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14.如果关于$ x $的方程$(a - 1)x - 4 = a(x + 2)$的解为非负数，且关于$ x,y $的二元一次方程组$\begin{cases}4x + 2y = 1 + a, \\2x + 4y = 3\end{cases}$的解满足$ x + y ＞ -\dfrac{1}{2} $，那么满足条件的整数$ a $有 （ ）
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
答案
14.B
解析
【分析】
解题时需分两步推导a的取值范围：①先解关于x的一元一次方程，根据解为非负数得到第一个关于a的不等式，求出a的第一个取值范围；②观察二元一次方程组的系数特点，将两个方程相加直接得到x+y的表达式，结合x+y＞-1/2得到第二个关于a的不等式，求出a的第二个取值范围；最后取两个范围的交集，找出交集中的整数a即可得到结果。
【解析】
1. 解关于x的一元一次方程$(a-1)x - 4 = a(x+2)$：
展开移项得：$(a-1)x - ax = 2a + 4$
合并同类项得：$-x = 2a + 4$
解得：$x = -2a -4$
∵方程的解为非负数，即$x≥0$
∴$-2a -4 ≥ 0$
解得：$a ≤ -2$
2. 解关于x,y的二元一次方程组相关条件：
将方程组$\begin{cases}4x + 2y = 1 + a \\2x + 4y = 3\end{cases}$的两个方程左右两边分别相加，得：
$6x + 6y = a + 4$
两边同除以6得：$x+y = \frac{a+4}{6}$
∵$x+y ＞ -\frac{1}{2}$
∴$\frac{a+4}{6} ＞ -\frac{1}{2}$
两边同乘6得：$a + 4 ＞ -3$
解得：$a ＞ -7$
3. 综上，a的取值范围为$-7 ＜ a ≤ -2$
满足条件的整数a为：-6、-5、-4、-3、-2，共5个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解；一元一次不等式的解法；二元一次方程组的解
【点评】
本题属于方程与不等式的综合题，解题的关键是灵活处理二元一次方程组，无需单独求解x和y，通过整体相加直接得到x+y的表达式可简化计算，解不等式时注意不等号方向的变化，统计整数解时要注意边界值是否包含在内。
【难度系数】
0.7
解题时需分两步推导a的取值范围：①先解关于x的一元一次方程，根据解为非负数得到第一个关于a的不等式，求出a的第一个取值范围；②观察二元一次方程组的系数特点，将两个方程相加直接得到x+y的表达式，结合x+y＞-1/2得到第二个关于a的不等式，求出a的第二个取值范围；最后取两个范围的交集，找出交集中的整数a即可得到结果。
【解析】
1. 解关于x的一元一次方程$(a-1)x - 4 = a(x+2)$：
展开移项得：$(a-1)x - ax = 2a + 4$
合并同类项得：$-x = 2a + 4$
解得：$x = -2a -4$
∵方程的解为非负数，即$x≥0$
∴$-2a -4 ≥ 0$
解得：$a ≤ -2$
2. 解关于x,y的二元一次方程组相关条件：
将方程组$\begin{cases}4x + 2y = 1 + a \\2x + 4y = 3\end{cases}$的两个方程左右两边分别相加，得：
$6x + 6y = a + 4$
两边同除以6得：$x+y = \frac{a+4}{6}$
∵$x+y ＞ -\frac{1}{2}$
∴$\frac{a+4}{6} ＞ -\frac{1}{2}$
两边同乘6得：$a + 4 ＞ -3$
解得：$a ＞ -7$
3. 综上，a的取值范围为$-7 ＜ a ≤ -2$
满足条件的整数a为：-6、-5、-4、-3、-2，共5个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解；一元一次不等式的解法；二元一次方程组的解
【点评】
本题属于方程与不等式的综合题，解题的关键是灵活处理二元一次方程组，无需单独求解x和y，通过整体相加直接得到x+y的表达式可简化计算，解不等式时注意不等号方向的变化，统计整数解时要注意边界值是否包含在内。
【难度系数】
0.7
15. 若关于$ x $的不等式$\dfrac{4x + a}{3} ＞ 1$的解都是不等式$-\dfrac{2x + 1}{3} ＜ 0$的解，则$ a $的取值范围是________。
答案
15.$a≤5$
解析
【分析】
解题时先求解不含参数的不等式$-\dfrac{2x + 1}{3} ＜ 0$，得到它的解集；再求解含参数$a$的不等式$\dfrac{4x + a}{3} ＞ 1$，得到用$a$表示的解集；根据“第一个不等式的所有解都是第二个不等式的解”，可知第一个不等式的解集是第二个不等式解集的子集，据此列关于$a$的不等式求解即可。
【解析】
1. 求解不等式$-\dfrac{2x + 1}{3} ＜ 0$：
两边同时乘3得：$-(2x+1) ＜ 0$
去括号移项得：$2x ＞ -1$
解得：$x ＞ -\dfrac{1}{2}$
2. 求解不等式$\dfrac{4x + a}{3} ＞ 1$：
两边同时乘3得：$4x + a ＞ 3$
移项得：$4x ＞ 3 - a$
解得：$x ＞ \dfrac{3 - a}{4}$
3. 根据题意，$\dfrac{4x + a}{3} ＞ 1$的所有解都满足$x ＞ -\dfrac{1}{2}$，因此第一个不等式的解集左边界需大于等于第二个不等式的解集左边界，即：
$\dfrac{3 - a}{4} ≥ -\dfrac{1}{2}$
两边乘4得：$3 - a ≥ -2$
移项变号得：$a ≤ 5$
【答案】
$a≤5$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式解集的含义
3. 解集的包含关系
【点评】
本题核心考查一元一次不等式的计算和根据解集的包含关系求参数范围，易错点是列参数不等式时容易遗漏等号的情况，解题时要注意验证边界值是否符合题意。
【难度系数】
0.6
解题时先求解不含参数的不等式$-\dfrac{2x + 1}{3} ＜ 0$，得到它的解集；再求解含参数$a$的不等式$\dfrac{4x + a}{3} ＞ 1$，得到用$a$表示的解集；根据“第一个不等式的所有解都是第二个不等式的解”，可知第一个不等式的解集是第二个不等式解集的子集，据此列关于$a$的不等式求解即可。
【解析】
1. 求解不等式$-\dfrac{2x + 1}{3} ＜ 0$：
两边同时乘3得：$-(2x+1) ＜ 0$
去括号移项得：$2x ＞ -1$
解得：$x ＞ -\dfrac{1}{2}$
2. 求解不等式$\dfrac{4x + a}{3} ＞ 1$：
两边同时乘3得：$4x + a ＞ 3$
移项得：$4x ＞ 3 - a$
解得：$x ＞ \dfrac{3 - a}{4}$
3. 根据题意，$\dfrac{4x + a}{3} ＞ 1$的所有解都满足$x ＞ -\dfrac{1}{2}$，因此第一个不等式的解集左边界需大于等于第二个不等式的解集左边界，即：
$\dfrac{3 - a}{4} ≥ -\dfrac{1}{2}$
两边乘4得：$3 - a ≥ -2$
移项变号得：$a ≤ 5$
【答案】
$a≤5$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式解集的含义
3. 解集的包含关系
【点评】
本题核心考查一元一次不等式的计算和根据解集的包含关系求参数范围，易错点是列参数不等式时容易遗漏等号的情况，解题时要注意验证边界值是否符合题意。
【难度系数】
0.6
16. [新定义]如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“蕴含不等式”.例如：不等式$x＞3$的解都是不等式$x＞1$的解，则称不等式$x＞3$是不等式$x＞1$的“蕴含不等式”.
(1)在不等式①$x＜-1$，②$x＞4$，③$x＜-3$中，是$x＜-2$的“蕴含不等式”的是________（填序号）；
(2)若不等式$x＜-6$是不等式$3(x-1)＜2x+m$的“蕴含不等式”，求$m$的取值范围；
(3)已知$x＜-2n+4$是$x＜2$的“蕴含不等式”，试判断$x＞n+3$是不是$x＞2$的“蕴含不等式”，并说明理由.
(1)在不等式①$x＜-1$，②$x＞4$，③$x＜-3$中，是$x＜-2$的“蕴含不等式”的是________（填序号）；
(2)若不等式$x＜-6$是不等式$3(x-1)＜2x+m$的“蕴含不等式”，求$m$的取值范围；
(3)已知$x＜-2n+4$是$x＜2$的“蕴含不等式”，试判断$x＞n+3$是不是$x＞2$的“蕴含不等式”，并说明理由.
答案
16.解:(1)由“蕴含不等式”的定义可知,不等式①$x＜-1$,②$x＞4$,③$x＜-3$中,是$x＜-2$的“蕴含不等式”的是③，
故答案为③.
(2)解不等式$3(x-1)＜2x+m$,得$x＜m+3.$
$\because$不等式$x＜-6$是不等式$3(x-1)＜2x+m$的“蕴含不等式”,
$\therefore m+3≥-6$,解得$m≥-9.$
(3)是.理由如下：
$\because x＜-2n+4$是$x＜2$的“蕴含不等式”,
$\therefore -2n+4≤2$,解得$n≥1$,
$\therefore n+3≥4$,即$n+3$的最小值为4.
$\because 4＞2$,即$n+3＞2$,
$\therefore x＞n+3$是$x＞2$的“蕴含不等式”.
故答案为③.
(2)解不等式$3(x-1)＜2x+m$,得$x＜m+3.$
$\because$不等式$x＜-6$是不等式$3(x-1)＜2x+m$的“蕴含不等式”,
$\therefore m+3≥-6$,解得$m≥-9.$
(3)是.理由如下：
$\because x＜-2n+4$是$x＜2$的“蕴含不等式”,
$\therefore -2n+4≤2$,解得$n≥1$,
$\therefore n+3≥4$,即$n+3$的最小值为4.
$\because 4＞2$,即$n+3＞2$,
$\therefore x＞n+3$是$x＞2$的“蕴含不等式”.
解析
【分析】
本题为新定义类题型，解题核心是先准确理解“蕴含不等式”的定义：若不等式①是不等式②的蕴含不等式，则①的所有解都属于②的解，即①的解集完全包含在②的解集范围内。
(1) 小问只需逐一判断三个不等式的解集是否完全包含在$x＜-2$的解集内即可：若某个不等式的所有解都满足$x＜-2$，它就是$x＜-2$的蕴含不等式；
(2) 小问先解出含参数$m$的不等式的解集，再根据“$x＜-6$的所有解都属于该不等式的解”，列出关于$m$的不等式求解即可；
(3) 小问先根据“$x＜-2n+4$是$x＜2$的蕴含不等式”列出不等式求出$n$的取值范围，再推导$x＞n+3$的解集与$x＞2$的解集的包含关系，即可判断是否为蕴含不等式。
【解析】
(1) 根据“蕴含不等式”的定义，逐一判断：
①$x＜-1$：存在解如$x=-1.5$，满足$x＜-1$但不满足$x＜-2$，不符合要求；
②$x＞4$：所有解都不满足$x＜-2$，不符合要求；
③$x＜-3$：所有$x＜-3$的数都小于$-2$，即所有解都满足$x＜-2$，符合要求。
故答案为③。
(2) 解不等式$3(x-1)＜2x+m$：
去括号得：$3x-3＜2x+m$，
移项合并同类项得：$x＜m+3$。
$\because$ 不等式$x＜-6$是该不等式的“蕴含不等式”，即所有$x＜-6$的解都满足$x＜m+3$，
$\therefore m+3≥ -6$，
解得$m≥ -9$。
(3) 是，理由如下：
$\because x＜-2n+4$是$x＜2$的“蕴含不等式”，
$\therefore -2n+4≤ 2$，
移项得：$-2n≤ -2$，
解得$n≥ 1$，
$\therefore n+3≥ 1+3=4$，即$x＞n+3$的解集为大于不小于4的数，
所有大于等于4的数都大于2，即$x＞n+3$的所有解都满足$x＞2$，
$\therefore x＞n+3$是$x＞2$的“蕴含不等式”。
【答案】
(1) ③；(2) $m≥ -9$；(3) 是，理由见解析
【知识点】
1. 新定义理解；2. 一元一次不等式解法；3. 解集包含判断
【点评】
本题以新定义为载体，考查一元一次不等式的解法及解集的应用，解题关键是将新定义转化为熟悉的解集范围比较问题，侧重考查知识迁移与应用能力。
【难度系数】
0.7
本题为新定义类题型，解题核心是先准确理解“蕴含不等式”的定义：若不等式①是不等式②的蕴含不等式，则①的所有解都属于②的解，即①的解集完全包含在②的解集范围内。
(1) 小问只需逐一判断三个不等式的解集是否完全包含在$x＜-2$的解集内即可：若某个不等式的所有解都满足$x＜-2$，它就是$x＜-2$的蕴含不等式；
(2) 小问先解出含参数$m$的不等式的解集，再根据“$x＜-6$的所有解都属于该不等式的解”，列出关于$m$的不等式求解即可；
(3) 小问先根据“$x＜-2n+4$是$x＜2$的蕴含不等式”列出不等式求出$n$的取值范围，再推导$x＞n+3$的解集与$x＞2$的解集的包含关系，即可判断是否为蕴含不等式。
【解析】
(1) 根据“蕴含不等式”的定义，逐一判断：
①$x＜-1$：存在解如$x=-1.5$，满足$x＜-1$但不满足$x＜-2$，不符合要求；
②$x＞4$：所有解都不满足$x＜-2$，不符合要求；
③$x＜-3$：所有$x＜-3$的数都小于$-2$，即所有解都满足$x＜-2$，符合要求。
故答案为③。
(2) 解不等式$3(x-1)＜2x+m$：
去括号得：$3x-3＜2x+m$，
移项合并同类项得：$x＜m+3$。
$\because$ 不等式$x＜-6$是该不等式的“蕴含不等式”，即所有$x＜-6$的解都满足$x＜m+3$，
$\therefore m+3≥ -6$，
解得$m≥ -9$。
(3) 是，理由如下：
$\because x＜-2n+4$是$x＜2$的“蕴含不等式”，
$\therefore -2n+4≤ 2$，
移项得：$-2n≤ -2$，
解得$n≥ 1$，
$\therefore n+3≥ 1+3=4$，即$x＞n+3$的解集为大于不小于4的数，
所有大于等于4的数都大于2，即$x＞n+3$的所有解都满足$x＞2$，
$\therefore x＞n+3$是$x＞2$的“蕴含不等式”。
【答案】
(1) ③；(2) $m≥ -9$；(3) 是，理由见解析
【知识点】
1. 新定义理解；2. 一元一次不等式解法；3. 解集包含判断
【点评】
本题以新定义为载体，考查一元一次不等式的解法及解集的应用，解题关键是将新定义转化为熟悉的解集范围比较问题，侧重考查知识迁移与应用能力。
【难度系数】
0.7
17.【问题背景】
嘉淇所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A，B两种款式的盲盒作为奖品。
素材1
某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元
A款
B款
素材2
该商店推出甲、乙两种促销方案：
甲方案:用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折付款(已知嘉淇在此之前不是该商店的会员)；
乙方案:购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折付款
【问题解决】
(1)在该商店无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元.
(2)嘉淇计划在促销期间购买A，B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个(0＜m＜40)，m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？
嘉淇所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A，B两种款式的盲盒作为奖品。
素材1
某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元
A款
B款
素材2
该商店推出甲、乙两种促销方案：
甲方案:用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折付款(已知嘉淇在此之前不是该商店的会员)；
乙方案:购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折付款
【问题解决】
(1)在该商店无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元.
(2)嘉淇计划在促销期间购买A，B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个(0＜m＜40)，m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？
答案
17.解:(1)设在该商店无促销活动时,$A$款盲盒的销售单价为$x$元,$B$款盲盒的销售单价为$y$元. 由题意,得
$\begin{cases}15x+10y=230,\\25x+25y=450,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=10,\\y=8.\end{cases}$
答:在该商店无促销活动时,$A$款盲盒的销售单价为10元,$B$款盲盒的销售单价为8元.
(2)依题意,采用甲方案购买共需要$35+0.8×10m+0.8×8×(40-m)=(1.6m+291)$(元);
采用乙方案购买共需要$0.9×10m+0.9×8×(40-m)=(1.8m+288)$(元).
由$1.6m+291＜1.8m+288$,解得$m＞15$,
$\therefore 15＜m＜40.$
答:当购买$A$款盲盒的数量超过15个且少于40个时,采用甲方案购买更合算.
$\begin{cases}15x+10y=230,\\25x+25y=450,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=10,\\y=8.\end{cases}$
答:在该商店无促销活动时,$A$款盲盒的销售单价为10元,$B$款盲盒的销售单价为8元.
(2)依题意,采用甲方案购买共需要$35+0.8×10m+0.8×8×(40-m)=(1.6m+291)$(元);
采用乙方案购买共需要$0.9×10m+0.9×8×(40-m)=(1.8m+288)$(元).
由$1.6m+291＜1.8m+288$,解得$m＞15$,
$\therefore 15＜m＜40.$
答:当购买$A$款盲盒的数量超过15个且少于40个时,采用甲方案购买更合算.
解析
【分析】
(1) 要计算无促销时A、B两款盲盒的单价，存在两个未知量，我们可以设两个未知数，结合素材1中两种购买组合的总费用，找到两个等量关系列二元一次方程组，求解方程组即可得到两个单价。
(2) 要找甲方案更合算的m范围，首先确定A款为m个时，B款为(40-m)个，再分别根据甲、乙促销方案的规则，用含m的代数式表示出两种方案的总花费，根据“甲方案花费＜乙方案花费”列一元一次不等式，求解后结合0＜m＜40的限制，就能得到m的取值范围。
【解析】
(1) 设在该商店无促销活动时，A款盲盒的销售单价为$x$元，B款盲盒的销售单价为$y$元。
由题意得：
$\begin{cases}15x+10y=230\\25x+25y=450\end{cases}$
化简第二个方程得$x+y=18$，即$y=18-x$，代入第一个方程：
$15x+10(18-x)=230$
解得$x=10$，则$y=18-10=8$。
(2) 购买A款盲盒$m$个，则购买B款盲盒$(40-m)$个。
甲方案总花费：$35+0.8×[10m+8(40-m)]=1.6m+291$（元）
乙方案总花费：$0.9×[10m+8(40-m)]=1.8m+288$（元）
若甲方案更合算，列不等式：
$1.6m+291＜1.8m+288$
解得$m＞15$，结合$0＜m＜40$，得$15＜m＜40$。
【答案】
(1) 无促销时A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒销售单价为8元；
(2) 当$15＜m＜40$时，采用甲方案购买更合算。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式应用、方案优化选择
【点评】
本题结合生活中购物促销的实际场景，考查方程与不等式的综合应用，解题关键是找准等量关系和不等关系正确列式，题目贴合生活，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要计算无促销时A、B两款盲盒的单价，存在两个未知量，我们可以设两个未知数，结合素材1中两种购买组合的总费用，找到两个等量关系列二元一次方程组，求解方程组即可得到两个单价。
(2) 要找甲方案更合算的m范围，首先确定A款为m个时，B款为(40-m)个，再分别根据甲、乙促销方案的规则，用含m的代数式表示出两种方案的总花费，根据“甲方案花费＜乙方案花费”列一元一次不等式，求解后结合0＜m＜40的限制，就能得到m的取值范围。
【解析】
(1) 设在该商店无促销活动时，A款盲盒的销售单价为$x$元，B款盲盒的销售单价为$y$元。
由题意得：
$\begin{cases}15x+10y=230\\25x+25y=450\end{cases}$
化简第二个方程得$x+y=18$，即$y=18-x$，代入第一个方程：
$15x+10(18-x)=230$
解得$x=10$，则$y=18-10=8$。
(2) 购买A款盲盒$m$个，则购买B款盲盒$(40-m)$个。
甲方案总花费：$35+0.8×[10m+8(40-m)]=1.6m+291$（元）
乙方案总花费：$0.9×[10m+8(40-m)]=1.8m+288$（元）
若甲方案更合算，列不等式：
$1.6m+291＜1.8m+288$
解得$m＞15$，结合$0＜m＜40$，得$15＜m＜40$。
【答案】
(1) 无促销时A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒销售单价为8元；
(2) 当$15＜m＜40$时，采用甲方案购买更合算。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式应用、方案优化选择
【点评】
本题结合生活中购物促销的实际场景，考查方程与不等式的综合应用，解题关键是找准等量关系和不等关系正确列式，题目贴合生活，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
