13.已知a,b,c分别是三角形的三边长，那么化简式子$|a+b-c|-|a-b-c|$的结果是（）

A.$2a$
B.$2b$
C.$-2c$
D.$2a-2c$

13.D

【分析】
要化简这个含绝对值的式子，首先需要判断绝对值内代数式的正负，这就要用到三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。先分别判断两个绝对值里的式子的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项就能得到结果。具体步骤：第一步用三边关系判断$a+b-c$和$a-b-c$的正负；第二步根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去绝对值；第三步合并同类项化简。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$a+b＞c$，$b+c＞a$
因此：
$a+b-c＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$
根据绝对值的性质去绝对值符号：
$|a+b-c|=a+b-c$
$|a-b-c|=-(a-b-c)=b+c-a$
代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(a+b-c)-(b+c-a)\\&=a+b-c-b-c+a\\&=2a-2c\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；绝对值化简；整式加减运算
【点评】
本题是基础常考题，将三角形三边关系和绝对值化简结合考察，解题的核心是先利用三边关系判断绝对值内式子的正负，再正确去绝对值后合并同类项即可。
【难度系数】
0.8

14.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,过点A的直线交BC于点D,若$∠ CAD=∠ B$,我们称AD是$Rt△ ABC$的形似线,其中$∠ BAD=m∠ CAD$,则我们称AD是$Rt△ ABC$的$m$倍形似线。已知直线AD是$Rt△ ABC$的2倍形似线,则$∠ B=\_\_\_\_\_\_°$。

14.22.5

【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的“2倍形似线”的定义，梳理已知的角的关系：①Rt△ABC中∠C=90°，可得∠BAC+∠B=90°；②AD是形似线，所以∠CAD=∠B；③2倍形似线说明∠BAD=2∠CAD。接下来我们将∠BAC拆分为∠CAD+∠BAD，把所有角都用∠B表示，再代入直角三角形两锐角和为90°的等式中，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵AD是Rt△ABC的2倍形似线
∴∠BAD=2∠CAD，且∠CAD=∠B
∴∠BAD=2∠B
∴∠BAC=∠CAD+∠BAD=∠B+2∠B=3∠B
∵在Rt△ABC中，∠C=90°
∴∠BAC+∠B=90°
代入得：3∠B + ∠B = 90°
4∠B=90°
解得∠B=22.5°
【答案】
22.5
【知识点】
直角三角形两锐角互余，角的和差计算，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查直角三角形的基本性质，解题核心是正确理解“m倍形似线”的含义，理清各角之间的数量关系，再结合直角三角形的内角性质列等式计算即可，属于基础类的新定义题型。
【难度系数】
0.75

15.如图，在$△ ABC$中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是$∠ BAC$和$∠ ABC$的平分线，它们相交于点O，$∠ AOB=125°$，求$∠ CAD$的度数。

15.解:因为$∠AOB=125°$，
所以$∠OAB+∠OBA=55°$。
因为AE,BF分别是$∠BAC$和$∠ABC$的平分线,它们相交于点O，
所以$∠BAC+∠ABC=2(∠OAB+∠OBA)=110°$,所以$∠C=70°$。
因为AD是BC边上的高，
所以$∠ADC=90°$,所以$∠CAD=20°$,即$∠CAD$的度数是$20°$。

【分析】
要计算∠CAD的度数，已知AD是BC边上的高，可得∠ADC=90°，因此只需要先求出∠C的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求解。求∠C的步骤如下：首先在△AOB中利用三角形内角和算出∠OAB+∠OBA的度数；再结合AE、BF是角平分线的条件，推出∠BAC+∠ABC是∠OAB+∠OBA的2倍；最后利用△ABC的内角和为180°，即可求出∠C的度数，进而得到∠CAD的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB=125°，在△AOB中，三角形内角和为180°，
∴∠OAB+∠OBA=180°-125°=55°。
∵AE、BF分别是∠BAC和∠ABC的平分线，
∴∠BAC=2∠OAB，∠ABC=2∠OBA，
∴∠BAC+∠ABC=2(∠OAB+∠OBA)=2×55°=110°。
在△ABC中，∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-110°=70°。
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠CAD+∠C=90°，
∴∠CAD=90°-70°=20°。
【答案】
20°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础常考题，解题核心是利用角平分线的性质，将△AOB的内角关系转化为△ABC的内角关系，逐步推导即可得到结果，对基础性质的掌握要求较高。
【难度系数】
0.7

16.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,交AD于点F,且DF=DC。
(1)△BDF与△ADC全等吗?
(2)已知AF=3,BC=5,求AD的长。

16.解:(1)因为$AD⊥BC$于点D,$BE⊥AC$于点E,交AD于点F，
所以$∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°$，
所以$∠DBF=∠DAC=90°-∠C$。
在$△ BDF$和$△ ADC$中，
$\begin{cases} ∠DBF=∠DAC, \\ ∠BDF=∠ADC, \\ DF=DC, \end{cases}$
所以$△ BDF ≌ △ ADC(\mathrm{AAS})$。
(2)由(1)得$△ BDF ≌ △ ADC$，
所以$BD=AD$，
所以$BC-DC=AF+DF$。
因为$DF=DC,AF=3,BC=5$，
所以$5-DF=3+DF$，
所以$DF=1$，
所以$AD=AF+DF=3+1=4$，
所以AD的长为4。

【分析】
(1) 要判断△BDF和△ADC是否全等，先从已知条件入手找全等条件：已知AD⊥BC、BE⊥AC，可得两组直角相等，再根据同角的余角相等推出∠DBF=∠DAC，结合已知DF=DC，满足AAS全等判定的条件，即可证明两个三角形全等。
(2) 由全等三角形对应边相等的性质可得BD=AD，再结合BC=BD+DC、AD=AF+DF，且已知DF=DC，代入已知的AF和BC的长度建立等式，求出DF的长后即可得到AD的长度。
【解析】
(1) 因为$AD⊥BC$于点D，$BE⊥AC$于点E，交AD于点F，
所以$∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°$，
所以$∠DBF+∠C=90°$，$∠DAC+∠C=90°$，即$∠DBF=∠DAC=90°-∠C$。
在$△ BDF$和$△ ADC$中，
$\begin{cases} ∠DBF=∠DAC, \\ ∠BDF=∠ADC, \\ DF=DC, \end{cases}$
所以$△ BDF ≌ △ ADC(\mathrm{AAS})$。
(2) 由(1)得$△ BDF ≌ △ ADC$，根据全等三角形对应边相等可得$BD=AD$。
因为$BC=BD+DC$，$AD=AF+DF$，且$DF=DC$，
所以$BC=AD+DF=AF+2DF$，
代入$AF=3$，$BC=5$，得$5=3+2DF$，
解得$DF=1$，
所以$AD=AF+DF=3+1=4$。
【答案】
(1) $△ BDF$与$△ ADC$全等；
(2) AD的长为$\boxed{4}$。
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是先利用垂直性质推导相等的角，结合已知相等的边证明三角形全等，再利用全等的性质转化线段关系求解，对几何逻辑推理能力有一定的训练价值。
【难度系数】
0.7