8. 如图，$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ BAC=∠ DAE$，$∠ 1=20°$，$∠ 2=25°$，则$∠ 3$的度数为 （）

A.$30°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$

8.B

【分析】
首先根据已知的角相等∠BAC=∠DAE，通过同时减去公共角∠DAC，可推导出∠BAD=∠CAE，结合已知的两组边相等AB=AC、AD=AE，可利用SAS判定△BAD和△CAE全等；再根据全等三角形对应角相等得到∠ABD=∠2，最后利用三角形外角的性质，∠3是△ABD的外角，等于不相邻的两个内角∠1与∠ABD的和，代入数值即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC = ∠DAE，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD = ∠CAE。
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB = AC (\mathrm{已知})\\∠BAD = ∠CAE (\mathrm{已证})\\AD = AE (\mathrm{已知})\end{array} $
∴△BAD ≌ △CAE（SAS）。
∴∠ABD = ∠2 = 25°（全等三角形的对应角相等）。
∵∠3是△ABD的外角，
∴∠3 = ∠1 + ∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
将∠1=20°，∠ABD=25°代入得：
∠3 = 20° + 25° = 45°。
【答案】
B
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形与三角形外角性质的基础综合题，解题的核心是先通过角的和差关系得到全等三角形的对应夹角相等，证明三角形全等后转化角的关系，再结合外角性质计算角度，解题逻辑清晰，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$AB=AD,AC=AE,∠1=∠2$,AD,BC相交于点F.若$AB// DE,∠D=40°$,则$∠AFB=$.

9.$100°$

【分析】
解题时首先从已知角相等出发，通过角的和差关系推导得到两个三角形的夹角相等，结合给出的两组边相等的条件，利用SAS判定定理证明△ABC和△ADE全等，得到对应角∠B与∠D相等；再利用平行线的内错角相等的性质求出∠1的度数，最后在△AFB中根据三角形内角和定理即可算出∠AFB的度数。
【解析】
1. 推导相等夹角：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即$∠ BAC=∠ DAE$。
2. 证明三角形全等：
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AB=AD（已知）\\∠ BAC=∠ DAE（已证）\\AC=AE（已知）\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$。
3. 求∠B的度数：
由全等三角形对应角相等，得$∠ B=∠ D=40°$。
4. 求∠1的度数：
∵$AB// DE$，根据两直线平行，内错角相等，得$∠ 1=∠ D=40°$。
5. 计算∠AFB：
在$△ AFB$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ AFB=180°-∠ B-∠1=180°-40°-40°=100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
SAS证全等、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，将全等三角形判定、平行线性质、三角形内角和知识点结合考查，解题关键是先推导全等三角形的夹角相等，再通过全等的性质和平行线性质得到待求三角形的两个内角度数，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

10.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC,AB=5 cm,AD=BC=3 cm,点E在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点F在线段BC上由点B向点C运动.设运动时间为t(s),当△ADE与以B,E,F为顶点的三角形全等时,点F的运动速度为cm/s.

10. 1或1.2

【分析】
本题属于动点背景下的全等三角形求解问题，解题思路如下：首先明确已知条件：∠DAB=∠ABC，AE=t cm，BE=(5-t)cm，设F的速度为v，则BF=vt cm；由于题干未给出两个全等三角形的对应顶点顺序，因此需要结合等角∠A和∠B为对应角，分两种对应情况讨论：①AD与BE是对应边，AE与BF是对应边；②AD与BF是对应边，AE与BE是对应边，分别列方程求解，最后验证结果是否符合运动实际即可。
【解析】
设点F的运动速度为$ v $ cm/s。
由题意得：$ AE = 1× t = t \, \mathrm{cm} $，$ BE = AB - AE = (5 - t) \, \mathrm{cm} $，$ BF = vt \, \mathrm{cm} $，且$ ∠ DAB = ∠ ABC $。
全等分两种情况讨论：
情况1：当$ △ ADE ≌ △ BEF $时，对应边满足：
$ \begin{cases} AD = BE \\ AE = BF \end{cases} $
代入数值：
$ \begin{cases} 3 = 5 - t \\ t = vt \end{cases} $
解得$ t=2 $，代入第二个方程得$ 2 = 2v $，即$ v=1 $。
此时$ BF = 1×2 = 2 \, \mathrm{cm} ＜ 3 \, \mathrm{cm} $，符合运动要求。
情况2：当$ △ ADE ≌ △ BFE $时，对应边满足：
$ \begin{cases} AD = BF \\ AE = BE \end{cases} $
代入数值：
$ \begin{cases} 3 = vt \\ t = 5 - t \end{cases} $
解得$ t=2.5 $，代入第一个方程得$ 3 = 2.5v $，即$ v=1.2 $。
此时$ BF = 1.2×2.5 = 3 \, \mathrm{cm} = BC $，符合运动要求。
综上，点F的运动速度为1或1.2 cm/s。
【答案】
1或1.2
【知识点】
全等三角形的判定与性质，动点问题，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略全等三角形对应顶点的多种可能，导致漏解，解题时要结合已知等角确定对应关系，分类讨论后还要注意验证结果是否符合运动的实际范围，保证解的合理性。
【难度系数】
0.6

11. 如图,线段AC交BD于点O,点E,F在线段AC上,$△ DFO ≌ △ BEO$,且$AF=CE$,连接AB,CD.求证:$AB=CD$.

11. 证明:$\because △ DFO≌△ BEO,\therefore OF=OE,DO=BO.$
又$\because AF=CE,\therefore AF+OF=CE+OE,\therefore AO=CO.$
在$△ ABO$和$△ CDO$中,$\begin{cases} AO=CO, \\ ∠ AOB=∠ COD, \\ BO=DO, \end{cases}$
$\therefore △ ABO≌△ CDO(\mathrm{SAS}),\therefore AB=CD.$

【分析】
要证明$AB=CD$，可通过证明$AB$、$CD$所在的$△ ABO$和$△ CDO$全等来实现。首先根据已知的$△ DFO≌△ BEO$，利用全等三角形的性质可得对应边$OF=OE$、$DO=BO$；再结合已知$AF=CE$，通过线段和的关系可推出$AO=CO$；最后结合对顶角$∠ AOB=∠ COD$，即可通过SAS判定两个三角形全等，进而得到对应边相等。
【解析】
证明:$\because △ DFO≌△ BEO,\therefore OF=OE,DO=BO.$
又$\because AF=CE,\therefore AF+OF=CE+OE,\therefore AO=CO.$
在$△ ABO$和$△ CDO$中,$\begin{cases} AO=CO, \\ ∠ AOB=∠ COD, \\ BO=DO, \end{cases}$
$\therefore △ ABO≌△ CDO(\mathrm{SAS}),\therefore AB=CD.$
【答案】
$AB=CD$，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的性质、全等三角形SAS判定、对顶角相等
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题时可先从待证结论出发，逆向推导所需的全等条件，再结合已知条件逐步推导获得判定全等的要素，能很好地考查学生对全等判定及性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.8

12. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$上一点(不与点$B,C$重合)，以$AD$为一边在$AD$的右侧作$△ ADE$，使$AD=AE$，$∠ DAE=∠ BAC$，连接$CE$.
(1)如图①，$∠ BAC=90°$.
①求证：$△ ABD≌△ ACE$；②求$∠ BCE$的度数.
(2)如图②，设$∠ BAC=α$，$∠ BCE=β$，则$α,β$之间有怎样的数量关系？并说明理由.

12. (1)①证明:$\because ∠ BAC=∠ DAE$,
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$,即$∠ BAD=∠ CAE.$
在$△ ABD$与$△ ACE$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS}).$
②解:$\because △ ABD≌△ ACE$,
$\therefore ∠ B=∠ ACE,\therefore ∠ B+∠ ACB=∠ ACE+∠ ACB$,
$\therefore ∠ BCE=∠ B+∠ ACB.$ 又$∠ BAC=90°$,
$\therefore ∠ B+∠ ACB=90°,\therefore ∠ BCE=90°.$
(2)解:$α+β=180°.$
理由:由(1)①知$△ ABD≌△ ACE,\therefore ∠ B=∠ ACE$,
$\therefore ∠ B+∠ ACB=∠ ACE+∠ ACB$,
$\therefore ∠ B+∠ ACB=β.$
$\because ∠ BAC+∠ B+∠ ACB=180°$,
$\therefore α+β=180°.$

【分析】
(1)①要证明$△ ABD≌△ ACE$，已知$AB=AC$、$AD=AE$，只需证明两组对应边的夹角相等即可；由已知$∠ BAC=∠ DAE$，两个角同时减去公共角$∠ DAC$，即可得到$∠ BAD=∠ CAE$，满足SAS全等判定条件。②求$∠ BCE$的度数，可利用全等三角形对应角相等的性质，得到$∠ B=∠ ACE$，将$∠ BCE$转化为$∠ ACB+∠ ACE=∠ ACB+∠ B$，结合$△ ABC$中$∠ BAC=90°$，由三角形内角和可知$∠ B+∠ ACB=90°$，即可求出$∠ BCE$的度数。
(2)推导$α$和$β$的数量关系，可沿用(1)的思路，先证$△ ABD≌△ ACE$得到$∠ B=∠ ACE$，进而推出$∠ BCE=∠ B+∠ ACB$，再结合$△ ABC$的内角和为$180°$，代入$∠ BAC=α$即可得到$α$与$β$的关系。
【解析】
(1)①证明：$\because ∠ BAC=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$.
在$△ ABD$与$△ ACE$中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$.
②解：$\because △ ABD≌△ ACE$，
$\therefore ∠ B=∠ ACE$，
$\therefore ∠ B+∠ ACB=∠ ACE+∠ ACB$，
$\therefore ∠ BCE=∠ B+∠ ACB$.
又$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ B+∠ ACB=180°-∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ BCE=90°$.
(2)解：$α+β=180°$，理由如下：
由(1)①的方法可证$△ ABD≌△ ACE$，
$\therefore ∠ B=∠ ACE$，
$\therefore ∠ B+∠ ACB=∠ ACE+∠ ACB$，
即$∠ B+∠ ACB=∠ BCE=β$.
$\because$在$△ ABC$中，$∠ BAC+∠ B+∠ ACB=180°$，$∠ BAC=α$，
$\therefore α+β=180°$.
【答案】
(1)①$△ ABD≌△ ACE$得证；②$∠ BCE=90°$
(2)$α+β=180°$
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形全等的基础综合题，解题核心是通过角的和差关系推导得到全等的判定条件，再利用全等性质转移角，结合三角形内角和定理求解角度关系，能有效考查对全等判定和性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7