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19.某净水装置将杂质含量为 $ n $ 的水用 $ m $ 单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为$\frac{n}{1+m}$. 利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究.
现有杂质含量为1的水.
(1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为________.
(2)小亮共准备了 $ 6a $ 单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将 $ 6a $ 单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将 $ 6a $ 单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤. 三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
现有杂质含量为1的水.
(1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为________.
(2)小亮共准备了 $ 6a $ 单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将 $ 6a $ 单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将 $ 6a $ 单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤. 三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
答案
19.解:(1)$\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$,故答案为$\frac{1}{3}$.
(2)①根据题意,可知方案C中第一次过滤后水中杂质含量为$\frac{1}{1+4a}$,
第二次过滤后水中杂质含量为$\frac{\frac{1}{1+4a}}{1+2a}=\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}$,
故答案为$\frac{1}{1+4a},\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}$.
②$\frac{1}{1+6a}-\frac{1}{(1+5a)(1+a)}=\frac{5a^2}{(1+6a)(1+5a)(1+a)}$.
$\because a＞0$,
$\therefore 5a^2＞0,(1+6a)(1+5a)(1+a)＞0$.
$\therefore\frac{5a^2}{(1+6a)(1+5a)(1+a)}＞0$.
$\therefore\frac{1}{1+6a}＞\frac{1}{(1+5a)(1+a)}$.
同理,可得$\frac{1}{(1+5a)(1+a)}＞\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}$.
$\therefore\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}＜\frac{1}{(1+5a)(1+a)}＜\frac{1}{1+6a}$.
$\therefore$方案C的最终过滤效果最好.
(2)①根据题意,可知方案C中第一次过滤后水中杂质含量为$\frac{1}{1+4a}$,
第二次过滤后水中杂质含量为$\frac{\frac{1}{1+4a}}{1+2a}=\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}$,
故答案为$\frac{1}{1+4a},\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}$.
②$\frac{1}{1+6a}-\frac{1}{(1+5a)(1+a)}=\frac{5a^2}{(1+6a)(1+5a)(1+a)}$.
$\because a＞0$,
$\therefore 5a^2＞0,(1+6a)(1+5a)(1+a)＞0$.
$\therefore\frac{5a^2}{(1+6a)(1+5a)(1+a)}＞0$.
$\therefore\frac{1}{1+6a}＞\frac{1}{(1+5a)(1+a)}$.
同理,可得$\frac{1}{(1+5a)(1+a)}＞\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}$.
$\therefore\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}＜\frac{1}{(1+5a)(1+a)}＜\frac{1}{1+6a}$.
$\therefore$方案C的最终过滤效果最好.
解析
【分析】
(1) 题中明确给出过滤后杂质含量的计算公式：用$m$单位净水材料过滤杂质含量为$n$的水，过滤后杂质含量为$\frac{n}{1+m}$。第一问初始杂质含量$n=1$，净水材料用量$m=2$，直接代入公式即可求解。
(2) ① 方案C第一次过滤时，初始杂质含量$n=1$，净水材料用量$m=4a$，代入公式得到第一次过滤后的杂质含量；第二次过滤时，将第一次的结果作为新的初始杂质含量$n$，净水材料用量$m=2a$，再次代入公式即可得到第二次过滤后的杂质含量。
② 过滤效果最好对应最终杂质含量最低，因此需要比较三个方案最终杂质含量的大小。可通过作差法比较分式大小，结合$a＞0$的隐含条件判断差的正负，即可得出三个杂质含量的大小关系，确定最优方案。
【解析】
(1) 已知初始杂质含量为1，净水材料用量为2，代入公式得过滤后杂质含量为$\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$。
(2) ① 方案C第一次过滤：初始杂质为1，净水材料用量为$4a$，因此第一次过滤后杂质含量为$\frac{1}{1+4a}$；
第二次过滤时，初始杂质为$\frac{1}{1+4a}$，净水材料用量为$2a$，代入公式得第二次过滤后杂质含量为$\frac{\frac{1}{1+4a}}{1+2a}=\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}$。
② 比较三个方案最终杂质含量的大小：
首先比较方案A和B的最终杂质含量：
$\frac{1}{1+6a}-\frac{1}{(1+5a)(1+a)}=\frac{(1+5a)(1+a)-(1+6a)}{(1+6a)(1+5a)(1+a)}$
展开分子得：$(1+6a+5a^2)-(1+6a)=5a^2$
由于$a＞0$，因此分子$5a^2＞0$，分母$(1+6a)(1+5a)(1+a)＞0$，差为正数，故$\frac{1}{1+6a}＞\frac{1}{(1+5a)(1+a)}$。
再比较方案B和C的最终杂质含量：
$\frac{1}{(1+5a)(1+a)}-\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}=\frac{(1+4a)(1+2a)-(1+5a)(1+a)}{(1+5a)(1+a)(1+4a)(1+2a)}$
展开分子得：$(1+6a+8a^2)-(1+6a+5a^2)=3a^2＞0$，分母也为正数，因此差为正数，故$\frac{1}{(1+5a)(1+a)}＞\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}$。
综上可得$\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}＜\frac{1}{(1+5a)(1+a)}＜\frac{1}{1+6a}$，即方案C最终杂质含量最低。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) ① $\frac{1}{1+4a}$；$\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}$
② 方案C的最终过滤效果最好。
【知识点】
分式的应用；分式运算；代数式大小比较
【点评】
本题结合实际情境给出新运算公式，考查对新定义的理解和分式运算的掌握，解题关键是明确每次过滤对应的初始杂质含量和净水材料用量，比较分式大小时可灵活选用作差法或分子相同比分母的方法，计算时要注意多项式展开的准确性。
【难度系数】
0.7
(1) 题中明确给出过滤后杂质含量的计算公式：用$m$单位净水材料过滤杂质含量为$n$的水，过滤后杂质含量为$\frac{n}{1+m}$。第一问初始杂质含量$n=1$，净水材料用量$m=2$，直接代入公式即可求解。
(2) ① 方案C第一次过滤时，初始杂质含量$n=1$，净水材料用量$m=4a$，代入公式得到第一次过滤后的杂质含量；第二次过滤时，将第一次的结果作为新的初始杂质含量$n$，净水材料用量$m=2a$，再次代入公式即可得到第二次过滤后的杂质含量。
② 过滤效果最好对应最终杂质含量最低，因此需要比较三个方案最终杂质含量的大小。可通过作差法比较分式大小，结合$a＞0$的隐含条件判断差的正负，即可得出三个杂质含量的大小关系，确定最优方案。
【解析】
(1) 已知初始杂质含量为1，净水材料用量为2，代入公式得过滤后杂质含量为$\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$。
(2) ① 方案C第一次过滤：初始杂质为1，净水材料用量为$4a$，因此第一次过滤后杂质含量为$\frac{1}{1+4a}$；
第二次过滤时，初始杂质为$\frac{1}{1+4a}$，净水材料用量为$2a$，代入公式得第二次过滤后杂质含量为$\frac{\frac{1}{1+4a}}{1+2a}=\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}$。
② 比较三个方案最终杂质含量的大小：
首先比较方案A和B的最终杂质含量：
$\frac{1}{1+6a}-\frac{1}{(1+5a)(1+a)}=\frac{(1+5a)(1+a)-(1+6a)}{(1+6a)(1+5a)(1+a)}$
展开分子得：$(1+6a+5a^2)-(1+6a)=5a^2$
由于$a＞0$，因此分子$5a^2＞0$，分母$(1+6a)(1+5a)(1+a)＞0$，差为正数，故$\frac{1}{1+6a}＞\frac{1}{(1+5a)(1+a)}$。
再比较方案B和C的最终杂质含量：
$\frac{1}{(1+5a)(1+a)}-\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}=\frac{(1+4a)(1+2a)-(1+5a)(1+a)}{(1+5a)(1+a)(1+4a)(1+2a)}$
展开分子得：$(1+6a+8a^2)-(1+6a+5a^2)=3a^2＞0$，分母也为正数，因此差为正数，故$\frac{1}{(1+5a)(1+a)}＞\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}$。
综上可得$\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}＜\frac{1}{(1+5a)(1+a)}＜\frac{1}{1+6a}$，即方案C最终杂质含量最低。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) ① $\frac{1}{1+4a}$；$\frac{1}{(1+4a)(1+2a)}$
② 方案C的最终过滤效果最好。
【知识点】
分式的应用；分式运算；代数式大小比较
【点评】
本题结合实际情境给出新运算公式，考查对新定义的理解和分式运算的掌握，解题关键是明确每次过滤对应的初始杂质含量和净水材料用量，比较分式大小时可灵活选用作差法或分子相同比分母的方法，计算时要注意多项式展开的准确性。
【难度系数】
0.7
