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12. 先化简,再求值:$(\dfrac{2x+5}{x-1}-\dfrac{3}{x-1})÷\dfrac{x+1}{x^2-2x+1}$,其中$x=5$.
答案
12.解:$(\frac{2x+5}{x-1}-\frac{3}{x-1})÷\frac{x+1}{x^2-2x+1}=\frac{2x+2}{x-1}÷\frac{x+1}{x^2-2x+1}=\frac{2(x+1)}{x-1}·\frac{(x-1)^2}{x+1}=2(x-1)=2x-2$,
当$x=5$时,原式$=2×5-2=8$.
当$x=5$时,原式$=2×5-2=8$.
解析
【分析】
拿到这道分式化简求值题，我们按运算顺序逐步思考：第一步先处理括号内的运算，括号中两个分式分母相同，可直接将分子相减、分母不变；第二步处理除法运算，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，同时对式子中的多项式进行因式分解：2x+2提取公因式2可得2(x+1)，x²-2x+1是完全平方式，可分解为(x-1)²；第三步约去分子分母的公因式，得到最简整式；最后把x=5代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：$(\dfrac{2x+5}{x-1}-\dfrac{3}{x-1})÷\dfrac{x+1}{x^2-2x+1}$
$=\dfrac{2x+5-3}{x-1}÷\dfrac{x+1}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{2x+2}{x-1}·\dfrac{(x-1)^2}{x+1}$
$=\dfrac{2(x+1)}{x-1}·\dfrac{(x-1)^2}{x+1}$
$=2(x-1)$
$=2x-2$
当$x=5$时，
原式$=2×5-2=8$
【答案】
8
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题，核心考查分式加减乘除运算法则的掌握程度，以及因式分解的应用熟练度，计算时注意确认公因式不为0再约分，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
拿到这道分式化简求值题，我们按运算顺序逐步思考：第一步先处理括号内的运算，括号中两个分式分母相同，可直接将分子相减、分母不变；第二步处理除法运算，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，同时对式子中的多项式进行因式分解：2x+2提取公因式2可得2(x+1)，x²-2x+1是完全平方式，可分解为(x-1)²；第三步约去分子分母的公因式，得到最简整式；最后把x=5代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：$(\dfrac{2x+5}{x-1}-\dfrac{3}{x-1})÷\dfrac{x+1}{x^2-2x+1}$
$=\dfrac{2x+5-3}{x-1}÷\dfrac{x+1}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{2x+2}{x-1}·\dfrac{(x-1)^2}{x+1}$
$=\dfrac{2(x+1)}{x-1}·\dfrac{(x-1)^2}{x+1}$
$=2(x-1)$
$=2x-2$
当$x=5$时，
原式$=2×5-2=8$
【答案】
8
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题，核心考查分式加减乘除运算法则的掌握程度，以及因式分解的应用熟练度，计算时注意确认公因式不为0再约分，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
13. 先化简：$(a + 1 - \dfrac{3}{a - 1}) · \dfrac{2a - 2}{a + 2}$，然后从$-2,0,1$中选择一个合适的值代入求值。
答案
13.解:$(a + 1 - \frac{3}{a - 1}) · \frac{2a - 2}{a + 2} = \frac{(a + 1)(a - 1) - 3}{a - 1} · \frac{2a - 2}{a + 2} = \frac{a^2 - 1 - 3}{a - 1} · \frac{2a - 2}{a + 2} = \frac{a^2 - 4}{a - 1} · \frac{2a - 2}{a + 2} = \frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 1} · \frac{2(a - 1)}{a + 2} = 2a - 4$.
当$a=-2$或$a=1$时,分式无意义,
$\therefore$取$a=0$,原式$=-4$.
当$a=-2$或$a=1$时,分式无意义,
$\therefore$取$a=0$,原式$=-4$.
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简分式，第二步选取合适的数值代入计算。化简时先处理括号内的运算：括号内是整式减分式，先将整式$a+1$通分，转化为分母为$a-1$的分式，再按同分母分式减法法则计算分子；接着计算分式乘法，先对分子、分母中能因式分解的部分因式分解（$a^2-4$用平方差公式分解，$2a-2$提取公因式2），再约分得到最简结果。选值时要注意分式有意义的条件：所有分母不能为0，先排除使分母为0的$a$的取值，再选剩下的合适数值代入计算即可。
【解析】
先化简式子：
$\begin{aligned}&(a + 1 - \dfrac{3}{a - 1}) · \dfrac{2a - 2}{a + 2}\\=&\frac{(a + 1)(a - 1) - 3}{a - 1} · \frac{2a - 2}{a + 2}\\=&\frac{a^2 - 1 - 3}{a - 1} · \frac{2a - 2}{a + 2}\\=&\frac{a^2 - 4}{a - 1} · \frac{2a - 2}{a + 2}\\=&\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 1} · \frac{2(a - 1)}{a + 2}\\=&2a-4\end{aligned}$
要使分式有意义，则分母不能为0，即$a-1≠0$，$a+2≠0$，解得$a≠1$且$a≠-2$，因此只能选取$a=0$代入：
将$a=0$代入$2a-4$得，原式$=2×0 -4=-4$。
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常考题型，需要注意先化简再代入求值，选取代入的数值时必须保证原式中所有分式的分母都不为0，不能直接任选题目给出的数值，避免出现分式无意义的错误。
【难度系数】
0.7
本题属于分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简分式，第二步选取合适的数值代入计算。化简时先处理括号内的运算：括号内是整式减分式，先将整式$a+1$通分，转化为分母为$a-1$的分式，再按同分母分式减法法则计算分子；接着计算分式乘法，先对分子、分母中能因式分解的部分因式分解（$a^2-4$用平方差公式分解，$2a-2$提取公因式2），再约分得到最简结果。选值时要注意分式有意义的条件：所有分母不能为0，先排除使分母为0的$a$的取值，再选剩下的合适数值代入计算即可。
【解析】
先化简式子：
$\begin{aligned}&(a + 1 - \dfrac{3}{a - 1}) · \dfrac{2a - 2}{a + 2}\\=&\frac{(a + 1)(a - 1) - 3}{a - 1} · \frac{2a - 2}{a + 2}\\=&\frac{a^2 - 1 - 3}{a - 1} · \frac{2a - 2}{a + 2}\\=&\frac{a^2 - 4}{a - 1} · \frac{2a - 2}{a + 2}\\=&\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 1} · \frac{2(a - 1)}{a + 2}\\=&2a-4\end{aligned}$
要使分式有意义，则分母不能为0，即$a-1≠0$，$a+2≠0$，解得$a≠1$且$a≠-2$，因此只能选取$a=0$代入：
将$a=0$代入$2a-4$得，原式$=2×0 -4=-4$。
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常考题型，需要注意先化简再代入求值，选取代入的数值时必须保证原式中所有分式的分母都不为0，不能直接任选题目给出的数值，避免出现分式无意义的错误。
【难度系数】
0.7
14. 已知$x+y=4$，$x-y=1$，则式子$(x-y+\dfrac{4xy}{x-y})(x+y-\dfrac{4xy}{x+y})$的值是（
A.$12$
B.$8$
C.$4$
D.$3$
C
）A.$12$
B.$8$
C.$4$
D.$3$
答案
14.C
解析
【分析】
题目已知x+y和x-y的整体取值，解题时优先考虑化简所求代数式，无需先计算x、y的具体值。首先对两个括号内的分式分别通分，再利用完全平方公式化简分子，之后将两个化简后的分式相乘并约分，即可得到仅含x+y、x-y的最简式子，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
先对原式进行化简：
1. 化简第一个因式：
$\begin{aligned}x-y+\dfrac{4xy}{x-y}&=\dfrac{(x-y)^2+4xy}{x-y}\\&=\dfrac{x^2-2xy+y^2+4xy}{x-y}\\&=\dfrac{x^2+2xy+y^2}{x-y}\\&=\dfrac{(x+y)^2}{x-y}\end{aligned}$
2. 化简第二个因式：
$\begin{aligned}x+y-\dfrac{4xy}{x+y}&=\dfrac{(x+y)^2-4xy}{x+y}\\&=\dfrac{x^2+2xy+y^2-4xy}{x+y}\\&=\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x+y}\\&=\dfrac{(x-y)^2}{x+y}\end{aligned}$
3. 计算两式的乘积：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{(x+y)^2}{x-y} × \dfrac{(x-y)^2}{x+y}\\&=(x+y)(x-y)\end{aligned}$
4. 代入$x+y=4$，$x-y=1$计算：
$\mathrm{原式}=4×1=4$
【答案】
C
【知识点】
分式的混合运算，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题属于代数式化简求值类题型，优先化简再代入整体值的解题思路可以大幅减少计算量，解题过程中需要熟练掌握通分规则和完全平方公式的变形应用，避免直接求解x、y造成的计算失误。
【难度系数】
0.7
题目已知x+y和x-y的整体取值，解题时优先考虑化简所求代数式，无需先计算x、y的具体值。首先对两个括号内的分式分别通分，再利用完全平方公式化简分子，之后将两个化简后的分式相乘并约分，即可得到仅含x+y、x-y的最简式子，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
先对原式进行化简：
1. 化简第一个因式：
$\begin{aligned}x-y+\dfrac{4xy}{x-y}&=\dfrac{(x-y)^2+4xy}{x-y}\\&=\dfrac{x^2-2xy+y^2+4xy}{x-y}\\&=\dfrac{x^2+2xy+y^2}{x-y}\\&=\dfrac{(x+y)^2}{x-y}\end{aligned}$
2. 化简第二个因式：
$\begin{aligned}x+y-\dfrac{4xy}{x+y}&=\dfrac{(x+y)^2-4xy}{x+y}\\&=\dfrac{x^2+2xy+y^2-4xy}{x+y}\\&=\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x+y}\\&=\dfrac{(x-y)^2}{x+y}\end{aligned}$
3. 计算两式的乘积：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{(x+y)^2}{x-y} × \dfrac{(x-y)^2}{x+y}\\&=(x+y)(x-y)\end{aligned}$
4. 代入$x+y=4$，$x-y=1$计算：
$\mathrm{原式}=4×1=4$
【答案】
C
【知识点】
分式的混合运算，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题属于代数式化简求值类题型，优先化简再代入整体值的解题思路可以大幅减少计算量，解题过程中需要熟练掌握通分规则和完全平方公式的变形应用，避免直接求解x、y造成的计算失误。
【难度系数】
0.7
15.A 地在河的上游，B 地在河的下游，若船从 A 地开往 B 地的速度为 $ a \ \mathrm{km/h} $，从 B 地返回 A 地的速度为 $ b \ \mathrm{km/h} $，则在 A，B 两地间往返一次的平均速度为 $\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{km/h}$（用含 $ a $，$ b $ 的式子表示）。
答案
15.$\dfrac{2ab}{a+b}$
解析
【分析】
计算往返的平均速度，核心要牢记平均速度的计算公式：平均速度=总路程÷总时间，不能直接求两个速度的算术平均数。我们可以先设A、B两地的路程为参数$s$，分别求出顺流、逆流的行驶时间，相加得到总时间，再用往返总路程除以总时间，最后化简消去参数$s$就能得到结果。
【解析】
设A、B两地之间的路程为$ s \ \mathrm{km} $。
1. 计算往返总时间：
从A到B的行驶时间：$ t_1 = \frac{s}{a} \ \mathrm{h} $
从B到A的行驶时间：$ t_2 = \frac{s}{b} \ \mathrm{h} $
往返总时间：$ t = t_1 + t_2 = \frac{s}{a} + \frac{s}{b} $
2. 计算往返总路程：往返一次的总路程为$ 2s \ \mathrm{km} $
3. 代入平均速度公式化简：
$\begin{aligned}v&=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}=\frac{2s}{\frac{s}{a}+\frac{s}{b}}\\&=\frac{2s}{\frac{sb+sa}{ab}}\\&=2s×\frac{ab}{s(a+b)}\\&=\frac{2ab}{a+b}\end{aligned}$
（$s≠0$，可约去）
【答案】
$\dfrac{2ab}{a+b}$
【知识点】
平均速度计算、分式运算、行程问题公式
【点评】
本题是行程问题的常考基础题型，易错点是误将两个速度的算术平均数当作平均速度，解题时只要抓住平均速度的定义，通过设路程为参数消参即可求解，方法通用性较强。
【难度系数】
0.6
计算往返的平均速度，核心要牢记平均速度的计算公式：平均速度=总路程÷总时间，不能直接求两个速度的算术平均数。我们可以先设A、B两地的路程为参数$s$，分别求出顺流、逆流的行驶时间，相加得到总时间，再用往返总路程除以总时间，最后化简消去参数$s$就能得到结果。
【解析】
设A、B两地之间的路程为$ s \ \mathrm{km} $。
1. 计算往返总时间：
从A到B的行驶时间：$ t_1 = \frac{s}{a} \ \mathrm{h} $
从B到A的行驶时间：$ t_2 = \frac{s}{b} \ \mathrm{h} $
往返总时间：$ t = t_1 + t_2 = \frac{s}{a} + \frac{s}{b} $
2. 计算往返总路程：往返一次的总路程为$ 2s \ \mathrm{km} $
3. 代入平均速度公式化简：
$\begin{aligned}v&=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}=\frac{2s}{\frac{s}{a}+\frac{s}{b}}\\&=\frac{2s}{\frac{sb+sa}{ab}}\\&=2s×\frac{ab}{s(a+b)}\\&=\frac{2ab}{a+b}\end{aligned}$
（$s≠0$，可约去）
【答案】
$\dfrac{2ab}{a+b}$
【知识点】
平均速度计算、分式运算、行程问题公式
【点评】
本题是行程问题的常考基础题型，易错点是误将两个速度的算术平均数当作平均速度，解题时只要抓住平均速度的定义，通过设路程为参数消参即可求解，方法通用性较强。
【难度系数】
0.6
16.已知$a＞0,S_{1}=\frac{1}{a},S_{2}=-S_{1}-1,S_{3}=\frac{1}{S_{2}},S_{4}=-S_{3}-1,S_{5}=\frac{1}{S_{4}},···$.当$n$为大于1的奇数时,$S_{n}=\frac{1}{S_{n-1}}$;当$n$为大于1的偶数时,$S_{n}=-S_{n-1}-1$.
(1)$S_{3}=$
(2)$S_{2\ 024}=$
(1)$S_{3}=$
$-\dfrac{a}{a+1}$
;(用含$a$的代数式表示)(2)$S_{2\ 024}=$
$-\dfrac{a+1}{a}$
.(用含$a$的代数式表示)答案
16.(1)$-\dfrac{a}{a+1}$ (2)$-\dfrac{a+1}{a}$
解析
【分析】
解决第一问时，直接按照题目给出的递推规则，先计算$S_2$，再根据奇数项的递推规则计算$S_3$即可。解决第二问时，先继续计算后续的$S_4、S_5、S_6、S_7……$，观察计算结果找到循环周期，再用2024除以周期得到余数，根据余数确定$S_{2024}$对应周期内的项即可求出结果。
【解析】
(1) 已知$S_1=\frac{1}{a}$，n为大于1的偶数时$S_n=-S_{n-1}-1$，n=2是偶数，因此：
$S_2=-S_1-1=-\frac{1}{a}-1=-\frac{a+1}{a}$
n为大于1的奇数时$S_n=\frac{1}{S_{n-1}}$，n=3是奇数，因此：
$S_3=\frac{1}{S_2}=\frac{1}{-\frac{a+1}{a}}=-\frac{a}{a+1}$
(2) 继续按递推规则计算：
$S_4=-S_3-1=-(-\frac{a}{a+1})-1=-\frac{1}{a+1}$
$S_5=\frac{1}{S_4}=-(a+1)$
$S_6=-S_5-1=a$
$S_7=\frac{1}{S_6}=\frac{1}{a}=S_1$
可知数列每6项为一个周期循环，循环顺序为$S_1、S_2、S_3、S_4、S_5、S_6$。
计算$2024÷6=337······2$，余数为2，即$S_{2024}=S_2=-\frac{a+1}{a}$。
【答案】
(1)$-\dfrac{a}{a+1}$；(2)$-\dfrac{a+1}{a}$
【知识点】
1. 代数式求值 2. 数字规律探究 3. 周期问题
【点评】
本题核心是按照给定规则逐步递推，解题的关键是通过计算前几项找到数列的循环周期，再利用周期简化大数序号的求值计算，计算过程中注意符号运算即可。
【难度系数】
0.7
解决第一问时，直接按照题目给出的递推规则，先计算$S_2$，再根据奇数项的递推规则计算$S_3$即可。解决第二问时，先继续计算后续的$S_4、S_5、S_6、S_7……$，观察计算结果找到循环周期，再用2024除以周期得到余数，根据余数确定$S_{2024}$对应周期内的项即可求出结果。
【解析】
(1) 已知$S_1=\frac{1}{a}$，n为大于1的偶数时$S_n=-S_{n-1}-1$，n=2是偶数，因此：
$S_2=-S_1-1=-\frac{1}{a}-1=-\frac{a+1}{a}$
n为大于1的奇数时$S_n=\frac{1}{S_{n-1}}$，n=3是奇数，因此：
$S_3=\frac{1}{S_2}=\frac{1}{-\frac{a+1}{a}}=-\frac{a}{a+1}$
(2) 继续按递推规则计算：
$S_4=-S_3-1=-(-\frac{a}{a+1})-1=-\frac{1}{a+1}$
$S_5=\frac{1}{S_4}=-(a+1)$
$S_6=-S_5-1=a$
$S_7=\frac{1}{S_6}=\frac{1}{a}=S_1$
可知数列每6项为一个周期循环，循环顺序为$S_1、S_2、S_3、S_4、S_5、S_6$。
计算$2024÷6=337······2$，余数为2，即$S_{2024}=S_2=-\frac{a+1}{a}$。
【答案】
(1)$-\dfrac{a}{a+1}$；(2)$-\dfrac{a+1}{a}$
【知识点】
1. 代数式求值 2. 数字规律探究 3. 周期问题
【点评】
本题核心是按照给定规则逐步递推，解题的关键是通过计算前几项找到数列的循环周期，再利用周期简化大数序号的求值计算，计算过程中注意符号运算即可。
【难度系数】
0.7
17.计算:$a(a-1)+(\dfrac{3}{a-2}+1)÷\dfrac{a+1}{a^2-4}.$
答案
17.解:原式$=a^2 - a + \frac{3 + a - 2}{a - 2} · \frac{a^2 - 4}{a + 1}$
$=a^2 - a + \frac{a + 1}{a - 2} · \frac{(a + 2)(a - 2)}{a + 1}$
$=a^2 - a + a + 2$
$=a^2 + 2$.
$=a^2 - a + \frac{a + 1}{a - 2} · \frac{(a + 2)(a - 2)}{a + 1}$
$=a^2 - a + a + 2$
$=a^2 + 2$.
解析
【分析】
本题是整式与分式的混合运算，遵循“先乘除后加减，有括号先算括号内”的运算顺序解题：第一步先计算单项式乘多项式的整式部分；第二步处理分式部分，先通分计算括号内的分式加法，再将除法转化为乘法，同时利用平方差公式对$a^2-4$因式分解，再约分简化分式；最后合并两部分的同类项即可得到结果。
【解析】
原式先计算单项式乘多项式，同时对括号内分式通分：
$=a^2 - a + \frac{3 + a - 2}{a - 2} ÷ \frac{a+1}{a^2-4}$
将除法转化为乘法，对$a^2-4$因式分解：
$=a^2 - a + \frac{a + 1}{a - 2} · \frac{(a + 2)(a - 2)}{a + 1}$
约分化简分式部分：
$=a^2 - a + a + 2$
合并同类项：
$=a^2 + 2$
【答案】
$a^2 + 2$
【知识点】
整式乘法，分式混合运算，平方差公式
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考察运算规则的熟练应用，解题时要注意分式通分、除法转乘法的变形规范，合理利用因式分解可简化分式约分步骤，计算时需注意符号，避免同类项合并出错。
【难度系数】
0.7
本题是整式与分式的混合运算，遵循“先乘除后加减，有括号先算括号内”的运算顺序解题：第一步先计算单项式乘多项式的整式部分；第二步处理分式部分，先通分计算括号内的分式加法，再将除法转化为乘法，同时利用平方差公式对$a^2-4$因式分解，再约分简化分式；最后合并两部分的同类项即可得到结果。
【解析】
原式先计算单项式乘多项式，同时对括号内分式通分：
$=a^2 - a + \frac{3 + a - 2}{a - 2} ÷ \frac{a+1}{a^2-4}$
将除法转化为乘法，对$a^2-4$因式分解：
$=a^2 - a + \frac{a + 1}{a - 2} · \frac{(a + 2)(a - 2)}{a + 1}$
约分化简分式部分：
$=a^2 - a + a + 2$
合并同类项：
$=a^2 + 2$
【答案】
$a^2 + 2$
【知识点】
整式乘法，分式混合运算，平方差公式
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考察运算规则的熟练应用，解题时要注意分式通分、除法转乘法的变形规范，合理利用因式分解可简化分式约分步骤，计算时需注意符号，避免同类项合并出错。
【难度系数】
0.7
