5. 化简$(m - \dfrac{1}{n}) ÷ (n - \dfrac{1}{m})$的结果是（）

A.$\dfrac{m}{n}$
B.$\dfrac{m + 2}{n + 2}$
C.$\dfrac{m^2}{n^2}$
D.$\dfrac{m - 2}{n - 2}$

5.A

【分析】
本题是分式混合运算化简题，解题思路如下：首先，我们需要先分别计算两个括号内的异分母分式减法，按照异分母分式加减规则，先通分化为同分母分式再计算；其次，将分式除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；最后，找出分子分母的公因式进行约分，得到最简结果后对应选项即可。
【解析】
解：第一步：计算括号内的分式减法
对$m-\dfrac{1}{n}$通分：$m-\dfrac{1}{n}=\dfrac{m· n}{n}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{mn-1}{n}$
对$n-\dfrac{1}{m}$通分：$n-\dfrac{1}{m}=\dfrac{n· m}{m}-\dfrac{1}{m}=\dfrac{mn-1}{m}$
第二步：将除法转化为乘法
原式$=\dfrac{mn-1}{n}÷\dfrac{mn-1}{m}=\dfrac{mn-1}{n}×\dfrac{m}{mn-1}$
第三步：约分化简
当$mn≠1$时，约去分子分母的公因式$mn-1$，可得结果为$\dfrac{m}{n}$。
【答案】
A
【知识点】
分式的通分；分式除法法则；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式混合运算的顺序和运算规则，解题时需注意先算括号内的运算，再处理乘除，计算过程中要细心，避免通分错误或约分漏项的问题。
【难度系数】
0.8

6.下面是“计算：$(\dfrac{x+y}{2x} - x - y) · \dfrac{1}{x+y}$”的部分解题步骤，则“______”上应填写的算式是（）
$(\dfrac{x+y}{2x} - x - y) · \dfrac{1}{x+y} = \_\_\_\_\_\_ = ······$

A.$\dfrac{x+y}{2x} · \dfrac{1}{x+y} - \dfrac{1}{(x+y)^2}$
B.$\dfrac{x+y}{2x} · \dfrac{1}{x+y} - \dfrac{x-y}{x+y}$
C.$\dfrac{x+y}{2x} · \dfrac{1}{x+y} + \dfrac{x-y}{x+y}$
D.$\dfrac{x+y}{2x} · \dfrac{1}{x+y} - \dfrac{x+y}{x+y}$

6.D

【分析】
本题可利用乘法分配律简化运算，解题思路如下：首先观察算式结构，是括号外的分式乘括号内的多项式，符合乘法分配律的使用形式；先将括号内的后两项添括号合并为整体：$-x-y=-(x+y)$，再将括号外的$\dfrac{1}{x+y}$分别与括号内的两项相乘，相乘时注意不要漏乘、不要弄错符号，即可得到展开后的式子，对应选项选出答案。
【解析】
首先对括号内的式子进行变形：
$\dfrac{x+y}{2x} - x - y = \dfrac{x+y}{2x} - (x+y)$
根据乘法分配律$a·(b-c)=a· b - a· c$，令$a=\dfrac{1}{x+y}$，$b=\dfrac{x+y}{2x}$，$c=x+y$，展开得：
$(\dfrac{x+y}{2x} - (x+y)) · \dfrac{1}{x+y} = \dfrac{x+y}{2x} · \dfrac{1}{x+y} - (x+y) · \dfrac{1}{x+y}$
化简后为：$\dfrac{x+y}{2x} · \dfrac{1}{x+y} - \dfrac{x+y}{x+y}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
乘法分配律，添括号法则，分式乘法运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查乘法分配律在分式运算中的应用，解题的易错点是添括号和展开时符号处理错误，掌握运算律和符号变化规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8

7. 计算：$\dfrac{5}{b} - \dfrac{b}{3} ÷ \dfrac{b^2}{9} =$ .

7.$\dfrac{2}{b}$

【分析】
本题属于分式混合运算题，需遵循“先乘除，后加减”的运算顺序求解。第一步先处理除法运算，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘该分式的倒数，将除法转化为乘法后约分得到结果；第二步再计算同分母分式的减法，即可得到最终结果。
【解析】
按照运算顺序先计算除法部分：
$\dfrac{b}{3} ÷ \dfrac{b^2}{9} = \dfrac{b}{3} × \dfrac{9}{b^2}$
对分子分母约分：9和3约分得3，$b$和$b^2$约去公因式$b$，可得：
$\dfrac{b}{3} × \dfrac{9}{b^2} = \dfrac{3}{b}$
再计算减法部分，两个分式分母相同，分母不变，分子相减：
$\dfrac{5}{b} - \dfrac{3}{b} = \dfrac{5-3}{b} = \dfrac{2}{b}$
【答案】
$\dfrac{2}{b}$
【知识点】
分式混合运算、分式乘除法则、同分母分式加减
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式运算的顺序和基本运算法则，解题时注意牢记先乘除后加减的规则，约分要彻底，避免因运算顺序错误或者约分失误丢分。
【难度系数】
0.8

8.计算：$[\dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{x(x+1)}] · \dfrac{x}{x-1} =$ .

8.$\dfrac{1}{x+1}$

【分析】
本题是分式的混合运算题，解题遵循先算括号内、再算括号外的顺序。首先处理括号内的异分母分式减法，先找到两个分母的最简公分母$x(x+1)$，将异分母分式转化为同分母分式后计算分子的差；再将括号内得到的结果与括号外的分式相乘，通过约分化为最简分式即可得到结果。
【解析】
解：先计算括号内的异分母分式减法：
$\dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{x(x+1)} = \dfrac{x+1}{x(x+1)} - \dfrac{2}{x(x+1)} = \dfrac{(x+1)-2}{x(x+1)} = \dfrac{x-1}{x(x+1)}$
再计算分式乘法：
$\mathrm{原式}=\dfrac{x-1}{x(x+1)} · \dfrac{x}{x-1}$
约去分子分母的公因式$x$和$(x-1)$，得：
$\mathrm{原式}=\dfrac{1}{x+1}$
【答案】
$\dfrac{1}{x+1}$
【知识点】
分式混合运算；异分母分式加减；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是遵循分式运算顺序，准确完成通分、约分步骤，计算时注意分子相减时符号的处理，避免漏项或计算错误。
【难度系数】
0.8

9.计算:$(a+b)÷(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b})=$.

9.$\dfrac{1}{2}ab$

【分析】
这是一道分式混合运算题，我们按照分式运算的顺序思考：第一步先计算括号内的分式加法，先对$\frac{2}{a}$和$\frac{2}{b}$通分，通分后相加化简；第二步将括号外的除法运算转化为乘法运算，即乘以除数的倒数；第三步对得到的式子约分，消去分子分母共有的因式，就能得到最终结果。
【解析】
第一步：计算括号内的分式加法
对$\frac{2}{a}+\frac{2}{b}$通分，最简公分母为$ab$，则：
$\frac{2}{a}+\frac{2}{b}=\frac{2b}{ab}+\frac{2a}{ab}=\frac{2a+2b}{ab}=\frac{2(a+b)}{ab}$
第二步：将除法转化为乘法计算
原式转化为：
$(a+b)÷\frac{2(a+b)}{ab}=(a+b)×\frac{ab}{2(a+b)}$
第三步：约分，约去分子分母共有的公因式$a+b$（题目隐含$a≠0,b≠0,a+b≠0$），可得：
原式$=\frac{ab}{2}=\frac{1}{2}ab$
【答案】
$\dfrac{1}{2}ab$
【知识点】
分式的混合运算、通分、约分
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题时要遵循先算括号内、后算括号外的运算顺序，熟练掌握通分、约分以及分式除法的运算法则是解答本题的关键，整体计算量小，属于基础题型。
【难度系数】
0.85

10. 形如$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}$的式子称为二阶行列式,规定它的运算方法如下:$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$.例如:
$\begin{vmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{vmatrix}=1×4 - 2×3=-2$.化简:$\begin{vmatrix} a+1&-a^2\\ \dfrac{1}{1-a}&1 \end{vmatrix}=$ ______ .

10.$-\dfrac{1}{a-1}$

【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的二阶行列式运算规则：$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$，第一步先找到所求行列式中对应a、b、c、d的代数式，代入运算规则列出算式；第二步按照分式的运算规则对列出的算式进行化简，计算时注意符号处理，最后将结果化为最简分式即可。
【解析】
根据二阶行列式的运算规则可得：
$\begin{vmatrix} a+1&-a^2\\ \dfrac{1}{1-a}&1 \end{vmatrix}=(a+1)×1 - (-a^2)×\dfrac{1}{1-a}$
先整理算式：
$=a+1 + \dfrac{a^2}{1-a}$
对前两项通分，分母为$1-a$：
$=\dfrac{(a+1)(1-a)}{1-a} + \dfrac{a^2}{1-a}$
利用平方差公式计算分子第一项：
$=\dfrac{1-a^2}{1-a} + \dfrac{a^2}{1-a}$
合并分子：
$=\dfrac{1-a^2+a^2}{1-a}=\dfrac{1}{1-a}$
变形得到最简结果：
$=-\dfrac{1}{a-1}$
【答案】
$-\dfrac{1}{a-1}$
【知识点】
新定义运算，分式化简，平方差公式
【点评】
本题将新定义运算与分式化简结合考查，解题关键是正确理解新定义的运算规则，再按照整式、分式的运算规则逐步计算，计算过程中要注意符号的变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7

11. 计算：
(1)$\frac{ab^2}{2cd}+\frac{-3ax}{4cd}$；
(2)$\frac{3x}{x-y}-\frac{5-3x}{y-x}$；
(3)$(\frac{1}{a^2-b^2}-\frac{1}{a+b})÷\frac{b}{b-a}$；
(4)$(\frac{y}{y-1}-1)÷\frac{y}{y^2-1}$。

11.解:(1)$\frac{ab^2}{2cd}+\frac{-3ax}{4cd}=\frac{2ab^2}{4cd}+\frac{-3ax}{4cd}=\frac{2ab^2-3ax}{4cd}$.
(2)$\frac{3x}{x-y}-\frac{5-3x}{y-x}=\frac{3x}{x-y}+\frac{5-3x}{x-y}=\frac{5}{x-y}$.
(3)$(\frac{1}{a^2-b^2}-\frac{1}{a+b})÷\frac{b}{b-a}=\frac{1}{(a+b)(a-b)}×\frac{-(a-b)}{b}-\frac{1}{a+b}×\frac{-(a-b)}{b}=-\frac{1}{b(a+b)}+\frac{a-b}{b(a+b)}=\frac{a-b-1}{b(a+b)}$.
(4)$(\frac{y}{y-1}-1)÷\frac{y}{y^2-1}=\frac{y-(y-1)}{y-1}·\frac{y^2-1}{y}=\frac{1}{y-1}·\frac{(y-1)(y+1)}{y}=\frac{y+1}{y}$.

【分析】
这四道题均属于分式的四则运算题，解题思路如下：①同分母分式加减：遵循分母不变、分子相加减的规则，最后注意化简；②异分母分式加减：先找到最简公分母通分，转化为同分母分式后再计算，若分母互为相反数，可先改变分子或分式符号统一分母；③分式混合运算：先计算括号内的运算，再将除法转化为乘以除数的倒数，遇到多项式优先因式分解，方便后续约分简化计算。
【解析】
(1) 两个分式的最简公分母为4cd，先将第一个分式通分：
$\frac{ab^2}{2cd}+\frac{-3ax}{4cd}=\frac{2ab^2}{4cd}+\frac{-3ax}{4cd}$
同分母分式相加，分母不变，分子合并得：
$\frac{2ab^2-3ax}{4cd}$
(2) 分母$y-x=-(x-y)$，先统一分母为$x-y$，同时将第二个分式前的减号改为加号：
$\frac{3x}{x-y}-\frac{5-3x}{y-x}=\frac{3x}{x-y}+\frac{5-3x}{x-y}$
分子合并得$3x+5-3x=5$，因此结果为：
$\frac{5}{x-y}$
(3) 先利用平方差公式因式分解$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，再将除法转化为乘法，即乘以$\frac{b-a}{b}=\frac{-(a-b)}{b}$，利用乘法分配律展开：
$(\frac{1}{a^2-b^2}-\frac{1}{a+b})÷\frac{b}{b-a}=\frac{1}{(a+b)(a-b)}×\frac{-(a-b)}{b}-\frac{1}{a+b}×\frac{-(a-b)}{b}$
分别约分计算得：
$=-\frac{1}{b(a+b)}+\frac{a-b}{b(a+b)}$
同分母分式相加，分子合并得：
$\frac{a-b-1}{b(a+b)}$
(4) 先计算括号内的减法，将1转化为$\frac{y-1}{y-1}$：
$\frac{y}{y-1}-1=\frac{y-(y-1)}{y-1}=\frac{1}{y-1}$
再将除法转化为乘法，同时因式分解$y^2-1=(y+1)(y-1)$：
$\frac{1}{y-1}·\frac{(y-1)(y+1)}{y}$
约分得：
$\frac{y+1}{y}$
【答案】
(1)$\frac{2ab^2-3ax}{4cd}$；(2)$\frac{5}{x-y}$；(3)$\frac{a-b-1}{b(a+b)}$；(4)$\frac{y+1}{y}$
【知识点】
分式的加减运算、分式的乘除运算、平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规训练题，覆盖了分式加减、乘除及混合运算的核心考点，解题时需注意符号变化、通分约分规则、因式分解的应用，熟练掌握这些要点能有效避免运算错误。
【难度系数】
0.7