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9. 化简$\dfrac{4}{a-2}+a+2$的结果是________.
答案
9.$\frac{a^2}{a-2}$
解析
【分析】
本题是分式与整式的加减运算，解题思路如下：首先将整式看作分母为1的分式，确定两个分式的最简公分母为$a-2$；然后对整式部分通分，将原式转化为同分母分式的加法运算；再根据同分母分式加法法则，合并分子后化简，最终得到最简结果。
【解析】
解：$\dfrac{4}{a-2}+a+2$
将整式部分写成分母为1的形式，得：
$=\dfrac{4}{a-2}+\dfrac{a+2}{1}$
通分，公分母为$a-2$，得：
$=\dfrac{4}{a-2}+\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-2}$
根据平方差公式计算分子中的$(a+2)(a-2)=a^2-4$，再合并分子：
$=\dfrac{4 + a^2 - 4}{a-2}$
化简分子：
$=\dfrac{a^2}{a-2}$
【答案】
$\dfrac{a^2}{a-2}$
【知识点】
1.分式的加减运算 2.平方差公式 3.通分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，易错点是通分时容易忽略给整式部分的分子乘$a-2$，另外应用平方差公式计算时要注意项的对应，化简后需确认结果为最简分式。
【难度系数】
0.7
本题是分式与整式的加减运算，解题思路如下：首先将整式看作分母为1的分式，确定两个分式的最简公分母为$a-2$；然后对整式部分通分，将原式转化为同分母分式的加法运算；再根据同分母分式加法法则，合并分子后化简，最终得到最简结果。
【解析】
解：$\dfrac{4}{a-2}+a+2$
将整式部分写成分母为1的形式，得：
$=\dfrac{4}{a-2}+\dfrac{a+2}{1}$
通分，公分母为$a-2$，得：
$=\dfrac{4}{a-2}+\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-2}$
根据平方差公式计算分子中的$(a+2)(a-2)=a^2-4$，再合并分子：
$=\dfrac{4 + a^2 - 4}{a-2}$
化简分子：
$=\dfrac{a^2}{a-2}$
【答案】
$\dfrac{a^2}{a-2}$
【知识点】
1.分式的加减运算 2.平方差公式 3.通分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，易错点是通分时容易忽略给整式部分的分子乘$a-2$，另外应用平方差公式计算时要注意项的对应，化简后需确认结果为最简分式。
【难度系数】
0.7
10.[新定义]定义:若两个分式的差为2,则称这两个分式属于“友好分式组”.有下列3组分式:
①$\frac{3a}{a+1}$与$\frac{a}{a+1}$;②$\frac{3a}{a-1}$与$\frac{a+2}{a-1}$;③$\frac{5a+2}{2a+1}$与$\frac{a}{2a+1}$,其中属于“友好分式组”的是
①$\frac{3a}{a+1}$与$\frac{a}{a+1}$;②$\frac{3a}{a-1}$与$\frac{a+2}{a-1}$;③$\frac{5a+2}{2a+1}$与$\frac{a}{2a+1}$,其中属于“友好分式组”的是
②③
(填序号).答案
10.②③
解析
【分析】
本题属于新定义题型，解题核心是先准确理解“友好分式组”的定义：若两个分式的差为2，则属于该组。解题时我们只需对每组的两个同分母分式做减法运算，遵循同分母分式相减“分母不变，分子相减”的规则，化简后判断结果是否恒等于2即可，注意计算分子时要正确处理符号、合并同类项，约分后验证结果。
【解析】
我们逐组验证：
① 计算两个分式的差：$\frac{3a}{a+1}-\frac{a}{a+1}=\frac{3a - a}{a+1}=\frac{2a}{a+1}$，化简结果不是常数2，因此①不属于“友好分式组”；
② 计算两个分式的差：$\frac{3a}{a-1}-\frac{a+2}{a-1}=\frac{3a - (a+2)}{a-1}=\frac{3a - a - 2}{a-1}=\frac{2a - 2}{a-1}=\frac{2(a-1)}{a-1}$，当$a≠1$时分式有意义，约分后结果为2，因此②属于“友好分式组”；
③ 计算两个分式的差：$\frac{5a+2}{2a+1}-\frac{a}{2a+1}=\frac{5a+2 - a}{2a+1}=\frac{4a + 2}{2a+1}=\frac{2(2a+1)}{2a+1}$，当$a≠-\frac{1}{2}$时分式有意义，约分后结果为2，因此③属于“友好分式组”。
综上，属于“友好分式组”的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
同分母分式运算，分式约分，新定义理解
【点评】
本题考查新定义背景下的分式运算，解题的关键是读懂新定义的规则，按照分式运算的规范步骤计算，注意去括号时的符号变化，约分要注意分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义题型，解题核心是先准确理解“友好分式组”的定义：若两个分式的差为2，则属于该组。解题时我们只需对每组的两个同分母分式做减法运算，遵循同分母分式相减“分母不变，分子相减”的规则，化简后判断结果是否恒等于2即可，注意计算分子时要正确处理符号、合并同类项，约分后验证结果。
【解析】
我们逐组验证：
① 计算两个分式的差：$\frac{3a}{a+1}-\frac{a}{a+1}=\frac{3a - a}{a+1}=\frac{2a}{a+1}$，化简结果不是常数2，因此①不属于“友好分式组”；
② 计算两个分式的差：$\frac{3a}{a-1}-\frac{a+2}{a-1}=\frac{3a - (a+2)}{a-1}=\frac{3a - a - 2}{a-1}=\frac{2a - 2}{a-1}=\frac{2(a-1)}{a-1}$，当$a≠1$时分式有意义，约分后结果为2，因此②属于“友好分式组”；
③ 计算两个分式的差：$\frac{5a+2}{2a+1}-\frac{a}{2a+1}=\frac{5a+2 - a}{2a+1}=\frac{4a + 2}{2a+1}=\frac{2(2a+1)}{2a+1}$，当$a≠-\frac{1}{2}$时分式有意义，约分后结果为2，因此③属于“友好分式组”。
综上，属于“友好分式组”的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
同分母分式运算，分式约分，新定义理解
【点评】
本题考查新定义背景下的分式运算，解题的关键是读懂新定义的规则，按照分式运算的规范步骤计算，注意去括号时的符号变化，约分要注意分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
11.计算：
(1)$\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{1}{x}$；
(2)$\dfrac{a+1}{a-b}-\dfrac{b}{a-b}-\dfrac{1}{a-b}$；
(3)$\dfrac{a^2}{a-b}-\dfrac{b^2-2ab}{b-a}$；
(4)$\dfrac{2}{a-2}-\dfrac{8}{a^2-4}$.
(1)$\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{1}{x}$；
(2)$\dfrac{a+1}{a-b}-\dfrac{b}{a-b}-\dfrac{1}{a-b}$；
(3)$\dfrac{a^2}{a-b}-\dfrac{b^2-2ab}{b-a}$；
(4)$\dfrac{2}{a-2}-\dfrac{8}{a^2-4}$.
答案
11.解:(1)$\frac{x+1}{x}-\frac{1}{x}=\frac{x+1-1}{x}=1$.
(2)$\frac{a+1}{a-b}-\frac{b}{a-b}-\frac{1}{a-b}=\frac{a+1-b-1}{a-b}=\frac{a-b}{a-b}=1$.
(3)$\frac{a^2}{a-b}-\frac{b^2-2ab}{b-a}=\frac{a^2}{a-b}+\frac{b^2-2ab}{a-b}=\frac{a^2+b^2-2ab}{a-b}=\frac{(a-b)^2}{a-b}=a-b$.
(4)$\frac{2}{a-2}-\frac{8}{a^2-4}=\frac{2(a+2)}{a^2-4}-\frac{8}{a^2-4}=\frac{2a-4}{(a+2)(a-2)}=\frac{2}{a+2}$.
(2)$\frac{a+1}{a-b}-\frac{b}{a-b}-\frac{1}{a-b}=\frac{a+1-b-1}{a-b}=\frac{a-b}{a-b}=1$.
(3)$\frac{a^2}{a-b}-\frac{b^2-2ab}{b-a}=\frac{a^2}{a-b}+\frac{b^2-2ab}{a-b}=\frac{a^2+b^2-2ab}{a-b}=\frac{(a-b)^2}{a-b}=a-b$.
(4)$\frac{2}{a-2}-\frac{8}{a^2-4}=\frac{2(a+2)}{a^2-4}-\frac{8}{a^2-4}=\frac{2a-4}{(a+2)(a-2)}=\frac{2}{a+2}$.
解析
【分析】
这四道题均考查分式的加减运算，解题思路如下：1. 同分母分式相加减，直接遵循“分母不变，分子相加减”的规则计算，最后约分化为最简；2. 若分母互为相反数，先通过提取负号将分母转化为相同，再按同分母分式加减规则计算；3. 异分母分式相加减，先对分母因式分解找到最简公分母，通分转化为同分母分式后再计算，最后约分。计算过程中要注意符号变化，避免出错。
【解析】
(1) 属于同分母分式减法，分母不变，分子相减：
$\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1-1}{x}=\dfrac{x}{x}=1$
(2) 属于同分母分式连减，分母不变，所有分子依次相减：
$\dfrac{a+1}{a-b}-\dfrac{b}{a-b}-\dfrac{1}{a-b}=\dfrac{a+1-b-1}{a-b}=\dfrac{a-b}{a-b}=1$
(3) 分母$a-b$和$b-a$互为相反数，先调整第二个分式的符号将分母统一，再按同分母分式计算，最后用完全平方公式因式分解约分：
$\dfrac{a^2}{a-b}-\dfrac{b^2-2ab}{b-a}=\dfrac{a^2}{a-b}+\dfrac{b^2-2ab}{a-b}=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{a-b}=\dfrac{(a-b)^2}{a-b}=a-b$
(4) 先对$a^2-4$用平方差公式因式分解，确定最简公分母为$a^2-4$，通分后按同分母分式计算，最后约分：
$\dfrac{2}{a-2}-\dfrac{8}{a^2-4}=\dfrac{2(a+2)}{a^2-4}-\dfrac{8}{a^2-4}=\dfrac{2a+4-8}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{2a-4}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{2(a-2)}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{2}{a+2}$
【答案】
(1)$1$；(2)$1$；(3)$a-b$；(4)$\dfrac{2}{a+2}$
【知识点】
分式加减法则，因式分解，通分与约分
【点评】
本题是分式加减的基础运算题，核心是区分同分母和异分母分式的运算规则，注意处理互为相反数的分母时的符号变化，运算结果要化为最简分式或整式，熟练掌握因式分解是顺利约分的关键。
【难度系数】
0.75
这四道题均考查分式的加减运算，解题思路如下：1. 同分母分式相加减，直接遵循“分母不变，分子相加减”的规则计算，最后约分化为最简；2. 若分母互为相反数，先通过提取负号将分母转化为相同，再按同分母分式加减规则计算；3. 异分母分式相加减，先对分母因式分解找到最简公分母，通分转化为同分母分式后再计算，最后约分。计算过程中要注意符号变化，避免出错。
【解析】
(1) 属于同分母分式减法，分母不变，分子相减：
$\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1-1}{x}=\dfrac{x}{x}=1$
(2) 属于同分母分式连减，分母不变，所有分子依次相减：
$\dfrac{a+1}{a-b}-\dfrac{b}{a-b}-\dfrac{1}{a-b}=\dfrac{a+1-b-1}{a-b}=\dfrac{a-b}{a-b}=1$
(3) 分母$a-b$和$b-a$互为相反数，先调整第二个分式的符号将分母统一，再按同分母分式计算，最后用完全平方公式因式分解约分：
$\dfrac{a^2}{a-b}-\dfrac{b^2-2ab}{b-a}=\dfrac{a^2}{a-b}+\dfrac{b^2-2ab}{a-b}=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{a-b}=\dfrac{(a-b)^2}{a-b}=a-b$
(4) 先对$a^2-4$用平方差公式因式分解，确定最简公分母为$a^2-4$，通分后按同分母分式计算，最后约分：
$\dfrac{2}{a-2}-\dfrac{8}{a^2-4}=\dfrac{2(a+2)}{a^2-4}-\dfrac{8}{a^2-4}=\dfrac{2a+4-8}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{2a-4}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{2(a-2)}{(a+2)(a-2)}=\dfrac{2}{a+2}$
【答案】
(1)$1$；(2)$1$；(3)$a-b$；(4)$\dfrac{2}{a+2}$
【知识点】
分式加减法则，因式分解，通分与约分
【点评】
本题是分式加减的基础运算题，核心是区分同分母和异分母分式的运算规则，注意处理互为相反数的分母时的符号变化，运算结果要化为最简分式或整式，熟练掌握因式分解是顺利约分的关键。
【难度系数】
0.75
12. 先化简，再求值：$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x^2-1}$，其中 $x=\sqrt{3}+1$.
答案
12. 解:$\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x^2-1}=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\frac{2}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x-1}$,
当 $x=\sqrt{3}+1$ 时,
原式$=\frac{1}{\sqrt{3}+1-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
当 $x=\sqrt{3}+1$ 时,
原式$=\frac{1}{\sqrt{3}+1-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简分式，首先观察到两个分式的分母分别是$x+1$和$x^2-1$，先利用平方差公式把$x^2-1$分解为$(x+1)(x-1)$，确定最简公分母为$(x+1)(x-1)$，再将异分母分式通分转化为同分母分式，按照同分母分式加减法法则计算，最后约分化为最简分式；第二步代入$x$的值计算，注意代入后分母含有根号，需要进行分母有理化得到最终结果。
【解析】
解：先对分式进行化简：
$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x^2-1}$
$=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\dfrac{2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x-1+2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x+1}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{1}{x-1}$
当$x=\sqrt{3}+1$时，代入最简分式计算：
原式$=\dfrac{1}{\sqrt{3}+1-1}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
分式加减运算，平方差公式，分母有理化
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，考查异分母分式的运算规则和二次根式的化简能力，解题时需注意通分时分子不要漏乘，约分要彻底，代入数值后正确进行分母有理化即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道分式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简分式，首先观察到两个分式的分母分别是$x+1$和$x^2-1$，先利用平方差公式把$x^2-1$分解为$(x+1)(x-1)$，确定最简公分母为$(x+1)(x-1)$，再将异分母分式通分转化为同分母分式，按照同分母分式加减法法则计算，最后约分化为最简分式；第二步代入$x$的值计算，注意代入后分母含有根号，需要进行分母有理化得到最终结果。
【解析】
解：先对分式进行化简：
$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x^2-1}$
$=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\dfrac{2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x-1+2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x+1}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{1}{x-1}$
当$x=\sqrt{3}+1$时，代入最简分式计算：
原式$=\dfrac{1}{\sqrt{3}+1-1}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
分式加减运算，平方差公式，分母有理化
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，考查异分母分式的运算规则和二次根式的化简能力，解题时需注意通分时分子不要漏乘，约分要彻底，代入数值后正确进行分母有理化即可得分。
【难度系数】
0.8
13.下面是小明同学化简分式的过程,请认真阅读并完成相应任务.
计算:$\frac{1}{x-5}-\frac{10}{x^2-25}$.
解:原式$=\frac{1}{x-5}-\frac{10}{(x+5)(x-5)}$……第一步
$=\frac{x+5}{(x+5)(x-5)}-\frac{10}{(x+5)(x-5)}$……第二步
$=x-5$.……第三步
任务一:上述计算过程中,第
任务二:请写出该分式正确的化简过程.
计算:$\frac{1}{x-5}-\frac{10}{x^2-25}$.
解:原式$=\frac{1}{x-5}-\frac{10}{(x+5)(x-5)}$……第一步
$=\frac{x+5}{(x+5)(x-5)}-\frac{10}{(x+5)(x-5)}$……第二步
$=x-5$.……第三步
任务一:上述计算过程中,第
三
步开始出现错误,错误的原因是漏掉了分式的分母
;任务二:请写出该分式正确的化简过程.
答案
13.解:任务一:上述计算过程中,第三步开始出现错误,错误的原因是漏掉了分式的分母.
故答案为三,漏掉了分式的分母.
任务二:原式$=\frac{1}{x-5}-\frac{10}{(x+5)(x-5)}=\frac{x+5}{(x+5)(x-5)}-\frac{10}{(x+5)(x-5)}=\frac{x-5}{(x+5)(x-5)}=\frac{1}{x+5}$.
故答案为三,漏掉了分式的分母.
任务二:原式$=\frac{1}{x-5}-\frac{10}{(x+5)(x-5)}=\frac{x+5}{(x+5)(x-5)}-\frac{10}{(x+5)(x-5)}=\frac{x-5}{(x+5)(x-5)}=\frac{1}{x+5}$.
解析
【分析】
任务一解题思路：先回忆分式加减法的运算规则，同分母分式相加减时，分母不变，仅分子相加减。逐步骤核对运算过程：第一步对分母$x^2-25$用平方差公式因式分解，运算正确；第二步将第一个分式通分，分子分母同乘$(x+5)$化为同分母分式，运算正确；第三步进行同分母分式减法时，错误去掉了分母，仅保留分子运算结果，因此第三步出错，错因是漏掉了分式的分母。
任务二解题思路：按照分式加减的规范步骤运算，先因式分解分母确定最简公分母，通分得到同分母分式后，分子相减，最后约分得到最简分式即可。
【解析】
任务一：依次核对三步运算，前两步因式分解、通分操作均符合规则，第三步同分母分式相减时违反了“分母不变，分子相加减”的运算要求，直接省略了分母，因此从第三步开始出错，错误原因为漏掉了分式的分母。
任务二：正确化简过程如下：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{x-5}-\frac{10}{(x+5)(x-5)}\\&=\frac{x+5}{(x+5)(x-5)}-\frac{10}{(x+5)(x-5)}\\&=\frac{x+5-10}{(x+5)(x-5)}\\&=\frac{x-5}{(x+5)(x-5)}\\&=\frac{1}{x+5}\end{aligned}$
【答案】
任务一：三，漏掉了分式的分母；
任务二：化简结果为$\frac{1}{x+5}$，正确过程见解析。
【知识点】
分式的加减法、分式约分、平方差公式因式分解
【点评】
本题考查分式加减运算的规范，解题时要严格遵循运算规则，注意同分母分式加减时分母不能随意省略，最终运算结果要化为最简分式，避免出现遗漏分母的错误。
【难度系数】
0.8
任务一解题思路：先回忆分式加减法的运算规则，同分母分式相加减时，分母不变，仅分子相加减。逐步骤核对运算过程：第一步对分母$x^2-25$用平方差公式因式分解，运算正确；第二步将第一个分式通分，分子分母同乘$(x+5)$化为同分母分式，运算正确；第三步进行同分母分式减法时，错误去掉了分母，仅保留分子运算结果，因此第三步出错，错因是漏掉了分式的分母。
任务二解题思路：按照分式加减的规范步骤运算，先因式分解分母确定最简公分母，通分得到同分母分式后，分子相减，最后约分得到最简分式即可。
【解析】
任务一：依次核对三步运算，前两步因式分解、通分操作均符合规则，第三步同分母分式相减时违反了“分母不变，分子相加减”的运算要求，直接省略了分母，因此从第三步开始出错，错误原因为漏掉了分式的分母。
任务二：正确化简过程如下：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{x-5}-\frac{10}{(x+5)(x-5)}\\&=\frac{x+5}{(x+5)(x-5)}-\frac{10}{(x+5)(x-5)}\\&=\frac{x+5-10}{(x+5)(x-5)}\\&=\frac{x-5}{(x+5)(x-5)}\\&=\frac{1}{x+5}\end{aligned}$
【答案】
任务一：三，漏掉了分式的分母；
任务二：化简结果为$\frac{1}{x+5}$，正确过程见解析。
【知识点】
分式的加减法、分式约分、平方差公式因式分解
【点评】
本题考查分式加减运算的规范，解题时要严格遵循运算规则，注意同分母分式加减时分母不能随意省略，最终运算结果要化为最简分式，避免出现遗漏分母的错误。
【难度系数】
0.8
