14.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,直线EF经过点O且分别交AB,CD的延长线于点E和点F,求证:$BE=DF$.

14. 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD,AE//CF，
∴∠EBO=∠FDO.
又
∵∠BOE=∠FOD，
∴△BOE≌△DOF,
∴BE=DF.

【分析】
要证明BE=DF，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先结合已知的平行四边形条件，利用平行四边形的性质可得对角线互相平分，即OB=OD，同时平行四边形对边平行，因此AB//CD，延长后AE仍平行于CF，可得到一组内错角∠EBO=∠FDO；再结合对顶角相等的隐含条件，即可证明△BOE和△DOF全等，最后根据全等三角形对应边相等，即可得到BE=DF的结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AE//CF，
∴∠EBO=∠FDO。
又
∵∠BOE=∠FOD，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE=DF。
【答案】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD,AE//CF，
∴∠EBO=∠FDO.
又
∵∠BOE=∠FOD，
∴△BOE≌△DOF,
∴BE=DF.
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的关键是结合平行四边形的性质找到全等三角形的判定条件，通过三角形全等推导对应边相等，掌握基础的几何性质定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

15.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过点O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10,则AB+AD的值是 （）

A.10
B.15
C.25
D.30

15.A

【分析】
解题时首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得出O是BD的中点；结合OE⊥BD，可知OE是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得BE=DE；再将△CDE的周长中的DE替换为BE，即可把周长转化为BC与CD的和；最后利用平行四边形对边相等的性质，将BC、CD替换为AD、AB，即可求出AB+AD的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC（平行四边形对角线互相平分、对边相等），
∵OE⊥BD且OB=OD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BE=DE，
已知△CDE的周长为10，即$CD + CE + DE = 10$，
将DE替换为BE，得：$CD + CE + BE = 10$，
又
∵$CE + BE = BC$，
∴$CD + BC = 10$，
结合AB=CD、AD=BC，可得$AB + AD = CD + BC = 10$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等量代换
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，将三角形周长转化为平行四边形邻边的和，解题时要熟练掌握平行四边形和垂直平分线的相关性质，学会灵活转化线段关系。
【难度系数】
0.7

16.如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=9,AE平分∠BAD交BC于点E,点O为BD的中点,连接EO并延长交AD于点F,则AF的长为 （）

A.3
B.4
C.5
D.6

16.B

【分析】
解题思路如下：首先，根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义，可推出△ABE为等腰三角形，从而求出BE的长度；其次，利用BD中点的性质，结合平行线的内错角相等、对顶角相等，证明△FOD与△EOB全等，得到FD与BE相等；最后，用AD的长度减去FD的长度即可求出AF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=9，
∴∠DAE=∠AEB，∠FDO=∠EBO。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=5。
∵点O是BD的中点，
∴OB=OD。
在△FOD和△EOB中：
$\{\begin{array}{l}∠ FDO=∠ EBO\\ OD=OB\\ ∠ FOD=∠ EOB\end{array} $
∴△FOD≌△EOB（ASA），
∴FD=BE=5，
∴AF=AD-FD=9-5=4。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是掌握角平分线与平行线组合可得等腰三角形的规律，再结合全等三角形转化线段长度即可求解，对几何基础知识点的综合运用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7

17.如图,在$□ ABCD$中,$∠ B=45°$,$AE ⊥ CD$于点$E$,将线段$AE$绕点$A$顺时针旋转$60°$,点$E$的对应点$F$恰好落在$BC$边上.若$AD=6\sqrt{2}$,则$CF$的长为________.

17.$3\sqrt{2}$

【分析】
首先根据平行四边形的性质可得对边相等、对角相等、对边平行，结合AE⊥CD可推出AE⊥AB；再利用旋转的性质得到AF=AE、∠EAF=60°，进而求出∠BAF的度数。先在等腰Rt△ADE中利用勾股定理求出AE的长度，即可得AF的长；再过F作AB的垂线构造特殊直角三角形，分别利用含30°角的直角三角形性质和等腰直角三角形的性质求出BF的长度，最后用BC的长度减去BF的长度就能得到CF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6√2，∠D=∠B=45°，AB//CD，
∵AE⊥CD，AB//CD，
∴AE⊥AB，即∠BAE=90°，
∵线段AE绕点A顺时针旋转60°得到AF，
∴AF=AE，∠EAF=60°，
∴∠BAF=∠BAE - ∠EAF=90° - 60°=30°，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠D=45°，
∴AE=DE，由勾股定理得AE²+DE²=AD²，即2AE²=(6√2)²，
解得AE=6，
∴AF=AE=6，
过点F作FG⊥AB于点G，
在Rt△AFG中，∠AGF=90°，∠FAG=30°，
∴FG=½AF=3，
在Rt△BFG中，∠BGF=90°，∠B=45°，
∴∠BFG=∠B=45°，BG=FG=3，
由勾股定理得BF=√(BG²+FG²)=√(3²+3²)=3√2，
∴CF=BC - BF=6√2 - 3√2=3√2。
【答案】
3√2
【知识点】
平行四边形的性质，旋转的性质，特殊直角三角形计算
【点评】
本题综合考查了几何图形性质的综合应用，解题的关键是正确利用特殊角度的性质构造合适的直角三角形，将已知条件和待求线段建立联系，有助于锻炼学生的几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6

18.如图,在$□ ABCD$中,点 E 在边 AD 上,以点 C 为圆心、AE 的长为半径画弧,交边 BC 于点 F,连接 BE,DF.
(1)求证:$△ ABE≌△ CDF$;
(2)若$BE=10$,$∠ EBC=30°$,求 AD 与 BC 之间的距离.

18.(1)证明:由题意,可得AE=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠A=∠C.
在△ABE和△CDF中,$\begin{cases}AE=CF,\\∠A=∠C,\\AB=CD,\end{cases}$
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)解:过点E作EG⊥BC,垂足为G(图略).
∵在Rt△BGE中,∠EBC=30°,BE=10，
∴$EG=\frac{1}{2}BE=5$,
∴AD与BC之间的距离为5.

【分析】
(1)要证明△ABE≌△CDF，首先结合已知条件分析：题目中以C为圆心、AE长为半径画弧可得AE=CF，这是一组对应边相等；再利用平行四边形对边相等、对角相等的性质，可得AB=CD，∠A=∠C，满足全等三角形判定的SAS条件，即可完成证明。
(2)求AD与BC之间的距离，首先明确平行线间的距离是垂线段的长度，因此过E作BC的垂线EG，构造直角三角形BGE；已知∠EBC=30°、BE=10，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出EG的长度，也就是两平行线的距离。
【解析】
(1)证明：由题意作图可得AE=CF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠A=∠C。
在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases} AE=CF \\ ∠A=∠C \\ AB=CD \end{cases}$
∴△ABE≌△CDF（SAS）。
(2)解：过点E作EG⊥BC，垂足为G，则EG的长度就是AD与BC之间的距离。
∵在Rt△BGE中，∠EGB=90°，∠EBC=30°，BE=10，
∴$EG=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×10=5$，
即AD与BC之间的距离为5。
【答案】
(1)△ABE≌△CDF得证；(2)5
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的SAS判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，侧重对基础性质和判定定理的考察，解题时需准确理解平行线距离的定义，合理选取全等判定条件，结合直角三角形的特殊性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8