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18. 小颖和小红在化简$(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x-2})·\dfrac{x^2-4}{x^2}$的过程中，分别给出如下的部分运算过程.
小颖: 原式$=[\dfrac{x-2}{(x+2)(x-2)}+\dfrac{x+2}{(x+2)(x-2)}]·\dfrac{x^2-4}{x^2}······$
小红: 原式$=\dfrac{1}{x+2}·\dfrac{x^2-4}{x^2}+\dfrac{1}{x-2}·\dfrac{x^2-4}{x^2}······$
(1)小颖解法的依据是(
A. 分式的基本性质 B. 等式的基本性质 C. 乘法结合律 D. 乘法分配律
(2)请你选择一种解法,写出完整的解答过程,并从“$-2,1,2$”中选一个合适的数作为$x$的值代入求值.
小颖: 原式$=[\dfrac{x-2}{(x+2)(x-2)}+\dfrac{x+2}{(x+2)(x-2)}]·\dfrac{x^2-4}{x^2}······$
小红: 原式$=\dfrac{1}{x+2}·\dfrac{x^2-4}{x^2}+\dfrac{1}{x-2}·\dfrac{x^2-4}{x^2}······$
(1)小颖解法的依据是(
A
),小红解法的依据是(D
).A. 分式的基本性质 B. 等式的基本性质 C. 乘法结合律 D. 乘法分配律
(2)请你选择一种解法,写出完整的解答过程,并从“$-2,1,2$”中选一个合适的数作为$x$的值代入求值.
答案
18.解:(1)观察小颖的解法,依据是分式的基本性质;小红的解法,依据是乘法分配律.
故答案为 A,D.
(2)(答案不唯一)选择小红的解法,
原式$=\frac{1}{x+2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x^2} + \frac{1}{x-2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x^2} = \frac{x-2}{x^2} + \frac{x+2}{x^2} = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$.
当$x$为$2,-2$时,原式无意义,$\therefore x=1$.
当$x=1$时,原式$=\frac{2}{1}=2$.
故答案为 A,D.
(2)(答案不唯一)选择小红的解法,
原式$=\frac{1}{x+2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x^2} + \frac{1}{x-2} · \frac{(x+2)(x-2)}{x^2} = \frac{x-2}{x^2} + \frac{x+2}{x^2} = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$.
当$x$为$2,-2$时,原式无意义,$\therefore x=1$.
当$x=1$时,原式$=\frac{2}{1}=2$.
解析
【分析】
第(1)问：小颖的运算步骤是对异分母分式通分，通分的本质是给分式的分子分母同乘相同的非零整式，对应分式的基本性质；小红的运算步骤是将括号外的因式分别乘括号内的两个加数再相加，符合乘法分配律的形式。第(2)问：化简分式时可任选其中一种方法，运算过程中先对多项式因式分解方便约分，最后要先判断x的取值：需保证所有分母不为0，排除使原式无意义的x值后，再代入剩余合适的数计算结果。
【解析】
(1) 小颖对分式通分的依据是分式的基本性质，选A；小红的运算符合乘法分配律的特征，选D。
(2) 选择小红的解法解答：
首先对$x^2-4$因式分解，得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，代入原式：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{1}{x+2}·\dfrac{(x+2)(x-2)}{x^2} + \dfrac{1}{x-2}·\dfrac{(x+2)(x-2)}{x^2}\\&=\dfrac{x-2}{x^2} + \dfrac{x+2}{x^2}\\&=\dfrac{(x-2)+(x+2)}{x^2}\\&=\dfrac{2x}{x^2}\\&=\dfrac{2}{x}\end{aligned}$
要使原式有意义，需满足$x+2≠0$，$x-2≠0$，$x^2≠0$，即$x≠-2,2,0$，因此给定的数中只能选$x=1$。
将$x=1$代入$\dfrac{2}{x}$，得原式$=\dfrac{2}{1}=2$。
【答案】
(1) A；D
(2) 化简结果为$\dfrac{2}{x}$，选$x=1$代入，值为2
【知识点】
分式的基本性质，乘法分配律，分式化简求值
【点评】
本题考查分式化简的常用方法，既可以先通分再计算，也可以利用乘法分配律简化运算，解题核心是要先确定x的取值范围，避免代入使分母为0的数值导致错误。
【难度系数】
0.75
第(1)问：小颖的运算步骤是对异分母分式通分，通分的本质是给分式的分子分母同乘相同的非零整式，对应分式的基本性质；小红的运算步骤是将括号外的因式分别乘括号内的两个加数再相加，符合乘法分配律的形式。第(2)问：化简分式时可任选其中一种方法，运算过程中先对多项式因式分解方便约分，最后要先判断x的取值：需保证所有分母不为0，排除使原式无意义的x值后，再代入剩余合适的数计算结果。
【解析】
(1) 小颖对分式通分的依据是分式的基本性质，选A；小红的运算符合乘法分配律的特征，选D。
(2) 选择小红的解法解答：
首先对$x^2-4$因式分解，得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，代入原式：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{1}{x+2}·\dfrac{(x+2)(x-2)}{x^2} + \dfrac{1}{x-2}·\dfrac{(x+2)(x-2)}{x^2}\\&=\dfrac{x-2}{x^2} + \dfrac{x+2}{x^2}\\&=\dfrac{(x-2)+(x+2)}{x^2}\\&=\dfrac{2x}{x^2}\\&=\dfrac{2}{x}\end{aligned}$
要使原式有意义，需满足$x+2≠0$，$x-2≠0$，$x^2≠0$，即$x≠-2,2,0$，因此给定的数中只能选$x=1$。
将$x=1$代入$\dfrac{2}{x}$，得原式$=\dfrac{2}{1}=2$。
【答案】
(1) A；D
(2) 化简结果为$\dfrac{2}{x}$，选$x=1$代入，值为2
【知识点】
分式的基本性质，乘法分配律，分式化简求值
【点评】
本题考查分式化简的常用方法，既可以先通分再计算，也可以利用乘法分配律简化运算，解题核心是要先确定x的取值范围，避免代入使分母为0的数值导致错误。
【难度系数】
0.75
19. [新定义]我们定义，如果两个分式$A$与$B$的差为常数，且这个常数为正数，那么称$A$是$B$的“雅中式”，这个常数称为$A$关于$B$的“雅中值”.
例如：分式$A=\dfrac{2x}{x+1}$，$B=\dfrac{-2}{x+1}$，$A-B=\dfrac{2x}{x+1}-\dfrac{-2}{x+1}=\dfrac{2x+2}{x+1}=\dfrac{2(x+1)}{x+1}=2$，则$A$是$B$的“雅中式”，$A$关于$B$的“雅中值”为$2$.
(1)已知分式$C=\dfrac{1}{x+2}$，$D=\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}$，判断$C$是否为$D$的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请求出$C$关于$D$的“雅中值”.
(2)已知分式$P=\dfrac{E}{9-x^2}$，$Q=\dfrac{2x}{3-x}$，$P$是$Q$的“雅中式”，且$P$关于$Q$的“雅中值”是$2$，请求出$E$所代表的代数式.
例如：分式$A=\dfrac{2x}{x+1}$，$B=\dfrac{-2}{x+1}$，$A-B=\dfrac{2x}{x+1}-\dfrac{-2}{x+1}=\dfrac{2x+2}{x+1}=\dfrac{2(x+1)}{x+1}=2$，则$A$是$B$的“雅中式”，$A$关于$B$的“雅中值”为$2$.
(1)已知分式$C=\dfrac{1}{x+2}$，$D=\dfrac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}$，判断$C$是否为$D$的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请求出$C$关于$D$的“雅中值”.
(2)已知分式$P=\dfrac{E}{9-x^2}$，$Q=\dfrac{2x}{3-x}$，$P$是$Q$的“雅中式”，且$P$关于$Q$的“雅中值”是$2$，请求出$E$所代表的代数式.
答案
19.解:(1)不是. 理由如下:
$\because C=\frac{1}{x+2},D=\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}$,
$\therefore C-D=\frac{1}{x+2}-\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}=\frac{x+2}{(x+2)^2}-\frac{x^2+5x+6}{(x+2)^2}=\frac{-x^2-4x-4}{(x+2)^2}=\frac{-(x+2)^2}{(x+2)^2}=-1＜0$,
$\therefore C$不是$D$的“雅中式”.
(2)$\because$分式$P=\frac{E}{9-x^2},Q=\frac{2x}{3-x}$,$P$是$Q$的“雅中式”,且$P$关于$Q$的“雅中值”是$2$,
$\therefore E=(2+\frac{2x}{3-x}) · (9-x^2)$
$=(\frac{6-2x}{3-x}+\frac{2x}{3-x}) · (3+x)(3-x)$
$=\frac{6}{3-x} · (3+x)(3-x)$
$=6(3+x)$
$=18+6x$.
$\because C=\frac{1}{x+2},D=\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}$,
$\therefore C-D=\frac{1}{x+2}-\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}=\frac{x+2}{(x+2)^2}-\frac{x^2+5x+6}{(x+2)^2}=\frac{-x^2-4x-4}{(x+2)^2}=\frac{-(x+2)^2}{(x+2)^2}=-1＜0$,
$\therefore C$不是$D$的“雅中式”.
(2)$\because$分式$P=\frac{E}{9-x^2},Q=\frac{2x}{3-x}$,$P$是$Q$的“雅中式”,且$P$关于$Q$的“雅中值”是$2$,
$\therefore E=(2+\frac{2x}{3-x}) · (9-x^2)$
$=(\frac{6-2x}{3-x}+\frac{2x}{3-x}) · (3+x)(3-x)$
$=\frac{6}{3-x} · (3+x)(3-x)$
$=6(3+x)$
$=18+6x$.
解析
【分析】
这是一道结合新定义的分式运算题，解题核心是紧扣“雅中式”的定义：两个分式的差为正数常数时，前者是后者的“雅中式”。
(1) 第一问解题思路：先对D的分子、分母因式分解，再计算C-D的结果，判断结果是否为正数常数，即可得出结论。
(2) 第二问解题思路：根据定义可知P-Q=2，将P、Q的表达式代入等式，通过移项、通分、因式分解、约分等分式运算，化简求出E的代数式即可，运算时注意分母不为0的隐含条件。
【解析】
(1) C不是D的“雅中式”，理由如下：
$\because C=\frac{1}{x+2},D=\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}$,
$\therefore C-D=\frac{1}{x+2}-\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}=\frac{x+2}{(x+2)^2}-\frac{x^2+5x+6}{(x+2)^2}=\frac{-x^2-4x-4}{(x+2)^2}=\frac{-(x+2)^2}{(x+2)^2}=-1＜0$,
所得差为负数，不符合“雅中式”要求，因此C不是D的“雅中式”。
(2) $\because$ P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，
$\therefore P-Q=2$，即$\frac{E}{9-x^2}-\frac{2x}{3-x}=2$，
变形得：
$E=(2+\frac{2x}{3-x}) · (9-x^2)$
$=(\frac{6-2x}{3-x}+\frac{2x}{3-x}) · (3+x)(3-x)$
$=\frac{6}{3-x} · (3+x)(3-x)$
$=6(3+x)$
$=18+6x$
【答案】
(1) C不是D的“雅中式”，理由见解析；
(2) $E=6x+18$
【知识点】
新定义运算，分式混合运算，因式分解
【点评】
本题侧重考查新定义理解能力和分式运算基本功，解题关键是抓住定义中“差为正数常数”的核心条件，结合分式运算规则逐步推导，运算时需注意细心通分、约分，避免符号或计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道结合新定义的分式运算题，解题核心是紧扣“雅中式”的定义：两个分式的差为正数常数时，前者是后者的“雅中式”。
(1) 第一问解题思路：先对D的分子、分母因式分解，再计算C-D的结果，判断结果是否为正数常数，即可得出结论。
(2) 第二问解题思路：根据定义可知P-Q=2，将P、Q的表达式代入等式，通过移项、通分、因式分解、约分等分式运算，化简求出E的代数式即可，运算时注意分母不为0的隐含条件。
【解析】
(1) C不是D的“雅中式”，理由如下：
$\because C=\frac{1}{x+2},D=\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}$,
$\therefore C-D=\frac{1}{x+2}-\frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}=\frac{x+2}{(x+2)^2}-\frac{x^2+5x+6}{(x+2)^2}=\frac{-x^2-4x-4}{(x+2)^2}=\frac{-(x+2)^2}{(x+2)^2}=-1＜0$,
所得差为负数，不符合“雅中式”要求，因此C不是D的“雅中式”。
(2) $\because$ P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，
$\therefore P-Q=2$，即$\frac{E}{9-x^2}-\frac{2x}{3-x}=2$，
变形得：
$E=(2+\frac{2x}{3-x}) · (9-x^2)$
$=(\frac{6-2x}{3-x}+\frac{2x}{3-x}) · (3+x)(3-x)$
$=\frac{6}{3-x} · (3+x)(3-x)$
$=6(3+x)$
$=18+6x$
【答案】
(1) C不是D的“雅中式”，理由见解析；
(2) $E=6x+18$
【知识点】
新定义运算，分式混合运算，因式分解
【点评】
本题侧重考查新定义理解能力和分式运算基本功，解题关键是抓住定义中“差为正数常数”的核心条件，结合分式运算规则逐步推导，运算时需注意细心通分、约分，避免符号或计算错误。
【难度系数】
0.7
