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6.如果一个等腰三角形的两边长分别为3 cm和6 cm，那么这个等腰三角形的周长是（
A.9 cm
B.12 cm
C.12 cm或15 cm
D.15 cm
D
）A.9 cm
B.12 cm
C.12 cm或15 cm
D.15 cm
答案
6.D
解析
【分析】
首先，等腰三角形的两条腰长度相等，题目仅给出两边长未明确腰和底，因此需要分两种情况讨论：①3cm为腰长，6cm为底边长；②6cm为腰长，3cm为底边长。再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
已知等腰三角形两边长为3cm和6cm，分情况讨论：
1. 若腰长为3cm，底边长为6cm，此时三角形三边长为3cm、3cm、6cm。
验证三边关系：$3+3=6$，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”，因此该情况无法构成三角形，舍去。
2. 若腰长为6cm，底边长为3cm，此时三角形三边长为6cm、6cm、3cm。
验证三边关系：$3+6＞6$，$6+6＞3$，满足三边关系，可以构成三角形。
此时周长为：$6+6+3=15\mathrm{cm}$。
综上，该等腰三角形的周长为15cm。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，周长计算
【点评】
本题是等腰三角形相关的经典易错题，解题的关键是先分类讨论腰和底的两种情况，同时要注意必须验证三边是否满足构成三角形的条件，避免忽略限制条件错选两种周长的情况。
【难度系数】
0.7
首先，等腰三角形的两条腰长度相等，题目仅给出两边长未明确腰和底，因此需要分两种情况讨论：①3cm为腰长，6cm为底边长；②6cm为腰长，3cm为底边长。再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
已知等腰三角形两边长为3cm和6cm，分情况讨论：
1. 若腰长为3cm，底边长为6cm，此时三角形三边长为3cm、3cm、6cm。
验证三边关系：$3+3=6$，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”，因此该情况无法构成三角形，舍去。
2. 若腰长为6cm，底边长为3cm，此时三角形三边长为6cm、6cm、3cm。
验证三边关系：$3+6＞6$，$6+6＞3$，满足三边关系，可以构成三角形。
此时周长为：$6+6+3=15\mathrm{cm}$。
综上，该等腰三角形的周长为15cm。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，周长计算
【点评】
本题是等腰三角形相关的经典易错题，解题的关键是先分类讨论腰和底的两种情况，同时要注意必须验证三边是否满足构成三角形的条件，避免忽略限制条件错选两种周长的情况。
【难度系数】
0.7
7. 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ CBA=50°$，则$∠ BAC=$
$40°$
。答案
7.$40°$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和的相关性质：三角形的三个内角之和为180°，另外直角三角形的两个锐角之和为90°（两锐角互余）。本题已知三角形的两个内角度数，求第三个角，直接用内角和减去已知两个角的度数即可，也可以利用直角三角形两锐角互余的性质直接计算，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一：根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°。
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ ACB + ∠ CBA = 180°$，
已知$∠ ACB=90°$，$∠ CBA=50°$，代入得：
$∠ BAC = 180° - ∠ ACB - ∠ CBA = 180° - 90° - 50° = 40°$。
方法二：因为$∠ ACB=90°$，所以$△ ABC$是直角三角形，两个锐角互余，即$∠ BAC + ∠ CBA = 90°$，
所以$∠ BAC = 90° - 50° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，核心考察三角形内角和性质的直接应用，计算量小，只要熟记相关性质即可快速得分，做题时注意角度计算不要出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和的相关性质：三角形的三个内角之和为180°，另外直角三角形的两个锐角之和为90°（两锐角互余）。本题已知三角形的两个内角度数，求第三个角，直接用内角和减去已知两个角的度数即可，也可以利用直角三角形两锐角互余的性质直接计算，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一：根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°。
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ ACB + ∠ CBA = 180°$，
已知$∠ ACB=90°$，$∠ CBA=50°$，代入得：
$∠ BAC = 180° - ∠ ACB - ∠ CBA = 180° - 90° - 50° = 40°$。
方法二：因为$∠ ACB=90°$，所以$△ ABC$是直角三角形，两个锐角互余，即$∠ BAC + ∠ CBA = 90°$，
所以$∠ BAC = 90° - 50° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，核心考察三角形内角和性质的直接应用，计算量小，只要熟记相关性质即可快速得分，做题时注意角度计算不要出错。
【难度系数】
0.9
8.已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角为
125
度。答案
8.125
解析
【分析】
解决本题需要先明确余角和补角的基本定义：互余的两个角的和为90°，互补的两个角的和为180°。解题时首先根据∠1和∠2互余的关系求出∠2的度数，再根据补角的定义计算∠2的补角即可。
【解析】
1. 根据余角的定义，互余两角之和为90°，已知∠1与∠2互余，因此有：
$∠1 + ∠2 = 90°$
将$∠1=35°$代入上式，可得：
$∠2 = 90° - 35° = 55°$
2. 根据补角的定义，互补两角之和为180°，因此∠2的补角为：
$180° - ∠2 = 180° - 55° = 125°$
【答案】
125
【知识点】
余角的定义，补角的定义，角度运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对余角、补角概念的理解和应用，只要牢记两类角的数量关系，按步骤计算即可得分。
【难度系数】
0.9
解决本题需要先明确余角和补角的基本定义：互余的两个角的和为90°，互补的两个角的和为180°。解题时首先根据∠1和∠2互余的关系求出∠2的度数，再根据补角的定义计算∠2的补角即可。
【解析】
1. 根据余角的定义，互余两角之和为90°，已知∠1与∠2互余，因此有：
$∠1 + ∠2 = 90°$
将$∠1=35°$代入上式，可得：
$∠2 = 90° - 35° = 55°$
2. 根据补角的定义，互补两角之和为180°，因此∠2的补角为：
$180° - ∠2 = 180° - 55° = 125°$
【答案】
125
【知识点】
余角的定义，补角的定义，角度运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对余角、补角概念的理解和应用，只要牢记两类角的数量关系，按步骤计算即可得分。
【难度系数】
0.9
9.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$上的点。若使$△ ABE≌△ ACD$，还要补充条件：
$∠ABE=∠ACD$(答案不唯一)
。（只填一个即可）答案
9.$∠ABE=∠ACD$(答案不唯一)
解析
【分析】
要判定△ABE≌△ACD，首先梳理已知的相等条件：①△ABE和△ACD有公共角∠A，即∠BAE=∠CAD；②题目给出AB=AC，此时已经满足一组边对应相等、一组角对应相等。结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS），我们只需要再补充一组对应相等的边或角即可：若补充夹已知角的另一边AE=AD，可用SAS判定全等；若补充角相等，如∠ABE=∠ACD可用ASA判定，∠AEB=∠ADC可用AAS判定，任选其一即可。
【解析】
已知在△ABC中AB=AC，在△ABE和△ACD中：
∠BAE=∠CAD（公共角相等），AB=AC（已知）
若补充条件$\boldsymbol{∠ABE=∠ACD}$，可按如下步骤证明全等：
在$△ ABE$和$△ ACD$中
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠CAD\\AB=AC\\∠ABE=∠ACD\end{array} $
∴$△ ABE≌△ ACD$（ASA）
（注：补充AE=AD、∠AEB=∠ADC等条件也可，均符合要求）
【答案】
$∠ABE=∠ACD$(答案不唯一)
【知识点】
全等三角形的判定，公共角的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的开放型习题，核心考查全等判定定理的灵活应用，学生只需结合已有已知条件，补全判定全等所需的对应相等元素即可，答案不唯一，侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.8
要判定△ABE≌△ACD，首先梳理已知的相等条件：①△ABE和△ACD有公共角∠A，即∠BAE=∠CAD；②题目给出AB=AC，此时已经满足一组边对应相等、一组角对应相等。结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS），我们只需要再补充一组对应相等的边或角即可：若补充夹已知角的另一边AE=AD，可用SAS判定全等；若补充角相等，如∠ABE=∠ACD可用ASA判定，∠AEB=∠ADC可用AAS判定，任选其一即可。
【解析】
已知在△ABC中AB=AC，在△ABE和△ACD中：
∠BAE=∠CAD（公共角相等），AB=AC（已知）
若补充条件$\boldsymbol{∠ABE=∠ACD}$，可按如下步骤证明全等：
在$△ ABE$和$△ ACD$中
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠CAD\\AB=AC\\∠ABE=∠ACD\end{array} $
∴$△ ABE≌△ ACD$（ASA）
（注：补充AE=AD、∠AEB=∠ADC等条件也可，均符合要求）
【答案】
$∠ABE=∠ACD$(答案不唯一)
【知识点】
全等三角形的判定，公共角的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的开放型习题，核心考查全等判定定理的灵活应用，学生只需结合已有已知条件，补全判定全等所需的对应相等元素即可，答案不唯一，侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.8
10.如图，AD，BE分别是△ABC的边BC，AC上的高线，AD=3，BC=5，AC=4，则BE的长为
$\frac{15}{4}$
。答案
10.$\frac{15}{4}$
解析
【分析】
要求BE的长度，可利用三角形面积的固定性解题：同一个三角形选择不同的底和对应高计算，得到的面积是相等的。我们可以先以BC为底、AD为高算出△ABC的面积，再以AC为底、BE为高，根据面积相等列等式，就能求出BE的长度。
【解析】
∵AD、BE分别是△ABC的边BC、AC上的高线
∴△ABC的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BE$
因此可得等式：$\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × AC × BE$
将AD=3，BC=5，AC=4代入，两边同时约去$\frac{1}{2}$得：
$5×3 = 4× BE$
即$15=4BE$，解得$BE=\frac{15}{4}$
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
三角形面积计算，等积法应用
【点评】
本题是三角形面积的基础应用题，解题关键是抓住同一个三角形面积不变的特点建立等式，不需要复杂推导即可求解未知线段长度。
【难度系数】
0.8
要求BE的长度，可利用三角形面积的固定性解题：同一个三角形选择不同的底和对应高计算，得到的面积是相等的。我们可以先以BC为底、AD为高算出△ABC的面积，再以AC为底、BE为高，根据面积相等列等式，就能求出BE的长度。
【解析】
∵AD、BE分别是△ABC的边BC、AC上的高线
∴△ABC的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BE$
因此可得等式：$\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × AC × BE$
将AD=3，BC=5，AC=4代入，两边同时约去$\frac{1}{2}$得：
$5×3 = 4× BE$
即$15=4BE$，解得$BE=\frac{15}{4}$
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
三角形面积计算，等积法应用
【点评】
本题是三角形面积的基础应用题，解题关键是抓住同一个三角形面积不变的特点建立等式，不需要复杂推导即可求解未知线段长度。
【难度系数】
0.8
11.如图，点O为AC和BD的中点，$△ ABO$与$△ CDO$全等吗？
第11题图
第11题图答案
11.解:因为点O为AC和BD的中点，
所以OB=OD,OA=OC。
在△ABO和△CDO中，
$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠AOB=∠COD, \\ OB=OD, \end{cases}$
所以$△ ABO ≌ △ CDO(\mathrm{SAS})$。
所以OB=OD,OA=OC。
在△ABO和△CDO中，
$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠AOB=∠COD, \\ OB=OD, \end{cases}$
所以$△ ABO ≌ △ CDO(\mathrm{SAS})$。
解析
【分析】
要判断两个三角形是否全等，先梳理已知条件：由点O是AC、BD的中点，根据中点定义可得到OA=OC、OB=OD两组对应边相等；再观察图形，AC和BD交于点O，形成的对顶角∠AOB和∠COD相等。此时△ABO和△CDO满足两边及其夹角对应相等，符合全等三角形的SAS判定条件，即可判定两三角形全等。
【解析】
因为点O为AC和BD的中点，
所以OB=OD，OA=OC。
在△ABO和△CDO中，
$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠AOB=∠COD, \\ OB=OD, \end{cases}$
所以$△ ABO ≌ △ CDO(\mathrm{SAS})$。
【答案】
$△ ABO ≌ △ CDO$，即△ABO与△CDO全等。
【知识点】
线段中点的性质；对顶角相等；全等三角形SAS判定
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题，主要考查对全等三角形SAS判定定理的应用，同时涉及线段中点、对顶角性质的简单运用，找准对应边和对应夹角即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要判断两个三角形是否全等，先梳理已知条件：由点O是AC、BD的中点，根据中点定义可得到OA=OC、OB=OD两组对应边相等；再观察图形，AC和BD交于点O，形成的对顶角∠AOB和∠COD相等。此时△ABO和△CDO满足两边及其夹角对应相等，符合全等三角形的SAS判定条件，即可判定两三角形全等。
【解析】
因为点O为AC和BD的中点，
所以OB=OD，OA=OC。
在△ABO和△CDO中，
$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠AOB=∠COD, \\ OB=OD, \end{cases}$
所以$△ ABO ≌ △ CDO(\mathrm{SAS})$。
【答案】
$△ ABO ≌ △ CDO$，即△ABO与△CDO全等。
【知识点】
线段中点的性质；对顶角相等；全等三角形SAS判定
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题，主要考查对全等三角形SAS判定定理的应用，同时涉及线段中点、对顶角性质的简单运用，找准对应边和对应夹角即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
12.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,∠B=40°,∠C=70°,求∠BAE和∠EAD的度数。
答案
12.解:因为$∠B=40°,∠C=70°$，
所以$∠BAC=180°-∠B-∠C=70°$。
因为AE是$∠BAC$的平分线，所以$∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC=35°$。
因为AD是BC边上的高，所以$∠ADE=90°$，
所以$∠EAD+∠EAB+∠B=90°$,所以$∠EAD=15°$。
所以$∠BAC=180°-∠B-∠C=70°$。
因为AE是$∠BAC$的平分线，所以$∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC=35°$。
因为AD是BC边上的高，所以$∠ADE=90°$，
所以$∠EAD+∠EAB+∠B=90°$,所以$∠EAD=15°$。
解析
【分析】
解题可分为两步思考：第一步求∠BAE：已知AE是∠BAC的平分线，因此先根据三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C的度数求出∠BAC，再取它的一半即可得到∠BAE的度数。第二步求∠EAD：已知AD是BC边上的高，可得∠ADB=90°，直角三角形两个锐角和为90°，先求出∠BAD的度数，再用∠BAD减去已求出的∠BAE，就能得到∠EAD的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∵∠B=40°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°。
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，∠BAD + ∠B = 90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-40°=50°，
∴∠EAD=∠BAD - ∠BAE=50°-35°=15°。
【答案】
∠BAE=35°，∠EAD=15°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题关键是熟练掌握三角形相关几何概念的性质，理清各个角之间的数量关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题可分为两步思考：第一步求∠BAE：已知AE是∠BAC的平分线，因此先根据三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C的度数求出∠BAC，再取它的一半即可得到∠BAE的度数。第二步求∠EAD：已知AD是BC边上的高，可得∠ADB=90°，直角三角形两个锐角和为90°，先求出∠BAD的度数，再用∠BAD减去已求出的∠BAE，就能得到∠EAD的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∵∠B=40°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°。
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，∠BAD + ∠B = 90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-40°=50°，
∴∠EAD=∠BAD - ∠BAE=50°-35°=15°。
【答案】
∠BAE=35°，∠EAD=15°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题关键是熟练掌握三角形相关几何概念的性质，理清各个角之间的数量关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
