1.图中全等的三角形是（）


A.①和②
B.②和④
C.②和③
D.①和③

1.D

【分析】
要判断全等三角形，首先回忆全等三角形的边角边（SAS）判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。解题时我们先逐个确定每个三角形中30°角所夹的两条边的长度，再对比哪两个三角形的这两组边和夹角完全对应相等即可。注意相等的角必须是两组对应边的夹角，不能是边的对角，否则不符合SAS判定要求。
【解析】
根据全等三角形SAS判定定理，我们逐一分析各三角形：
1. 图①：30°角的两条邻边分别为8cm、9cm，即两边为8cm、9cm，夹角为30°；
2. 图②：30°角的两条邻边分别为8cm、5cm，即两边为8cm、5cm，夹角为30°；
3. 图③：30°角的两条邻边分别为8cm、9cm，即两边为8cm、9cm，夹角为30°；
4. 图④：30°角的一条邻边为8cm，5cm是30°角的对边，不是夹角的边，不满足SAS条件。
因此图①和图③的两边及夹角对应相等，符合SAS判定，二者全等。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形SAS判定、夹角识别
【点评】
本题核心考查全等三角形边角边判定的应用，解题的易错点是容易混淆角的位置，错把对角当成夹角使用，解题时要先明确相等的角是否是两组相等边的夹角，避免错误使用“边边角”判定。
【难度系数】
0.7

2. 如图，$AB=DE$，$∠ B=∠ E$，下列条件：①$∠ A=∠ D$；②$BC=EC$；③$AC=DC$；④$∠ BCE=∠ ACD$. 添加________可以利用SAS判定$△ ABC≌△ DEC$.（填序号）

2. ②

【分析】
首先回忆全等三角形SAS判定的内容：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。本题已知△ABC和△DEC中，AB=DE，∠B=∠E，要使用SAS判定全等，需要找到∠B的另一邻边和∠E的另一邻边对应相等，再逐一分析每个条件是否符合要求即可。
【解析】
全等三角形SAS判定定理为：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
已知在△ABC和△DEC中：
已有条件：AB=DE，∠B=∠E。
若用SAS判定全等，需要夹∠B的另一边BC与夹∠E的另一边EC相等，即BC=EC，对应条件②。
逐一分析其余条件：
①添加∠A=∠D时，结合已知AB=DE，∠B=∠E，符合ASA判定，不符合SAS要求；
③添加AC=DC时，属于两边及其中一边的对角相等（SSA），不能判定三角形全等；
④添加∠BCE=∠ACD时，可得∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，即∠ACB=∠DCE，结合已知∠B=∠E，AB=DE，符合AAS判定，不符合SAS要求。
综上，只有条件②符合要求。
【答案】
②
【知识点】
全等三角形SAS判定；全等三角形判定定理
【点评】
本题重点考查全等三角形的SAS判定，解题关键是明确SAS中的角必须是两组对应边的夹角，注意区分不同全等判定定理的适用条件，且SSA不能作为全等的判定依据。
【难度系数】
0.7

3. 把两根钢条$AA'$，$BB'$的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）. 如图，若测得$AB=5$厘米，则槽宽为________厘米.

3. 5

【分析】
解题时首先明确卡钳的制作原理：两根钢条的中点重合，因此可得到两组对应边相等，再结合对顶角相等的性质，可通过“边角边”判定两个三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质，将槽宽转化为已知的AB的长度，即可得到结果。
【解析】
设两根钢条$AA'$与$BB'$的交点为$O$。
∵ $O$是$AA'$、$BB'$的中点，
∴ $OA=OA'$，$OB=OB'$。
在$△ AOB$和$△ A'OB'$中：
$\begin{cases}OA=OA' \\∠ AOB=∠ A'OB' \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\OB=OB'\end{cases}$
∴ $△ AOB ≌ △ A'OB' \ (\mathrm{SAS})$，
∴ $A'B'=AB=5$厘米，即槽宽为5厘米。
【答案】
5
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形对应边相等；中点的定义
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，解题的核心是通过已知的中点条件和对顶角相等构造全等三角形，将难以直接测量的内槽宽转化为方便测量的外段长度，侧重对基础判定定理和性质的应用考查。
【难度系数】
0.9

4.如图,在$△ ABC$和$△ DEF$中,$∠ A=∠ D,AB=DE,AC=DF$.若$∠ B=47°$,则$∠ E$的度数是________.

4.$47°$

【分析】
解题时首先观察题目给出的两个三角形的边角条件：已知两边$AB=DE$、$AC=DF$，且两边的夹角$∠ A=∠ D$，符合全等三角形的SAS判定条件，因此可先证明两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，得到$∠ E$与已知$∠ B$的等量关系，进而求出$∠ E$的度数。
【解析】
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AB=DE \quad (\mathrm{已知}) \\∠ A=∠ D \quad (\mathrm{已知}) \\AC=DF \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF \ (\mathrm{SAS})$
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ E = ∠ B$
$\because ∠ B=47°$
$\therefore ∠ E=47°$
【答案】
$47°$
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形相关知识的基础应用，解题的核心是准确识别全等判定的对应边角条件，熟练掌握SAS判定定理和全等三角形的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9

5. 如图，$AC=AB$，$AD$平分$∠ CAB$，点$E$在$AD$上，则图中的全等三角形有________对。

5. 3

【分析】
解题时先从已知条件入手：已知AC=AB，AD平分∠CAB，可得∠CAD=∠BAD，结合图形中的公共边，先找具备边角边相等条件的三角形，再通过已证的全等得到新的等边，进一步寻找其他全等三角形。首先可以找到以AE、AD为公共边的两组全等三角形，再利用前两组全等得到的等边，结合公共边DE找到第三组全等三角形。
【解析】
1. 证明$△ ACE ≌ △ ABE$：
∵ AD平分$∠ CAB$，
∴ $∠ CAE = ∠ BAE$，
在$△ ACE$和$△ ABE$中：
$\begin{cases}AC = AB \quad (\mathrm{已知}) \\∠ CAE = ∠ BAE \quad (\mathrm{角平分线的定义}) \\AE = AE \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴ $△ ACE ≌ △ ABE$（SAS）。
2. 证明$△ ACD ≌ △ ABD$：
在$△ ACD$和$△ ABD$中：
$\begin{cases}AC = AB \quad (\mathrm{已知}) \\∠ CAD = ∠ BAD \quad (\mathrm{角平分线的定义}) \\AD = AD \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴ $△ ACD ≌ △ ABD$（SAS）。
3. 证明$△ CDE ≌ △ BDE$：
由$△ ACE ≌ △ ABE$得$CE = BE$，
由$△ ACD ≌ △ ABD$得$CD = BD$，
在$△ CDE$和$△ BDE$中：
$\begin{cases}CE = BE \quad (\mathrm{已证}) \\CD = BD \quad (\mathrm{已证}) \\DE = DE \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴ $△ CDE ≌ △ BDE$（SSS）。
综上，全等三角形共有3对。
【答案】
3
【知识点】
角平分线定义、SAS判定、SSS判定
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时要注意挖掘图形中的公共边等隐含条件，结合已知的等边、等角逐一排查，避免漏找全等三角形。
【难度系数】
0.7

6.(2025·湖北)如图，AB=AD，AC平分∠BAD.求证：∠B=∠D.

6. 证明:$\because AC$平分$∠ BAD,\therefore ∠ BAC=∠ DAC$.
在$△ ABC$和$△ ADC$中,$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ BAC=∠ DAC, \\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ B=∠ D.$

【分析】
要证明∠B=∠D，可通过证明两角所在的三角形全等来推导。首先根据角平分线的定义，由AC平分∠BAD可得到∠BAC=∠DAC；再结合已知条件AB=AD，以及两个三角形共有的公共边AC，刚好满足全等三角形的SAS判定条件，即可证明△ABC和△ADC全等，最后根据全等三角形对应角相等的性质，就能推出∠B=∠D。
【解析】
证明：$\because AC$平分$∠ BAD$，$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$。
在$△ ABC$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}AB=AD, \\∠ BAC=∠ DAC, \\AC=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ B=∠ D$。
【答案】
证明:$\because AC$平分$∠ BAD,\therefore ∠ BAC=∠ DAC$.
在$△ ABC$和$△ ADC$中,$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ BAC=∠ DAC, \\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ B=∠ D.$
【知识点】
角平分线的定义；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，解题核心是结合已知条件找到三角形全等的判定依据，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

7. 如图,在$△ ABC$和$△ CED$中,$AB// CD$,$AB=CE$,$AC=CD$. 求证:$△ ABC≌△ CED$.

7. 证明:$\because AB// CD,\therefore ∠ BAC=∠ DCE.$
在$△ ABC$和$△ CED$中,$\begin{cases} AB=CE, \\ ∠ CAB=∠ DCE, \\ AC=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ CED(\mathrm{SAS}).$

【分析】
要证明两个三角形全等，首先梳理已知条件：题目已给出两组边对应相等，即$AB=CE$、$AC=CD$。根据边角边（SAS）的全等判定规则，还需要证明这两组相等边的夹角对应相等，也就是$∠BAC$和$∠DCE$相等。结合已知$AB// CD$，利用平行线的内错角相等的性质，即可得到这两个角相等，满足SAS的判定要求，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because AB// CD$，$\therefore ∠BAC=∠DCE$。
在$△ ABC$和$△ CED$中，
$\begin{cases}AB=CE, \\∠CAB=∠DCE, \\AC=CD,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ CED(\mathrm{SAS})$。
【答案】
证明:$\because AB// CD,\therefore ∠ BAC=∠ DCE.$
在$△ ABC$和$△ CED$中,$\begin{cases} AB=CE, \\ ∠ CAB=∠ DCE, \\ AC=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ CED(\mathrm{SAS}).$
【知识点】
平行线的性质，全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是结合平行线性质得到对应相等的夹角，熟练掌握全等三角形的边角边判定定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8