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4. [新情境]激光测距仪L发出的激光束以$3×10^{5}$千米/秒的速度射向目标M,t秒后激光测距仪L收到目标M反射回的激光束,则激光测距仪L到目标M的距离d(千米)与时间t(秒)的关系式为 (
A.$d=\dfrac{3×10^{6}\ t}{2}$
B.$d=3×10^{5}\ t$
C.$d=2×3×10^{5}\ t$
D.$d=\dfrac{3×10^{5}\ t}{2}$
D
)A.$d=\dfrac{3×10^{6}\ t}{2}$
B.$d=3×10^{5}\ t$
C.$d=2×3×10^{5}\ t$
D.$d=\dfrac{3×10^{5}\ t}{2}$
答案
4. D
解析
【分析】
要推导距离d和时间t的关系式，首先明确激光的运动路径：激光从测距仪L发出，到达目标M后再反射回L，总用时为t秒，因此激光走过的总路程是L到M距离的2倍。接下来结合行程问题的基本公式“路程=速度×时间”先算出激光走过的总路程，再将总路程除以2即可得到L到M的距离d。
【解析】
已知激光的速度为$3×10^{5}$千米/秒，总传播时间为t秒，根据路程=速度×时间，可得激光往返的总路程为$3×10^{5} × t$千米。
由于激光走的是往返路程，即总路程等于2倍的L到M的距离d，因此有：
$2d = 3×10^{5}t$
两边同时除以2，得：
$d=\dfrac{3×10^{5}t}{2}$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
列函数关系式，行程问题基本公式
【点评】
本题结合激光测距的实际情境考查行程问题的应用，解题的关键是明确激光走的是往返路程，易错点是忽略往返特征，直接用速度乘总时间得到距离，误选B选项，解题时需注意审题，理清运动路径。
【难度系数】
0.7
要推导距离d和时间t的关系式，首先明确激光的运动路径：激光从测距仪L发出，到达目标M后再反射回L，总用时为t秒，因此激光走过的总路程是L到M距离的2倍。接下来结合行程问题的基本公式“路程=速度×时间”先算出激光走过的总路程，再将总路程除以2即可得到L到M的距离d。
【解析】
已知激光的速度为$3×10^{5}$千米/秒，总传播时间为t秒，根据路程=速度×时间，可得激光往返的总路程为$3×10^{5} × t$千米。
由于激光走的是往返路程，即总路程等于2倍的L到M的距离d，因此有：
$2d = 3×10^{5}t$
两边同时除以2，得：
$d=\dfrac{3×10^{5}t}{2}$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
列函数关系式，行程问题基本公式
【点评】
本题结合激光测距的实际情境考查行程问题的应用，解题的关键是明确激光走的是往返路程，易错点是忽略往返特征，直接用速度乘总时间得到距离，误选B选项，解题时需注意审题，理清运动路径。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. [2025·商丘模拟]函数$y=\dfrac{\sqrt{2x+1}}{x-3}$的自变量$x$的取值范围是________.
1. [2025·商丘模拟]函数$y=\dfrac{\sqrt{2x+1}}{x-3}$的自变量$x$的取值范围是________.
答案
1. $x≥-\dfrac{1}{2}$且$x≠3$
解析
【分析】
要确定该函数自变量的取值范围，需要分别考虑式子中二次根式和分式的有意义条件：首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次分式的分母不能为0，分别列出不等式求解后，取两个解集的公共部分即可。
【解析】
要使函数$y=\dfrac{\sqrt{2x+1}}{x-3}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$2x+1≥0$，
解这个不等式：$2x≥ -1$，得$x≥ -\dfrac{1}{2}$；
2. 分式的分母不为0：$x-3≠0$，
解得$x≠3$。
综合两个条件，自变量$x$的取值范围是$x≥ -\dfrac{1}{2}$且$x≠3$。
【答案】
$x≥-\dfrac{1}{2}$且$x≠3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题是基础类题型，重点考察对代数式有意义的限制条件的掌握，解题时需注意不要遗漏任意一个限制条件，最终取值范围要同时满足所有约束要求。
【难度系数】
0.8
要确定该函数自变量的取值范围，需要分别考虑式子中二次根式和分式的有意义条件：首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次分式的分母不能为0，分别列出不等式求解后，取两个解集的公共部分即可。
【解析】
要使函数$y=\dfrac{\sqrt{2x+1}}{x-3}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$2x+1≥0$，
解这个不等式：$2x≥ -1$，得$x≥ -\dfrac{1}{2}$；
2. 分式的分母不为0：$x-3≠0$，
解得$x≠3$。
综合两个条件，自变量$x$的取值范围是$x≥ -\dfrac{1}{2}$且$x≠3$。
【答案】
$x≥-\dfrac{1}{2}$且$x≠3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题是基础类题型，重点考察对代数式有意义的限制条件的掌握，解题时需注意不要遗漏任意一个限制条件，最终取值范围要同时满足所有约束要求。
【难度系数】
0.8
2. 一空水池现需注满水,水池深4.9 m,现以不变的流量注水,数据如下表.可以推断注满水池所需的时间是
3.5 h
.答案
2. 3.5 h
解析
【分析】
观察表格数据可知，注水流量不变时，水的深度随注水时间均匀增加，二者成正比例关系。我们可以先求出水深与注水时间的函数关系式，再将水池总深度代入关系式，即可计算出注满水池所需的时间；也可先计算单位时间内水深的增加量，再用总深度除以单位时间增加的水深得到总时间。
【解析】
方法一：设水深$h$与注水时间$t$的函数关系式为$h=kt$（$k≠0$）。
将$t=0.5$，$h=0.7$代入关系式得：
$0.7=0.5k$，解得$k=1.4$，即函数关系式为$h=1.4t$。
当水池注满时，$h=4.9\mathrm{m}$，代入关系式得：
$4.9=1.4t$，解得$t=4.9÷1.4=3.5(\mathrm{h})$。
方法二：先计算每小时水深增加量：$0.7÷0.5=1.4(\mathrm{m/h})$。
注满4.9m深的水池所需时间：$4.9÷1.4=3.5(\mathrm{h})$。
【答案】
3.5 h
【知识点】
正比例函数应用，有理数运算
【点评】
本题结合生活实际考查对正比例关系的理解与应用，解题的核心是从表格数据中找到两个变量的变化规律，计算难度较低，只要理清变量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
观察表格数据可知，注水流量不变时，水的深度随注水时间均匀增加，二者成正比例关系。我们可以先求出水深与注水时间的函数关系式，再将水池总深度代入关系式，即可计算出注满水池所需的时间；也可先计算单位时间内水深的增加量，再用总深度除以单位时间增加的水深得到总时间。
【解析】
方法一：设水深$h$与注水时间$t$的函数关系式为$h=kt$（$k≠0$）。
将$t=0.5$，$h=0.7$代入关系式得：
$0.7=0.5k$，解得$k=1.4$，即函数关系式为$h=1.4t$。
当水池注满时，$h=4.9\mathrm{m}$，代入关系式得：
$4.9=1.4t$，解得$t=4.9÷1.4=3.5(\mathrm{h})$。
方法二：先计算每小时水深增加量：$0.7÷0.5=1.4(\mathrm{m/h})$。
注满4.9m深的水池所需时间：$4.9÷1.4=3.5(\mathrm{h})$。
【答案】
3.5 h
【知识点】
正比例函数应用，有理数运算
【点评】
本题结合生活实际考查对正比例关系的理解与应用，解题的核心是从表格数据中找到两个变量的变化规律，计算难度较低，只要理清变量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
3. [分类讨论思想]如图,在矩形ABCD中,P是CD的中点,点Q从点A开始,沿着A→B→C→P的路线匀速运动,设△APQ的面积是y,点Q经过的路线长度为x,在平面直角坐标系xOy中,折线OEFG表示y与x之间的函数关系,当△APQ的面积是3时,x的值为
2或7
.答案
3. 2或7
解析
【分析】
首先结合函数图像的特殊点确定矩形的边长：折线OE段对应Q在AB上运动，x=4时y取最大值6，说明此时Q到达B点，可得AB=4；再利用此时△APQ的面积等于矩形面积的一半，求出矩形的宽BC=3。之后分Q在AB段、BC段、CP段三种情况，分别列出△APQ面积y与Q运动路程x的函数关系式，令y=3求解，筛选符合对应区间取值范围的x值即可。
【解析】
第一步：确定矩形边长
由函数图像可知，当x=4时，△APQ面积最大为6，此时Q运动到点B，因此AB=4。
△ABP的面积为矩形ABCD面积的一半，即$\frac{1}{2} × AB × BC =6$，代入AB=4，解得BC=3。
已知P是CD中点，因此$CP=DP=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB=2$。
第二步：分阶段列函数关系式求解
1. Q在AB段（$0≤ x≤4$）
此时AQ=x，△APQ的高等于BC=3，面积公式为：
$y=\frac{1}{2} × AQ × BC = \frac{3}{2}x$
令y=3，得$\frac{3}{2}x=3$，解得$x=2$，符合取值范围。
2. Q在BC段（$4＜ x≤7$，BC长为3，到C点时x=4+3=7）
用割补法计算面积：矩形总面积为$4×3=12$，
$BQ=x-4$，$QC=7-x$，
$S_{△ ADP}=\frac{1}{2}×3×2=3$，$S_{△ ABQ}=2(x-4)$，$S_{△ QCP}=7-x$，
因此$y=12-3-2(x-4)-(7-x)=10-x$。
令y=3，得$10-x=3$，解得$x=7$，符合取值范围。
3. Q在CP段（$7＜ x≤9$，CP长为2，到P点时x=7+2=9）
此时$QP=9-x$，△APQ的高等于AD=3，面积公式为$y=\frac{3}{2}(9-x)$，令y=3解得x=7，为区间端点，与上一解重复，无新解。
【答案】
2或7
【知识点】
动点函数图像，三角形面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题是动点与函数图像结合的典型题型，解题核心是先通过函数图像的特殊点确定几何图形的基本参数，再分阶段建立函数关系求解，注意解要符合对应阶段的自变量取值范围。
【难度系数】
0.65
首先结合函数图像的特殊点确定矩形的边长：折线OE段对应Q在AB上运动，x=4时y取最大值6，说明此时Q到达B点，可得AB=4；再利用此时△APQ的面积等于矩形面积的一半，求出矩形的宽BC=3。之后分Q在AB段、BC段、CP段三种情况，分别列出△APQ面积y与Q运动路程x的函数关系式，令y=3求解，筛选符合对应区间取值范围的x值即可。
【解析】
第一步：确定矩形边长
由函数图像可知，当x=4时，△APQ面积最大为6，此时Q运动到点B，因此AB=4。
△ABP的面积为矩形ABCD面积的一半，即$\frac{1}{2} × AB × BC =6$，代入AB=4，解得BC=3。
已知P是CD中点，因此$CP=DP=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB=2$。
第二步：分阶段列函数关系式求解
1. Q在AB段（$0≤ x≤4$）
此时AQ=x，△APQ的高等于BC=3，面积公式为：
$y=\frac{1}{2} × AQ × BC = \frac{3}{2}x$
令y=3，得$\frac{3}{2}x=3$，解得$x=2$，符合取值范围。
2. Q在BC段（$4＜ x≤7$，BC长为3，到C点时x=4+3=7）
用割补法计算面积：矩形总面积为$4×3=12$，
$BQ=x-4$，$QC=7-x$，
$S_{△ ADP}=\frac{1}{2}×3×2=3$，$S_{△ ABQ}=2(x-4)$，$S_{△ QCP}=7-x$，
因此$y=12-3-2(x-4)-(7-x)=10-x$。
令y=3，得$10-x=3$，解得$x=7$，符合取值范围。
3. Q在CP段（$7＜ x≤9$，CP长为2，到P点时x=7+2=9）
此时$QP=9-x$，△APQ的高等于AD=3，面积公式为$y=\frac{3}{2}(9-x)$，令y=3解得x=7，为区间端点，与上一解重复，无新解。
【答案】
2或7
【知识点】
动点函数图像，三角形面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题是动点与函数图像结合的典型题型，解题核心是先通过函数图像的特殊点确定几何图形的基本参数，再分阶段建立函数关系求解，注意解要符合对应阶段的自变量取值范围。
【难度系数】
0.65
三、解答题
已知点$A(8,0)$及在第一象限的动点$P(x,y)$，且$x+y=5$，设$△ OPA$的面积是$S$.
(1)求$S$关于$x$的函数解析式，并求出$x$的取值范围.
(2)当$S=10$时，求点$P$的坐标.
已知点$A(8,0)$及在第一象限的动点$P(x,y)$，且$x+y=5$，设$△ OPA$的面积是$S$.
(1)求$S$关于$x$的函数解析式，并求出$x$的取值范围.
(2)当$S=10$时，求点$P$的坐标.
答案
解:(1)由$x+y=5$得$y=5-x$.
在第一象限内过点$P(x,y)$作$PE ⊥ x$轴于点$E$,则
$PE=y,x＞0,y＞0$.
$\therefore S=\dfrac{1}{2}OA· PE=\dfrac{1}{2}×8× y=4(5-x)=20-4x$.
$\therefore$ 由$y=5-x＞0$得$x＜5$.
$\therefore x$的取值范围是$0＜x＜5$.
(2)当$S=10$时,由$10=20-4x$得$x=2.5$.
$y=5-x=5-2.5=2.5$.
$\therefore$ 点$P$的坐标是$(2.5,2.5)$.
在第一象限内过点$P(x,y)$作$PE ⊥ x$轴于点$E$,则
$PE=y,x＞0,y＞0$.
$\therefore S=\dfrac{1}{2}OA· PE=\dfrac{1}{2}×8× y=4(5-x)=20-4x$.
$\therefore$ 由$y=5-x＞0$得$x＜5$.
$\therefore x$的取值范围是$0＜x＜5$.
(2)当$S=10$时,由$10=20-4x$得$x=2.5$.
$y=5-x=5-2.5=2.5$.
$\therefore$ 点$P$的坐标是$(2.5,2.5)$.
解析
【分析】
这道题是平面直角坐标系中结合三角形面积求一次函数解析式的问题，解题思路如下：① 先明确△OPA的底边和高：O是原点，A在(8,0)，因此底边OA的长度为8，高就是第一象限内动点P的纵坐标y；② 已知x+y=5，可将y用含x的式子表示，代入三角形面积公式就能得到S关于x的函数解析式；③ 结合P在第一象限的条件，x＞0且y＞0，即可求出x的取值范围；④ 第二问只需将S=10代入第一问得到的函数式，求出x的值，再计算y的值即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 由$x+y=5$可得$y=5-x$，
过第一象限的点$P(x,y)$作$PE⊥x$轴于点$E$，则$PE$为△$OPA$中$OA$边上的高，$PE=y$，且$P$在第一象限，故$x＞0$，$y＞0$。
△$OPA$的面积$S=\dfrac{1}{2}×OA×PE$，其中$OA=8$，代入得：
$S=\dfrac{1}{2}×8×y=4y$，将$y=5-x$代入得$S=4(5-x)=20-4x$。
由$y=5-x＞0$，解得$x＜5$，结合$x＞0$，可得$x$的取值范围是$0＜x＜5$。
(2) 当$S=10$时，将其代入$S=20-4x$得：
$10=20-4x$
解得$x=2.5$，
再代入$y=5-x$，得$y=5-2.5=2.5$，
所以点$P$的坐标为$(2.5,2.5)$。
【答案】
(1) $S=20-4x$，$x$的取值范围是$0＜x＜5$；
(2) $P(2.5,2.5)$
【知识点】
一次函数解析式求解，三角形面积计算，平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础题型，核心是通过三角形面积公式建立函数关系，解题时需注意结合动点所在的象限限制自变量的取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.8
这道题是平面直角坐标系中结合三角形面积求一次函数解析式的问题，解题思路如下：① 先明确△OPA的底边和高：O是原点，A在(8,0)，因此底边OA的长度为8，高就是第一象限内动点P的纵坐标y；② 已知x+y=5，可将y用含x的式子表示，代入三角形面积公式就能得到S关于x的函数解析式；③ 结合P在第一象限的条件，x＞0且y＞0，即可求出x的取值范围；④ 第二问只需将S=10代入第一问得到的函数式，求出x的值，再计算y的值即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 由$x+y=5$可得$y=5-x$，
过第一象限的点$P(x,y)$作$PE⊥x$轴于点$E$，则$PE$为△$OPA$中$OA$边上的高，$PE=y$，且$P$在第一象限，故$x＞0$，$y＞0$。
△$OPA$的面积$S=\dfrac{1}{2}×OA×PE$，其中$OA=8$，代入得：
$S=\dfrac{1}{2}×8×y=4y$，将$y=5-x$代入得$S=4(5-x)=20-4x$。
由$y=5-x＞0$，解得$x＜5$，结合$x＞0$，可得$x$的取值范围是$0＜x＜5$。
(2) 当$S=10$时，将其代入$S=20-4x$得：
$10=20-4x$
解得$x=2.5$，
再代入$y=5-x$，得$y=5-2.5=2.5$，
所以点$P$的坐标为$(2.5,2.5)$。
【答案】
(1) $S=20-4x$，$x$的取值范围是$0＜x＜5$；
(2) $P(2.5,2.5)$
【知识点】
一次函数解析式求解，三角形面积计算，平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础题型，核心是通过三角形面积公式建立函数关系，解题时需注意结合动点所在的象限限制自变量的取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.8
