19. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$与$BD$交于点$O$,$BE$平分$∠ ABD$,交$AC$于点$E$,$DF$平分$∠ CDB$,交$AC$于点$F$,点$G$在$BE$的延长线上,且$BE=EG$,连接$DG$.
(1)求证:$△ ABE≌△ CDF$;
(2)若$BD=2AB$,$DF=4$,$AC=6$,求四边形$DGEF$的周长.

19.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,AB=CD，
∴∠ABD=∠CDB,∠BAE=∠DCF.
∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB，
∴$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABD,∠CDF=\frac{1}{2}∠CDB$,
∴∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF(ASA).
(2)解:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD,AB=CD,
∴BD=2OB.
∵BD=2AB,
∴OB=AB=OD=CD.
∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB，
∴BE⊥AC,DF⊥OC,OE=AE,CF=OF，
∴BE//DF,
∴EG//DF.
∵△ABE≌△CDF,
∴BE=DF.
∵BE=EG,
∴EG=DF，
∴四边形DGEF是平行四边形,
∴EF=DG.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$OC=AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$,
∴$AE=OE=\frac{1}{2}AO=\frac{3}{2},OF=FC=\frac{1}{2}OC=\frac{3}{2}$,
∴$EF=OE+OF=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$,
∴四边形DGEF的周长为2(DF+EF)=2×(4+3)=14.

【分析】
(1)要证明△ABE≌△CDF，先利用平行四边形的性质得到相等的边和内错角，再结合角平分线的定义得到一组对应角相等，即可通过ASA判定两个三角形全等。
(2)首先结合平行四边形对角线互相平分的性质和BD=2AB的条件，得到△ABO、△DCO为等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质得到BE⊥AC、DF⊥AC，推出BE与DF平行，结合BE=EG=DF可判定四边形DGEF是平行四边形，再求出EF的长度，即可计算平行四边形的周长。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠ABD=∠CDB，∠BAE=∠DCF。
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABD$，$∠ CDF=\frac{1}{2}∠ CDB$，
∴∠ABE=∠CDF。
在△ABE和△CDF中：
$\begin{cases}∠ BAE=∠ DCF \\AB=CD \\∠ ABE=∠ CDF\end{cases}$
∴△ABE≌△CDF(ASA)。
(2)解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，$AO=OC=\frac{1}{2}AC$，
∴BD=2OB。
∵BD=2AB，
∴OB=AB，同理OD=CD。
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴BE⊥AC，DF⊥AC，AE=OE，CF=OF，
∴BE//DF。
∵点G在BE的延长线上，
∴EG//DF。
由(1)得△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，
又
∵BE=EG，
∴EG=DF，
∴四边形DGEF是平行四边形，
∴DG=EF。
∵AC=6，
∴$AO=OC=\frac{1}{2}×6=3$，
∴$OE=\frac{1}{2}AO=\frac{3}{2}$，$OF=\frac{1}{2}OC=\frac{3}{2}$，
∴$EF=OE+OF=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$，
∴四边形DGEF的周长为$2(DF+EF)=2×(4+3)=14$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)14
【知识点】
全等三角形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，主要考查平行四边形、全等三角形、等腰三角形的相关性质，解题的关键是熟练掌握各图形的性质，合理转化边角关系，第二问中利用等腰三角形三线合一得到线段的垂直关系和中点关系是解题的突破口。
【难度系数】
0.65

20. 如图 1，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，$EF$ 过点 $O$ 且与边 $AB$，$CD$ 分别相交于点 $E$ 和点 $F$.
(1)求证：$OE=OF$.
(2)如图 2，已知 $AD=1$，$BD=2$，$AC=2\sqrt{2}$，$∠ DOF=∠ α$.
①当$∠ α$为多少度时，$EF⊥ AC$？
②在①的条件下，连接 $AF$，求$△ ADF$ 的周长.

20.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD,AB//CD，
∴∠EBO=∠FDO.
又
∵∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF，
∴OE=OF.
(2)解:①
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$OD=\frac{1}{2}BD=1,OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$.
又AD=1，
∴AD=DO,$AD^2+OD^2=OA^2$,
∴∠ADO=90°,
∴∠AOD=45°.
∵EF⊥AC,
∴∠AOF=90°,
∴∠α=90°-45°=45°.
②易得EF垂直平分AC，
∴AF=FC.
又$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}=CD$,
∴△ADF的周长为AD+DF+FA=AD+CD=1+$\sqrt{5}$.

【分析】
(1)要证明OE=OF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。结合平行四边形对角线互相平分的性质可得OB=OD，对边平行可得∠EBO=∠FDO，再结合对顶角相等，即可证明△BOE≌△DOF，从而得到OE=OF。
(2)①首先根据平行四边形对角线互相平分的性质，求出OD、OA的长度，结合AD的长度，利用勾股定理逆定理判断△ADO的形状，得到∠AOD的度数，再结合EF⊥AC的条件，即可求出∠α的度数；②由EF⊥AC且O是AC中点，可知EF垂直平分AC，根据垂直平分线的性质得AF=FC，将△ADF的周长转化为AD+CD的长度，再用勾股定理求出CD的长度即可计算周长。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB//CD，
∴∠EBO=∠FDO，
又
∵∠BOE=∠DOF（对顶角相等），
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴OE=OF。
(2)解：①
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$OD=\frac{1}{2}BD=1$，$OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，
又
∵AD=1，
∴AD=OD=1，且$AD^2+OD^2=1^2+1^2=2=(\sqrt{2})^2=OA^2$，
∴△ADO是等腰直角三角形，∠ADO=90°，
∴∠AOD=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠AOF=90°，
∴$∠α=∠AOF-∠AOD=90°-45°=45°$。
②
∵O是AC中点，且EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC，
∴AF=FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADO=90°即AD⊥BD，
∴$CD=AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
∴△ADF的周长=$AD+DF+FA=AD+DF+FC=AD+CD=1+\sqrt{5}$。
【答案】
(1)OE=OF得证；(2)①$\boldsymbol{45°}$；②$\boldsymbol{1+\sqrt{5}}$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理及逆定理
【点评】
本题是平行四边形的综合基础题，考查了平行四边形性质、全等判定、勾股定理等知识的应用，解题时要注意运用转化思想，比如第二问利用垂直平分线的性质将三角形周长转化为定长线段的和，可大幅简化计算。
【难度系数】
0.7