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7.[开放性]请写出一个解集为$x＜3$的一元一次不等式：
2x+4＜10(答案不唯一)
（未知数的系数不为1）。答案
7.2x+4＜10(答案不唯一)
解析
【分析】
要构造满足要求的一元一次不等式，可采用逆向思维的方法：从已知解集$x＜3$出发，利用不等式的性质对其变形，保证变形后的不等式满足三个要求：①仅含一个未知数$x$，$x$的次数为1；②$x$的系数不等于1；③解出后的解集仍为$x＜3$。操作时可先给$x＜3$两边同时乘一个不为1的正数（既保证不等号方向不变，又能让$x$的系数不为1），再给两边同时加或减任意常数，就能得到符合要求的不等式。
【解析】
第一步：明确构造要求：需为一元一次不等式，解集为$x＜3$，且未知数$x$的系数不为1。
第二步：从解集逆向变形：
根据不等式的性质，给$x＜3$两边同时乘正数2，不等号方向不变，可得$2x＜6$；
再给不等式两边同时加4，可得$2x+4＜10$，该式完全满足题干要求。
注：还可通过乘其他不为1的正数、加减其他常数得到更多符合要求的不等式，答案不唯一。
【答案】
$2x+4＜10$(答案不唯一)
【知识点】
一元一次不等式的定义；不等式的性质；不等式的解集
【点评】
本题为开放性基础题，核心考查对不等式性质的灵活运用及逆向思维能力，解题时只需遵循不等式变形规则，确保最终解集符合要求即可，答案具有多样性。
【难度系数】
0.8
要构造满足要求的一元一次不等式，可采用逆向思维的方法：从已知解集$x＜3$出发，利用不等式的性质对其变形，保证变形后的不等式满足三个要求：①仅含一个未知数$x$，$x$的次数为1；②$x$的系数不等于1；③解出后的解集仍为$x＜3$。操作时可先给$x＜3$两边同时乘一个不为1的正数（既保证不等号方向不变，又能让$x$的系数不为1），再给两边同时加或减任意常数，就能得到符合要求的不等式。
【解析】
第一步：明确构造要求：需为一元一次不等式，解集为$x＜3$，且未知数$x$的系数不为1。
第二步：从解集逆向变形：
根据不等式的性质，给$x＜3$两边同时乘正数2，不等号方向不变，可得$2x＜6$；
再给不等式两边同时加4，可得$2x+4＜10$，该式完全满足题干要求。
注：还可通过乘其他不为1的正数、加减其他常数得到更多符合要求的不等式，答案不唯一。
【答案】
$2x+4＜10$(答案不唯一)
【知识点】
一元一次不等式的定义；不等式的性质；不等式的解集
【点评】
本题为开放性基础题，核心考查对不等式性质的灵活运用及逆向思维能力，解题时只需遵循不等式变形规则，确保最终解集符合要求即可，答案具有多样性。
【难度系数】
0.8
8.不等式 $ x - 2 ≤ 1 $ 的所有非负整数解的和等于
6
.答案
8.6
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步先求解给定的一元一次不等式，得到x的取值范围；第二步在取值范围内找出所有非负整数解（非负整数指大于等于0的整数）；第三步将这些整数解相加，就能得到最终结果。
【解析】
1. 解不等式 $x - 2 ≤ 1$：
移项可得：$x ≤ 1 + 2$，
计算得：$x ≤ 3$。
2. 找出$x ≤ 3$的所有非负整数解：
非负整数包括0和正整数，因此符合要求的解为0、1、2、3。
3. 计算这些解的和：
$0 + 1 + 2 + 3 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是正确解出不等式的解集，同时要注意非负整数包含0，避免漏解导致计算结果错误。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步先求解给定的一元一次不等式，得到x的取值范围；第二步在取值范围内找出所有非负整数解（非负整数指大于等于0的整数）；第三步将这些整数解相加，就能得到最终结果。
【解析】
1. 解不等式 $x - 2 ≤ 1$：
移项可得：$x ≤ 1 + 2$，
计算得：$x ≤ 3$。
2. 找出$x ≤ 3$的所有非负整数解：
非负整数包括0和正整数，因此符合要求的解为0、1、2、3。
3. 计算这些解的和：
$0 + 1 + 2 + 3 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是正确解出不等式的解集，同时要注意非负整数包含0，避免漏解导致计算结果错误。
【难度系数】
0.85
9. 关于$ x $的不等式$ 2m - x ＜ 6 $的解集为$ x ＞ 3 $，则$ m $的值为________。
答案
9.$\dfrac{9}{2}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先我们需要先求解关于x的含参数m的一元一次不等式，用含m的代数式表示出不等式的解集；再将求出的解集与题目给出的解集x＞3对应相等，建立关于m的一元一次方程，最后解方程即可得到m的值。注意解不等式时，若两边同时乘（或除以）负数，不等号方向要改变。
【解析】
第一步：解不等式$2m - x ＜ 6$
移项得：$-x ＜ 6 - 2m$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ＞ 2m - 6$
第二步：根据题意，不等式的解集为$x ＞ 3$，因此两个解集对应相等，可得方程：
$2m - 6 = 3$
第三步：解这个方程：
移项得$2m = 3 + 6$，即$2m = 9$
系数化为1得$m = \frac{9}{2}$
【答案】
$\dfrac{9}{2}$
【知识点】
解一元一次不等式；不等式解集的意义；解一元一次方程
【点评】
本题是含参数的一元一次不等式的基础题型，解题核心是先把参数当作已知数解出不等式的解集，再结合已知解集建立方程求解，解题时要注意不等号方向的变化规则，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先我们需要先求解关于x的含参数m的一元一次不等式，用含m的代数式表示出不等式的解集；再将求出的解集与题目给出的解集x＞3对应相等，建立关于m的一元一次方程，最后解方程即可得到m的值。注意解不等式时，若两边同时乘（或除以）负数，不等号方向要改变。
【解析】
第一步：解不等式$2m - x ＜ 6$
移项得：$-x ＜ 6 - 2m$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ＞ 2m - 6$
第二步：根据题意，不等式的解集为$x ＞ 3$，因此两个解集对应相等，可得方程：
$2m - 6 = 3$
第三步：解这个方程：
移项得$2m = 3 + 6$，即$2m = 9$
系数化为1得$m = \frac{9}{2}$
【答案】
$\dfrac{9}{2}$
【知识点】
解一元一次不等式；不等式解集的意义；解一元一次方程
【点评】
本题是含参数的一元一次不等式的基础题型，解题核心是先把参数当作已知数解出不等式的解集，再结合已知解集建立方程求解，解题时要注意不等号方向的变化规则，避免出错。
【难度系数】
0.7
10.当a______时,关于$x$的方程$x-\dfrac{3}{2}(x+2a)=3-\dfrac{x-6a}{5}$的解为正数.
答案
10.$＜-\dfrac{5}{7}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要将a看作常数，按照一元一次方程的求解步骤求出方程的解x（用含a的代数式表示），再根据“方程的解为正数”即x＞0，列出关于a的一元一次不等式，求解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
解：首先求解关于x的方程$x-\dfrac{3}{2}(x+2a)=3-\dfrac{x-6a}{5}$：
1. 去分母，两边同时乘10（2和5的最小公倍数），得：
$10x - 15(x+2a) = 30 - 2(x-6a)$
2. 去括号，得：
$10x -15x -30a = 30 -2x +12a$
3. 移项，将含x的项移到左边，常数项、含a的项移到右边，得：
$10x -15x +2x = 30 +12a +30a$
4. 合并同类项，得：
$-3x = 30 + 42a$
5. 系数化为1，得：
$x = -10 -14a$
因为方程的解为正数，即$x＞0$，代入得：
$-10 -14a ＞ 0$
移项得：$-14a ＞ 10$
两边同时除以-14（不等号方向改变），得：
$a ＜ -\dfrac{5}{7}$
【答案】
$＜-\dfrac{5}{7}$
【知识点】
一元一次方程解法，不等式的性质，含参方程求解
【点评】
本题是含参数的一元一次方程与不等式结合的常见题型，解题关键是先把参数当作常数求出方程的解，再结合解的限制条件列不等式求解，注意不等式两边同时乘或除以负数时，不等号方向要改变，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要将a看作常数，按照一元一次方程的求解步骤求出方程的解x（用含a的代数式表示），再根据“方程的解为正数”即x＞0，列出关于a的一元一次不等式，求解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
解：首先求解关于x的方程$x-\dfrac{3}{2}(x+2a)=3-\dfrac{x-6a}{5}$：
1. 去分母，两边同时乘10（2和5的最小公倍数），得：
$10x - 15(x+2a) = 30 - 2(x-6a)$
2. 去括号，得：
$10x -15x -30a = 30 -2x +12a$
3. 移项，将含x的项移到左边，常数项、含a的项移到右边，得：
$10x -15x +2x = 30 +12a +30a$
4. 合并同类项，得：
$-3x = 30 + 42a$
5. 系数化为1，得：
$x = -10 -14a$
因为方程的解为正数，即$x＞0$，代入得：
$-10 -14a ＞ 0$
移项得：$-14a ＞ 10$
两边同时除以-14（不等号方向改变），得：
$a ＜ -\dfrac{5}{7}$
【答案】
$＜-\dfrac{5}{7}$
【知识点】
一元一次方程解法，不等式的性质，含参方程求解
【点评】
本题是含参数的一元一次方程与不等式结合的常见题型，解题关键是先把参数当作常数求出方程的解，再结合解的限制条件列不等式求解，注意不等式两边同时乘或除以负数时，不等号方向要改变，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.6
11. 解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1)$-3(x-2) ≥ 15$;
(2)$x-\frac{1}{2}(x+1)＜10$;
(3)$\frac{x-6}{3}＜\frac{x+1}{2}$;
(4)$\frac{y-6}{5} ≤ \frac{y+3}{2}-1$.
(1)$-3(x-2) ≥ 15$;
(2)$x-\frac{1}{2}(x+1)＜10$;
(3)$\frac{x-6}{3}＜\frac{x+1}{2}$;
(4)$\frac{y-6}{5} ≤ \frac{y+3}{2}-1$.
答案
11.解:(1)$-3(x-2)≥15$,
$-3x+6 ≥15$,
$-3x≥9$,
$x≤-3.$
不等式的解集在数轴上表示如下：
(2)$x-\frac{1}{2}(x+1)＜10$,$x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}＜10$,
$x-1＜20$,
$x＜21.$
不等式的解集在数轴上表示如下：
(3)$\frac{x-6}{3}＜\frac{x+1}{2}$,$2(x-6)＜3(x+1)$,
$-x＜15$,
$x＞-15.$
不等式的解集在数轴上表示如下：
(4)$\frac{y-6}{5}≤\frac{y+3}{2}-1$,$2(y-6)≤5(y+3)-10$,
$-3y≤17$,
$y≥-\frac{17}{3}.$
不等式的解集在数轴上表示如下：
解析
【分析】
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，依次为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，需特别注意：当不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变。将解集表示在数轴上时，若解集包含边界点（不等号为≥或≤）用实心圆点，不包含边界点（不等号为＞或＜）用空心圆圈，大于向右画，小于向左画，我们按此规则逐个求解四个不等式即可。
【解析】
(1) 解不等式$-3(x-2) ≥ 15$：
去括号得：$-3x+6 ≥15$
移项合并同类项得：$-3x≥9$
系数化为1（两边同时除以-3，不等号方向改变）得：$x≤-3$
解集对应数轴为题目给出的图(1)。
(2) 解不等式$x-\frac{1}{2}(x+1)＜10$：
两边同时乘2去分母得：$2x-(x+1)＜20$
去括号、合并同类项得：$x-1＜20$
移项得：$x＜21$
解集对应数轴为题目给出的图(2)。
(3) 解不等式$\frac{x-6}{3}＜\frac{x+1}{2}$：
两边同时乘最小公倍数6去分母得：$2(x-6)＜3(x+1)$
去括号得：$2x-12＜3x+3$
移项合并同类项得：$-x＜15$
系数化为1（两边同时除以-1，不等号方向改变）得：$x＞-15$
解集对应数轴为题目给出的图(3)。
(4) 解不等式$\frac{y-6}{5} ≤ \frac{y+3}{2}-1$：
两边同时乘最小公倍数10去分母得：$2(y-6)≤5(y+3)-10$
去括号得：$2y-12≤5y+15-10$
移项合并同类项得：$-3y≤17$
系数化为1（两边同时除以-3，不等号方向改变）得：$y≥-\frac{17}{3}$
解集对应数轴为题目给出的图(4)。
【答案】
(1)$x≤-3$，不等式的解集在数轴上表示如下：
(2)$x＜21$，不等式的解集在数轴上表示如下：
(3)$x＞-15$，不等式的解集在数轴上表示如下：
(4)$y≥-\frac{17}{3}$，不等式的解集在数轴上表示如下：
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的性质、解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式的求解步骤和解集的数轴表示方法，解题时需注意去分母时不要漏乘常数项，系数化为1时若系数为负数，要记得改变不等号的方向，数轴表示时要准确区分实心点和空心圆圈的使用。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，依次为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，需特别注意：当不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变。将解集表示在数轴上时，若解集包含边界点（不等号为≥或≤）用实心圆点，不包含边界点（不等号为＞或＜）用空心圆圈，大于向右画，小于向左画，我们按此规则逐个求解四个不等式即可。
【解析】
(1) 解不等式$-3(x-2) ≥ 15$：
去括号得：$-3x+6 ≥15$
移项合并同类项得：$-3x≥9$
系数化为1（两边同时除以-3，不等号方向改变）得：$x≤-3$
解集对应数轴为题目给出的图(1)。
(2) 解不等式$x-\frac{1}{2}(x+1)＜10$：
两边同时乘2去分母得：$2x-(x+1)＜20$
去括号、合并同类项得：$x-1＜20$
移项得：$x＜21$
解集对应数轴为题目给出的图(2)。
(3) 解不等式$\frac{x-6}{3}＜\frac{x+1}{2}$：
两边同时乘最小公倍数6去分母得：$2(x-6)＜3(x+1)$
去括号得：$2x-12＜3x+3$
移项合并同类项得：$-x＜15$
系数化为1（两边同时除以-1，不等号方向改变）得：$x＞-15$
解集对应数轴为题目给出的图(3)。
(4) 解不等式$\frac{y-6}{5} ≤ \frac{y+3}{2}-1$：
两边同时乘最小公倍数10去分母得：$2(y-6)≤5(y+3)-10$
去括号得：$2y-12≤5y+15-10$
移项合并同类项得：$-3y≤17$
系数化为1（两边同时除以-3，不等号方向改变）得：$y≥-\frac{17}{3}$
解集对应数轴为题目给出的图(4)。
【答案】
(1)$x≤-3$，不等式的解集在数轴上表示如下：
(2)$x＜21$，不等式的解集在数轴上表示如下：
(3)$x＞-15$，不等式的解集在数轴上表示如下：
(4)$y≥-\frac{17}{3}$，不等式的解集在数轴上表示如下：
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的性质、解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式的求解步骤和解集的数轴表示方法，解题时需注意去分母时不要漏乘常数项，系数化为1时若系数为负数，要记得改变不等号的方向，数轴表示时要准确区分实心点和空心圆圈的使用。
【难度系数】
0.8
12.今年植树节,某班同学共同种植270棵树苗,这批树苗只有甲、乙两种,其中甲种树苗每棵35元,乙种树苗每棵20元,购买这批树苗的总费用不超过5 700元,请问最多购买甲种树苗多少棵?
答案
12.解:设购买甲种树苗$x$棵,则购买乙种树苗$(270-x)$棵.
由题意,得$35x+20(270-x)≤5\,700$,
解得$x≤20$,
$\therefore x$的最大值为20.
答:最多购买甲种树苗20棵.
由题意,得$35x+20(270-x)≤5\,700$,
解得$x≤20$,
$\therefore x$的最大值为20.
答:最多购买甲种树苗20棵.
解析
【分析】
这是一道一元一次不等式的实际应用问题，解题思路如下：首先明确所求量，设购买甲种树苗x棵，那么乙种树苗的数量为总棵数减去甲的数量，即(270-x)棵；接着找到题中的核心不等关系：“购买这批树苗的总费用不超过5700元”，“不超过”对应不等号“≤”，总费用为甲种树苗总费用与乙种树苗总费用之和，据此列出不等式；最后解不等式，取x的最大正整数值即为所求的最多购买甲种树苗的数量。
【解析】
解：设购买甲种树苗$x$棵，则购买乙种树苗$(270-x)$棵。
由题意得：
$35x+20(270-x)≤5\,700$
展开括号：$35x+5400-20x≤5700$
合并同类项：$15x+5400≤5700$
移项计算：$15x≤300$
解得：$x≤20$
因此$x$的最大值为20。
【答案】
最多购买甲种树苗20棵
【知识点】
一元一次不等式的应用、解一元一次不等式
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题型，解题核心是将题干中的限定条件准确转化为不等关系，列出不等式求解即可，最终取值要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次不等式的实际应用问题，解题思路如下：首先明确所求量，设购买甲种树苗x棵，那么乙种树苗的数量为总棵数减去甲的数量，即(270-x)棵；接着找到题中的核心不等关系：“购买这批树苗的总费用不超过5700元”，“不超过”对应不等号“≤”，总费用为甲种树苗总费用与乙种树苗总费用之和，据此列出不等式；最后解不等式，取x的最大正整数值即为所求的最多购买甲种树苗的数量。
【解析】
解：设购买甲种树苗$x$棵，则购买乙种树苗$(270-x)$棵。
由题意得：
$35x+20(270-x)≤5\,700$
展开括号：$35x+5400-20x≤5700$
合并同类项：$15x+5400≤5700$
移项计算：$15x≤300$
解得：$x≤20$
因此$x$的最大值为20。
【答案】
最多购买甲种树苗20棵
【知识点】
一元一次不等式的应用、解一元一次不等式
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题型，解题核心是将题干中的限定条件准确转化为不等关系，列出不等式求解即可，最终取值要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
13.若$(k-1)x^{|k|}+3≥0$是关于$x$的一元一次不等式，则$k$的值为 （
A.$\pm1$
B.$1$
C.$-1$
D.$2$
C
）A.$\pm1$
B.$1$
C.$-1$
D.$2$
答案
13.C
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确一元一次不等式的核心定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，同时未知数的系数不能为0的不等式属于一元一次不等式。我们可以根据这个定义列出两个关于k的约束条件，分别求解后取公共部分即可得到k的取值。
【解析】
解：
∵$(k-1)x^{|k|}+3≥0$是关于x的一元一次不等式
∴需要同时满足以下两个条件：
1. 未知数x的次数为1：$|k|=1$，解得$k=1$或$k=-1$
2. 未知数x的系数不为0：$k-1≠0$，解得$k≠1$
结合两个条件可得，$k=-1$
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的定义、绝对值的性质
【点评】
本题是基础概念类题型，解题的易错点是容易遗漏“未知数系数不为0”的限制条件，从而误选B选项，学习概念时要记全相关的限制要求。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要明确一元一次不等式的核心定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，同时未知数的系数不能为0的不等式属于一元一次不等式。我们可以根据这个定义列出两个关于k的约束条件，分别求解后取公共部分即可得到k的取值。
【解析】
解：
∵$(k-1)x^{|k|}+3≥0$是关于x的一元一次不等式
∴需要同时满足以下两个条件：
1. 未知数x的次数为1：$|k|=1$，解得$k=1$或$k=-1$
2. 未知数x的系数不为0：$k-1≠0$，解得$k≠1$
结合两个条件可得，$k=-1$
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的定义、绝对值的性质
【点评】
本题是基础概念类题型，解题的易错点是容易遗漏“未知数系数不为0”的限制条件，从而误选B选项，学习概念时要记全相关的限制要求。
【难度系数】
0.7
