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1. 计算$(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a})· \dfrac{a}{b-c}$的结果为 （
A.$1$
B.$\dfrac{b+c}{b-c}$
C.$\dfrac{1}{b-c}$
D.$\dfrac{1}{b+c}$
B
）A.$1$
B.$\dfrac{b+c}{b-c}$
C.$\dfrac{1}{b-c}$
D.$\dfrac{1}{b+c}$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查分式的混合运算，解题思路清晰：第一步先计算括号内的运算，括号内是两个同分母分式相加，按照同分母分式加法法则计算即可；第二步将括号内的计算结果和括号外的分式相乘，约掉分子分母的公因式后就能得到最终结果。
【解析】
解：第一步，计算括号内的同分母分式加法：
同分母分式相加，分母不变，分子相加，可得$\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{b+c}{a}$
第二步，计算分式乘法：
将上述结果代入原式，可得$(\dfrac{b+c}{a})·\dfrac{a}{b-c}$
已知分式有意义时$a≠0$，可约掉分子分母的公因式$a$，最终得到$\dfrac{b+c}{b-c}$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减、分式乘法运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分式运算的基本规则，熟练掌握同分母分式加减法则和约分技巧就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
本题考查分式的混合运算，解题思路清晰：第一步先计算括号内的运算，括号内是两个同分母分式相加，按照同分母分式加法法则计算即可；第二步将括号内的计算结果和括号外的分式相乘，约掉分子分母的公因式后就能得到最终结果。
【解析】
解：第一步，计算括号内的同分母分式加法：
同分母分式相加，分母不变，分子相加，可得$\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{b+c}{a}$
第二步，计算分式乘法：
将上述结果代入原式，可得$(\dfrac{b+c}{a})·\dfrac{a}{b-c}$
已知分式有意义时$a≠0$，可约掉分子分母的公因式$a$，最终得到$\dfrac{b+c}{b-c}$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减、分式乘法运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分式运算的基本规则，熟练掌握同分母分式加减法则和约分技巧就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
2. 化简$(1-\dfrac{1}{x+1})÷\dfrac{x}{x^2-1}$的结果是 （
A.$x-1$
B.$x+1$
C.$1-x$
D.$\dfrac{x-1}{x}$
A
）A.$x-1$
B.$x+1$
C.$1-x$
D.$\dfrac{x-1}{x}$
答案
2.A
解析
【分析】
本题是分式化简计算题，遵循分式混合运算顺序解题即可：第一步先算括号内的减法，将整数1通分为和后项同分母的分式，计算出括号内的结果；第二步将除法转化为乘法，同时利用平方差公式对$x^2-1$因式分解；最后约去分子分母的公因式就能得到化简结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{x+1})÷\frac{x}{x^2-1}\\=&(\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1})×\frac{x^2-1}{x}\\=&\frac{x+1-1}{x+1}×\frac{(x+1)(x-1)}{x}\\=&\frac{x}{x+1}×\frac{(x+1)(x-1)}{x}\\=&x-1\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分式运算规则和因式分解的应用，运算时注意通分、除法转乘法的规则，约分彻底即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简计算题，遵循分式混合运算顺序解题即可：第一步先算括号内的减法，将整数1通分为和后项同分母的分式，计算出括号内的结果；第二步将除法转化为乘法，同时利用平方差公式对$x^2-1$因式分解；最后约去分子分母的公因式就能得到化简结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{x+1})÷\frac{x}{x^2-1}\\=&(\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1})×\frac{x^2-1}{x}\\=&\frac{x+1-1}{x+1}×\frac{(x+1)(x-1)}{x}\\=&\frac{x}{x+1}×\frac{(x+1)(x-1)}{x}\\=&x-1\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分式运算规则和因式分解的应用，运算时注意通分、除法转乘法的规则，约分彻底即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
3. 下列运算正确的是 （
A.$\dfrac{a}{b - a} - \dfrac{b}{a - b} = -1$
B.$5a^{-1} = \dfrac{1}{5a}$
C.$2×\dfrac{a}{b} ÷ \dfrac{b}{a} = 2$
D.$\dfrac{1}{(a + b)^2} · \dfrac{a^2 - b^2}{a - b} = \dfrac{1}{a + b}$
D
）A.$\dfrac{a}{b - a} - \dfrac{b}{a - b} = -1$
B.$5a^{-1} = \dfrac{1}{5a}$
C.$2×\dfrac{a}{b} ÷ \dfrac{b}{a} = 2$
D.$\dfrac{1}{(a + b)^2} · \dfrac{a^2 - b^2}{a - b} = \dfrac{1}{a + b}$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查分式的基本运算、负整数指数幂的相关计算，解题思路为：逐一计算每个选项的结果，将计算结果与选项给出的结论对比，排除错误选项，最终确定正确答案。计算时需严格遵循对应运算法则，注意符号、运算顺序和约分的正确性。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：
$\dfrac{a}{b - a} - \dfrac{b}{a - b} = \dfrac{a}{b - a} + \dfrac{b}{b - a} = \dfrac{a + b}{b - a} ≠ -1$，故A选项错误。
2. 分析选项B：
根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$5a^{-1}=5×\dfrac{1}{a}=\dfrac{5}{a}≠\dfrac{1}{5a}$，故B选项错误。
3. 分析选项C：
分式乘除为同级运算，从左到右依次计算：
$2×\dfrac{a}{b} ÷ \dfrac{b}{a} = 2×\dfrac{a}{b}×\dfrac{a}{b} = \dfrac{2a^2}{b^2}≠2$，故C选项错误。
4. 分析选项D：
先利用平方差公式因式分解$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，再计算：
$\dfrac{1}{(a + b)^2} · \dfrac{a^2 - b^2}{a - b} = \dfrac{1}{(a+b)^2}×\dfrac{(a+b)(a-b)}{a-b} = \dfrac{1}{a+b}$，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
分式混合运算，负整数指数幂，平方差公式
【点评】
本题属于分式运算的基础考查题，易错点在于容易混淆负整数指数幂的运算规则、忽略分式加减时的符号变化、记错乘除运算的顺序，计算时需细心核对每一步的运算依据。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的基本运算、负整数指数幂的相关计算，解题思路为：逐一计算每个选项的结果，将计算结果与选项给出的结论对比，排除错误选项，最终确定正确答案。计算时需严格遵循对应运算法则，注意符号、运算顺序和约分的正确性。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：
$\dfrac{a}{b - a} - \dfrac{b}{a - b} = \dfrac{a}{b - a} + \dfrac{b}{b - a} = \dfrac{a + b}{b - a} ≠ -1$，故A选项错误。
2. 分析选项B：
根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$5a^{-1}=5×\dfrac{1}{a}=\dfrac{5}{a}≠\dfrac{1}{5a}$，故B选项错误。
3. 分析选项C：
分式乘除为同级运算，从左到右依次计算：
$2×\dfrac{a}{b} ÷ \dfrac{b}{a} = 2×\dfrac{a}{b}×\dfrac{a}{b} = \dfrac{2a^2}{b^2}≠2$，故C选项错误。
4. 分析选项D：
先利用平方差公式因式分解$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，再计算：
$\dfrac{1}{(a + b)^2} · \dfrac{a^2 - b^2}{a - b} = \dfrac{1}{(a+b)^2}×\dfrac{(a+b)(a-b)}{a-b} = \dfrac{1}{a+b}$，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
分式混合运算，负整数指数幂，平方差公式
【点评】
本题属于分式运算的基础考查题，易错点在于容易混淆负整数指数幂的运算规则、忽略分式加减时的符号变化、记错乘除运算的顺序，计算时需细心核对每一步的运算依据。
【难度系数】
0.7
4.如图,这是嘉琪同学在作业中计算$a-\dfrac{4}{2-a}-2$的过程,作业是从第几步开始出现错误的?
（
$a-\dfrac{4}{2-a}-2$
$=a-2-\dfrac{4}{2-a}$……第一步
$=(a-2)(2-a)-4$……第二步
$=4-a^2-4$……第三步
$=-a^2$……第四步
A.第一步
B.第二步
C.第三步
D.第四步
（
B
）$a-\dfrac{4}{2-a}-2$
$=a-2-\dfrac{4}{2-a}$……第一步
$=(a-2)(2-a)-4$……第二步
$=4-a^2-4$……第三步
$=-a^2$……第四步
A.第一步
B.第二步
C.第三步
D.第四步
答案
4.B
解析
【分析】
要判断计算过程从哪一步出错，需按照分式加减的运算规则逐步核对每一步：首先明确分式加减的核心要求，异分母分式加减要先通分，保持分母不变仅对分子做运算，且代数式运算不能随意去掉分母（去分母是解方程的步骤，会改变原式的数值）。首先看第一步：将原式中-2和$-\dfrac{4}{2-a}$交换位置，属于加法交换律的合法应用，计算正确。再看第二步：分式加减时未通分保留分母，直接去掉分母计算，违背了代数式的运算规则，这一步就出现了错误。
【解析】
我们逐步验证每一步的正确性：
1. 第一步：$a-\dfrac{4}{2-a}-2 = a-2-\dfrac{4}{2-a}$，利用加法交换律调整运算顺序，等式成立，第一步正确。
2. 第二步：原式属于代数式的加减运算，进行分式加减时需先通分，保持公分母$(2-a)$不变，正确变形应为$\dfrac{(a-2)(2-a)}{2-a}-\dfrac{4}{2-a}$，但题目中第二步直接去掉了分母，相当于给原式乘了$(2-a)$，改变了原式的大小，因此第二步错误。
后续第三步、第四步是基于错误的第二步计算的，因此错误从第二步开始出现。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式的加减运算
2. 通分法则
3. 代数式运算规则
【点评】
本题是分式运算的典型易错题，核心要区分代数式运算和方程运算的差异：解方程可以两边同乘公分母去分母，但分式加减属于代数式运算，只能通分保留分母，不能直接去掉分母，否则会改变原式的值。
【难度系数】
0.7
要判断计算过程从哪一步出错，需按照分式加减的运算规则逐步核对每一步：首先明确分式加减的核心要求，异分母分式加减要先通分，保持分母不变仅对分子做运算，且代数式运算不能随意去掉分母（去分母是解方程的步骤，会改变原式的数值）。首先看第一步：将原式中-2和$-\dfrac{4}{2-a}$交换位置，属于加法交换律的合法应用，计算正确。再看第二步：分式加减时未通分保留分母，直接去掉分母计算，违背了代数式的运算规则，这一步就出现了错误。
【解析】
我们逐步验证每一步的正确性：
1. 第一步：$a-\dfrac{4}{2-a}-2 = a-2-\dfrac{4}{2-a}$，利用加法交换律调整运算顺序，等式成立，第一步正确。
2. 第二步：原式属于代数式的加减运算，进行分式加减时需先通分，保持公分母$(2-a)$不变，正确变形应为$\dfrac{(a-2)(2-a)}{2-a}-\dfrac{4}{2-a}$，但题目中第二步直接去掉了分母，相当于给原式乘了$(2-a)$，改变了原式的大小，因此第二步错误。
后续第三步、第四步是基于错误的第二步计算的，因此错误从第二步开始出现。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式的加减运算
2. 通分法则
3. 代数式运算规则
【点评】
本题是分式运算的典型易错题，核心要区分代数式运算和方程运算的差异：解方程可以两边同乘公分母去分母，但分式加减属于代数式运算，只能通分保留分母，不能直接去掉分母，否则会改变原式的值。
【难度系数】
0.7
