14. 计算$\dfrac{(x-y)^2}{xy} - \dfrac{x^2 + y^2}{xy}$的结果是（）

A.$\dfrac{2(x-y)}{x}$
B.$\dfrac{2(y-x)}{x}$
C.$-2$
D.$\dfrac{2(y^2 - xy)}{xy}$

14.C

【分析】
本题是同分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步，依据同分母分式减法法则，分母不变，将两个分式的分子相减；第二步，利用完全平方公式展开分子中的$(x-y)^2$，去括号时注意符号变化；第三步，对分子合并同类项后进行约分，即可得到最终化简结果。
【解析】
根据同分母分式减法运算规则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
原式$=\dfrac{(x-y)^2-(x^2+y^2)}{xy}$
根据完全平方公式展开$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，代入分子得：
分子$=x^2-2xy+y^2 - x^2 - y^2$
合并同类项：$x^2-x^2=0$，$y^2-y^2=0$，因此分子化简为$-2xy$
则原式$=\dfrac{-2xy}{xy}$，由分式有意义的条件可知$xy≠0$，约分后得$-2$
【答案】
C
【知识点】
同分母分式加减法，完全平方公式，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查对分式运算法则和乘法公式的掌握程度，解题时要注意去括号的符号问题，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8

15.若$\frac{m}{x-1}-\frac{n}{x+2}=\frac{x-7}{(x-1)(x+2)}$，则常数$m$和$n$的值分别是 （）

A.$-8,-9$
B.$-9,-8$
C.$-3,-2$
D.$-2,-3$

15.D

【分析】
解题时首先观察等式两边的分式，发现两边分母相同，根据分式相等的性质：当分母不为0时，若两个分式相等则分子相等，因此只需先将左边的异分母分式通分化为同分母分式，再令左右两边分子相等即可。接下来将左边分子展开整理为关于x的多项式，根据两个多项式相等时，同类项的系数对应相等，就能得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可求出m、n的取值。
【解析】
首先对等式左边的分式进行通分：
左边$=\frac{m(x+2)}{(x-1)(x+2)} - \frac{n(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{m(x+2) - n(x-1)}{(x-1)(x+2)}$
已知等式左右两边相等，且分母均为$(x-1)(x+2)$（分母不为0），因此分子相等：
$m(x+2) - n(x-1) = x - 7$
将左边展开并合并同类项：
$mx + 2m - nx + n = (m-n)x + (2m + n)$
等式左右两边为相等的多项式，因此同类项系数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}m - n = 1 \\2m + n = -7\end{cases}$
将两个方程相加消去n，得：$3m = -6$，解得$m=-2$
把$m=-2$代入$m - n =1$，得：$-2 - n =1$，解得$n=-3$
因此m=-2，n=-3，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算；多项式相等的性质；解二元一次方程组
【点评】
本题是分式运算与方程结合的常考题型，解题核心是利用分式相等的条件将分式方程转化为整式问题，再通过系数对应相等建立方程组求解，需要熟练掌握分式通分、整式运算和解二元一次方程组的相关技能。
【难度系数】
0.7

16. 已知 $ y_1 = \frac{1}{x-1}, y_2 = \frac{1}{1-y_1}, y_3 = \frac{1}{1-y_2}, y_4 = \frac{1}{1-y_3}, \dots, y_n = \frac{1}{1-y_{n-1}} $，则 $ y_{4} = \_\_\_\_\_\_ $，$ y_{2026} = \_\_\_\_\_\_ $。（用含 $ x $ 的代数式表示）

16.$\frac{1}{x-1}$ $\frac{1}{x-1}$

【分析】
解题时先根据给定的递推公式依次计算前几个$y$的值，观察结果的变化规律，可发现式子存在周期循环特征。第一步先代入计算$y_2$、$y_3$、$y_4$，确定循环周期；第二步用项数除以周期，根据余数对应周期内的项即可求出指定项的结果。
【解析】
已知$y_1=\frac{1}{x-1}$，
1. 计算$y_2$：
$y_2=\frac{1}{1-y_1}=\frac{1}{1-\frac{1}{x-1}}=\frac{1}{\frac{(x-1)-1}{x-1}}=\frac{x-1}{x-2}$
2. 计算$y_3$：
$y_3=\frac{1}{1-y_2}=\frac{1}{1-\frac{x-1}{x-2}}=\frac{1}{\frac{(x-2)-(x-1)}{x-2}}=\frac{1}{\frac{-1}{x-2}}=2-x$
3. 计算$y_4$：
$y_4=\frac{1}{1-y_3}=\frac{1}{1-(2-x)}=\frac{1}{x-1}$
观察可得$y_4=y_1$，说明该组式子的循环周期为3，每3个项重复一次。
4. 计算$y_{2026}$：
$2026÷3=675······1$，余数为1，因此$y_{2026}=y_1=\frac{1}{x-1}$。
【答案】
$\frac{1}{x-1}$；$\frac{1}{x-1}$
【知识点】
分式的运算、周期规律探索
【点评】
本题考查分式混合运算与规律探究能力，解题核心是通过计算前几项确定循环周期，再利用周期推导高次项的结果，计算过程中要注意分式通分、约分的正确性。
【难度系数】
0.65

17.已知下列一组等式：
$1×\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2};\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3};\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4};\frac{1}{4}×\frac{1}{5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5};….$
(1)请用含$n$的等式表示你发现的规律：______；
(2)利用上述规律计算：$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}$

17.解:(1)$\frac{1}{n}·\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2)$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+4}=\frac{x+4}{x(x+4)}-\frac{x}{x(x+4)}=\frac{4}{x(x+4)}$.

【分析】
（1）观察给出的等式，左侧均为相邻两个正整数的倒数的乘积，右侧为这两个倒数的差，设较小的正整数为n（n为正整数），即可归纳出通用规律；（2）观察待计算的分式和的每一项，分母均为相差1的两个整式的乘积，符合（1）中得到的裂项规律，因此先将每一项拆分为两个分式的差，拆分后中间相邻项互为相反数可相互抵消，仅剩首尾两项，再对首尾两项通分计算即可得到结果。
【解析】
(1) 观察已知等式：
当n=1时，$\frac{1}{1}×\frac{1}{1+1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}$；
当n=2时，$\frac{1}{2}×\frac{1}{2+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}$；
……
由此可得规律：$\frac{1}{n}·\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（n为正整数）。
(2) 根据上述规律拆分每一项：
$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}$
$=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}$
抵消中间互为相反数的项后，得：
$=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+4}$
通分计算：
$=\frac{x+4}{x(x+4)}-\frac{x}{x(x+4)}$
$=\frac{x+4 - x}{x(x+4)}$
$=\frac{4}{x(x+4)}$
【答案】
(1) $\frac{1}{n}·\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（n为正整数）；
(2) $\frac{4}{x(x+4)}$
【知识点】
规律探究、裂项相消、分式加减运算
【点评】
本题考查规律归纳能力和分式化简技巧，裂项相消是分式加减运算中常用的简便方法，掌握该规律可有效简化复杂分式和的计算，核心是准确识别分母为两个差为定值的因式相乘的结构。
【难度系数】
0.7

18. 小明在做分式运算时发现如下几个等式：
$\frac{x+2}{x+3} - \frac{x+1}{x+2} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$；①
$\frac{x+3}{x+4} - \frac{x+2}{x+3} = \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}$；②
$\frac{x+4}{x+5} - \frac{x+3}{x+4} = \frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+5}$；③
….
小明经过思考写出了第①个等式的证明过程：
$\frac{x+2}{x+3} - \frac{x+1}{x+2} = \frac{x+3-1}{x+3} - \frac{x+2-1}{x+2} = 1 - \frac{1}{x+3} - 1 + \frac{1}{x+2} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$.
解答下列问题：
(1)第⑤个等式是________；
(2)第$n$个等式是________；
(3)请你证明第$n$个等式成立.

18.(1)解:$\frac{x+6}{x+7}-\frac{x+5}{x+6}=\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}$
(2)解:$\frac{x+n+1}{x+n+2}-\frac{x+n}{x+n+1}=\frac{1}{x+n+1}-\frac{1}{x+n+2}$
(3)证明:$\frac{x+n+1}{x+n+2}-\frac{x+n}{x+n+1}$
$=\frac{(x+n+2)-1}{x+n+2}-\frac{(x+n+1)-1}{x+n+1}$
$=(1-\frac{1}{x+n+2})-(1-\frac{1}{x+n+1})$
$=\frac{1}{x+n+1}-\frac{1}{x+n+2}$.
$\therefore\frac{x+n+1}{x+n+2}-\frac{x+n}{x+n+1}=\frac{1}{x+n+1}-\frac{1}{x+n+2}$.
即第$n$个等式成立.

【分析】
先观察已知的3个等式，总结规律：第k个等式中，左边是两个分式相减，第一个分式的分子为x+(k+1)、分母为x+(k+2)，第二个分式的分子为x+k、分母为x+(k+1)；右边是两个分子为1的分式相减，分母依次为x+(k+1)、x+(k+2)。
(1)求第⑤个等式时，将k=5代入上述规律即可写出；
(2)求第n个等式时，将k替换为n，写出通用的等式形式即可；
(3)证明第n个等式时，参照第①个等式的证明思路，将左边两个分式的分子拆成“对应分母减1”的形式，拆分后化简，验证化简结果和等式右边相等即可。
【解析】
(1)根据规律，第⑤个等式为：
$\frac{x+5+1}{x+5+2}-\frac{x+5}{x+5+1}=\frac{1}{x+5+1}-\frac{1}{x+5+2}$，即$\frac{x+6}{x+7}-\frac{x+5}{x+6}=\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}$。
(2)第n个等式为：
$\frac{x+n+1}{x+n+2}-\frac{x+n}{x+n+1}=\frac{1}{x+n+1}-\frac{1}{x+n+2}$。
(3)证明：
左边$=\frac{x+n+1}{x+n+2}-\frac{x+n}{x+n+1}$
$=\frac{(x+n+2)-1}{x+n+2}-\frac{(x+n+1)-1}{x+n+1}$
$=(1-\frac{1}{x+n+2})-(1-\frac{1}{x+n+1})$
$=1-\frac{1}{x+n+2}-1+\frac{1}{x+n+1}$
$=\frac{1}{x+n+1}-\frac{1}{x+n+2}$=右边
因此第n个等式成立。
【答案】
(1)$\frac{x+6}{x+7}-\frac{x+5}{x+6}=\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}$
(2)$\frac{x+n+1}{x+n+2}-\frac{x+n}{x+n+1}=\frac{1}{x+n+1}-\frac{1}{x+n+2}$
(3)证明过程见解析
【知识点】
1. 分式的加减运算
2. 数字规律探究
3. 分式恒等变形
【点评】
本题将规律探究与分式运算结合考查，解题的核心是先观察已知等式的结构特征总结通用规律，再利用分式拆分的技巧验证规律，变形过程简单易懂，注重对观察能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7