17.综合与实践
问题探究:(1)图①是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》中给出的角平分线作图法:在OA和OB上分别取点C和点D,使得OC=OD,连接CD,以CD为边作等边三角形CDE,连接OE,则OE就是∠AOB的平分线。请写出OE平分∠AOB的依据:。
类比迁移:(2)小明根据以上信息研究发现:△CDE不一定必须是等边三角形,只需CE=DE即可。他查阅资料发现我国古代已经用角尺平分任意角。作法如下:如图②,在∠AOB的边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同刻度分别与点M,N重合,则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线。请说明此作法的理由。
拓展实践:(3)小明将研究应用于实践。如图③,校园内的两条小路AB和AC汇聚形成了一个岔路口A,现在学校要在这两条小路之间安装一盏路灯E,使得路灯照亮两条小路(两条小路一样亮),并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等。试问:路灯应该安装在哪个位置?请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图④中作出路灯E的位置。(保留作图痕迹,不写作法)

假期作业14
年月日 星期

17.解:(1)$△ OCE ≌ △ ODE$
(2)在$△ COM$和$△ CON$中，
$\begin{cases} OM=ON, \\ OC=OC, \\ CM=CN, \end{cases}$
所以$△ COM ≌ △ CON$，
所以$∠COM=∠CON$,即OC是$∠AOB$的平分线。
(3)作图如图。

【分析】
(1) 要证明OE平分∠AOB，需证∠COE=∠DOE。已知OC=OD，等边三角形CDE中CE=DE，加上公共边OE，可通过“SSS”证明△OCE≌△ODE，根据全等三角形对应角相等即可得到两角相等，因此OE是∠AOB的平分线。
(2) 本问思路与(1)一致：已知OM=ON，角尺两边相同刻度对应CM=CN，加上公共边OC，同样通过“SSS”证明△COM≌△CON，对应角相等即可说明OC是∠AOB的平分线。
(3) 要使两条小路亮度相同，说明路灯E到AB、AC的距离相等，因此E在∠BAC的角平分线上；同时要求AE=AD，因此先作∠BAC的角平分线，再在角平分线上截取AE=AD，所得点E就是路灯的安装位置。
【解析】
(1) 已知OC=OD，△CDE为等边三角形，故CE=DE，又OE为公共边，因此△OCE≌△ODE（SSS），可得∠COE=∠DOE，所以OE平分∠AOB。
(2) 证明：在△COM和△CON中：
$\begin{cases} OM=ON, \\ OC=OC, \\ CM=CN, \end{cases}$
∴△COM≌△CON（SSS），
∴∠COM=∠CON，即OC是∠AOB的平分线。
(3) 作图时先作∠BAC的角平分线，再在角平分线上以A为端点、AD长为半径画弧，与角平分线的交点即为E，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1) $△ OCE ≌ △ ODE$
(2) 在$△ COM$和$△ CON$中，
$\begin{cases} OM=ON, \\ OC=OC, \\ CM=CN, \end{cases}$
所以$△ COM ≌ △ CON$，
所以$∠COM=∠CON$,即OC是$∠AOB$的平分线。
(3) 作图如图。
【知识点】
1. 全等三角形判定与性质
2. 角平分线的判定
3. 尺规作图
【点评】
本题从经典几何作图出发，逐层递进设计问题，既考查了全等三角形的基础应用，又考查了知识迁移能力和动手作图能力，结合生活实际场景，能有效提升应用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7