案】
10
【知识点】
平移的性质、三角形面积计算、全等图形性质
【点评】
本题核心是利用平移的性质将不规则阴影部分的面积转化为两个规则三角形的面积差，巧妙规避了直接计算不规则图形面积的难点，体现了数学中的转化思想，解题时要注意观察图形各部分之间的面积关系。
【难度系数】
0.7
解题首先利用平移的性质：平移前后的图形全等，对应边相等、面积相等，可知△DEF和△ABC面积相同，DE=AB=6，EF=BC=6。观察图形可得，阴影部分DMCF的面积等于△DEF的面积减去两个三角形重叠部分△MEC的面积。接下来先求出△MEC的两条直角边长度：由DM=2可得ME=DE-DM，由BE=2可得EC=BC-BE，最后分别计算两个三角形的面积作差即可得到阴影面积。
【解析】
解：由平移的性质可知，△ABC≌△DEF，
∴ $ S_{△ DEF} = S_{△ ABC} $，$ DE = AB = 6 $，$ EF = BC = 6 $，
∵ $ DM = 2 $，
∴ $ ME = DE - DM = 6 - 2 = 4 $，
∵ $ BE = 2 $，
∴ $ EC = BC - BE = 6 - 2 = 4 $，
∴ $ S_{阴影DMCF} = S_{△ DEF} - S_{△ MEC} $
$ = \frac{1}{2} × 6 × 6 - \frac{1}{2} × 4 × 4 $
$ = 18 - 8 = 10 $
【答案】
10
【知识点】
平移的性质、三角形面积计算、全等图形性质
【点评】
本题核心是利用平移的性质将不规则阴影部分的面积转化为两个规则三角形的面积差，巧妙规避了直接计算不规则图形面积的难点，体现了数学中的转化思想，解题时要注意观察图形各部分之间的面积关系。
【难度系数】
0.7
四、趣味题
2,5,14,41,按照这个排列顺序,下一个数字应该是多少?
2,5,14,41,按照这个排列顺序,下一个数字应该是多少?
答案
解:$5-2=3=3^{1},14-5=9=3^{2},41-14=27=3^{3},$
由此可知第5个数与41的差应该是$3^{4}=81$,所以下一个数字是$41+81=122.$
由此可知第5个数与41的差应该是$3^{4}=81$,所以下一个数字是$41+81=122.$
解析
【分析】
遇到数列找规律的题目，我们优先采用“相邻项作差法”分析规律：第一步先依次计算后一个数减前一个数的差，第二步观察差的数字特征，判断差的变化规律，第三步根据规律推导下一个差，最后用前一个数加上这个差就能得到结果。
【解析】
先计算相邻两项的差：
$5-2=3=3^{1}$
$14-5=9=3^{2}$
$41-14=27=3^{3}$
可发现规律：相邻两项的差是3的正整数次幂，且幂次从1开始依次递增。
因此第5个数与41的差为$3^{4}=81$，则下一个数字为：$41+81=122$
【答案】
122
【知识点】
数列规律探究、有理数乘方、有理数加减运算
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，相邻项作差是解决递增数列规律问题的常用技巧，掌握该方法能快速定位规律，提升对数字的敏感度。
【难度系数】
0.7
遇到数列找规律的题目，我们优先采用“相邻项作差法”分析规律：第一步先依次计算后一个数减前一个数的差，第二步观察差的数字特征，判断差的变化规律，第三步根据规律推导下一个差，最后用前一个数加上这个差就能得到结果。
【解析】
先计算相邻两项的差：
$5-2=3=3^{1}$
$14-5=9=3^{2}$
$41-14=27=3^{3}$
可发现规律：相邻两项的差是3的正整数次幂，且幂次从1开始依次递增。
因此第5个数与41的差为$3^{4}=81$，则下一个数字为：$41+81=122$
【答案】
122
【知识点】
数列规律探究、有理数乘方、有理数加减运算
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，相邻项作差是解决递增数列规律问题的常用技巧，掌握该方法能快速定位规律，提升对数字的敏感度。
【难度系数】
0.7
