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6. 如图，$△ AOB ≌ △ ADC$，$∠ O = ∠ D = 90°$，记$∠ OAD = α$，$∠ ABO = β$。当$BC // OA$时，$α$与$β$之间的数量关系为 （
A.$α = β$
B.$α = 2β$
C.$α + β = 90°$
D.$α + 2β = 180°$
B
）A.$α = β$
B.$α = 2β$
C.$α + β = 90°$
D.$α + 2β = 180°$
答案
6.B
解析
【分析】
解题时先从已知的全等三角形入手，利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，得出AB=AC，且∠BAC=∠OAD=α，进而判断△ABC是等腰三角形，可表示出其底角∠ABC的度数。再结合BC//OA的条件，利用平行线同旁内角互补的性质，得到∠OBC=90°，最后将∠OBC拆分为∠ABO与∠ABC的和，代入表达式化简即可得到α与β的数量关系。
【解析】
∵△AOB≌△ADC，
∴AB=AC，∠OAB=∠DAC，
∴∠OAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD，即∠BAC=∠OAD=α。
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-α}{2}$。
∵BC//OA，∠O=90°，
∴∠O+∠OBC=180°，即∠OBC=90°。
又
∵∠OBC=∠ABO+∠ABC=$β + \frac{180°-α}{2}$，
∴$β + \frac{180°-α}{2}=90°$，
两边同乘2得：$2β +180° - α =180°$，
化简得：$α=2β$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将全等三角形、等腰三角形、平行线的性质结合考查，解题的关键是通过全等转化角的关系，再结合平行线的性质建立等式推导，熟练掌握各基础几何性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的全等三角形入手，利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，得出AB=AC，且∠BAC=∠OAD=α，进而判断△ABC是等腰三角形，可表示出其底角∠ABC的度数。再结合BC//OA的条件，利用平行线同旁内角互补的性质，得到∠OBC=90°，最后将∠OBC拆分为∠ABO与∠ABC的和，代入表达式化简即可得到α与β的数量关系。
【解析】
∵△AOB≌△ADC，
∴AB=AC，∠OAB=∠DAC，
∴∠OAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD，即∠BAC=∠OAD=α。
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-α}{2}$。
∵BC//OA，∠O=90°，
∴∠O+∠OBC=180°，即∠OBC=90°。
又
∵∠OBC=∠ABO+∠ABC=$β + \frac{180°-α}{2}$，
∴$β + \frac{180°-α}{2}=90°$，
两边同乘2得：$2β +180° - α =180°$，
化简得：$α=2β$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将全等三角形、等腰三角形、平行线的性质结合考查，解题的关键是通过全等转化角的关系，再结合平行线的性质建立等式推导，熟练掌握各基础几何性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
7.(2025·工业园区月考)如图，D，E分别是$△ ABC$的边AC，BC上的点，若$△ ADB≌△ EDB≌△ EDC$，则$∠ C$的度数为
$30°$
.答案
7.$30°$
解析
【分析】
解题时首先利用全等三角形对应角相等的性质，得到多组相等的角，再结合点E在BC上的特征，由平角为180°推出∠A=∠BED=∠CED=90°，最后结合三角形内角和定理，建立∠C的等量关系即可求解。
【解析】
已知$△ ADB≌△ EDB≌△ EDC$，根据全等三角形对应角相等的性质可得：
$∠ A=∠ BED=∠ CED$，$∠ ABD=∠ EBD=∠ C$。
$\because$点$E$在边$BC$上，$\therefore ∠ BED+∠ CED=180°$，
$\therefore ∠ BED=∠ CED=90°$，即$∠ A=90°$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，
又$\because ∠ ABC=∠ ABD+∠ EBD=∠ C+∠ C=2∠ C$，
代入得：$90°+2∠ C+∠ C=180°$，
解得$3∠ C=90°$，即$∠ C=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理；平角的定义
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题的核心是通过全等关系梳理出角之间的等量关系，再结合几何中角的基本定理建立方程求解，需要熟练掌握全等三角形对应角相等的性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用全等三角形对应角相等的性质，得到多组相等的角，再结合点E在BC上的特征，由平角为180°推出∠A=∠BED=∠CED=90°，最后结合三角形内角和定理，建立∠C的等量关系即可求解。
【解析】
已知$△ ADB≌△ EDB≌△ EDC$，根据全等三角形对应角相等的性质可得：
$∠ A=∠ BED=∠ CED$，$∠ ABD=∠ EBD=∠ C$。
$\because$点$E$在边$BC$上，$\therefore ∠ BED+∠ CED=180°$，
$\therefore ∠ BED=∠ CED=90°$，即$∠ A=90°$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，
又$\because ∠ ABC=∠ ABD+∠ EBD=∠ C+∠ C=2∠ C$，
代入得：$90°+2∠ C+∠ C=180°$，
解得$3∠ C=90°$，即$∠ C=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理；平角的定义
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题的核心是通过全等关系梳理出角之间的等量关系，再结合几何中角的基本定理建立方程求解，需要熟练掌握全等三角形对应角相等的性质。
【难度系数】
0.7
8. 如图，N，C，A三点在同一条直线上，在$△ ABC$中，$∠ A: ∠ ABC: ∠ ACB=3:5:10$，又$△ MNC ≌ △ ABC$，则$∠ BCM: ∠ BCN=$
$1:4$
.答案
8.$1:4$
解析
【分析】
首先根据△ABC三个内角的比值，结合三角形内角和为180°，求出△ABC各内角的度数；再利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠MCN与∠ACB相等；接着结合N、C、A共线的条件，利用平角为180°求出∠BCN的度数，再用∠MCN减去∠BCN得到∠BCM的度数，最后计算两个角的比值即可。
【解析】
1. 计算△ABC各内角度数
已知∠A:∠ABC:∠ACB=3:5:10，三角形内角和为180°，总份数为$3+5+10=18$，每份对应度数为$180°÷18=10°$，因此：
$∠ A=3×10°=30°$，$∠ ABC=5×10°=50°$，$∠ ACB=10×10°=100°$。
2. 利用全等三角形性质
因为$△ MNC ≌ △ ABC$，所以对应角相等，即$∠ MCN=∠ ACB=100°$。
3. 求$∠ BCN$的度数
因为N、C、A三点共线，$∠ NCA=180°$，即$∠ ACB+∠ BCN=180°$，因此：
$∠ BCN=180°-∠ ACB=180°-100°=80°$。
4. 求$∠ BCM$的度数并计算比值
$∠ BCM=∠ MCN-∠ BCN=100°-80°=20°$，因此$∠ BCM:∠ BCN=20°:80°=1:4$。
【答案】
$1:4$
【知识点】
三角形内角和定理，全等三角形的性质，平角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心是利用角度比例关系和全等三角形的对应角性质求解角度，解题时要注意共线条件隐含的平角关系，避免因对应角混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.7
首先根据△ABC三个内角的比值，结合三角形内角和为180°，求出△ABC各内角的度数；再利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠MCN与∠ACB相等；接着结合N、C、A共线的条件，利用平角为180°求出∠BCN的度数，再用∠MCN减去∠BCN得到∠BCM的度数，最后计算两个角的比值即可。
【解析】
1. 计算△ABC各内角度数
已知∠A:∠ABC:∠ACB=3:5:10，三角形内角和为180°，总份数为$3+5+10=18$，每份对应度数为$180°÷18=10°$，因此：
$∠ A=3×10°=30°$，$∠ ABC=5×10°=50°$，$∠ ACB=10×10°=100°$。
2. 利用全等三角形性质
因为$△ MNC ≌ △ ABC$，所以对应角相等，即$∠ MCN=∠ ACB=100°$。
3. 求$∠ BCN$的度数
因为N、C、A三点共线，$∠ NCA=180°$，即$∠ ACB+∠ BCN=180°$，因此：
$∠ BCN=180°-∠ ACB=180°-100°=80°$。
4. 求$∠ BCM$的度数并计算比值
$∠ BCM=∠ MCN-∠ BCN=100°-80°=20°$，因此$∠ BCM:∠ BCN=20°:80°=1:4$。
【答案】
$1:4$
【知识点】
三角形内角和定理，全等三角形的性质，平角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心是利用角度比例关系和全等三角形的对应角性质求解角度，解题时要注意共线条件隐含的平角关系，避免因对应角混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.7
9. 如图，A，D，E三点在同一条直线上，且$△ BAD ≌ △ ACE$.
（1）求证：$BD=DE+CE$；
（2）当$∠ BAC$满足什么条件时，$BD// CE$？
（1）求证：$BD=DE+CE$；
（2）当$∠ BAC$满足什么条件时，$BD// CE$？
答案
9.(1)证明:$∵△BAD≌△ACE,∴BD=AE,AD=CE$,
$∴BD=AE=AD+DE=CE+DE$,
$∴BD=DE+CE$.
(2)解:当$∠BAC=90°$时,$BD// CE$.理由如下：
$∵△BAD≌△ACE$,
$∴∠CAE=∠ABD,∠ADB=∠AEC$.
$∵∠BAC=90°,∴∠BAE+∠CAE=90°$,
$∴∠ABD+∠BAD=90°$,
$∴∠ADB=90°,∴∠BDE=90°$.
又$∠AEC=∠ADB=90°$,
$∴∠BDE=∠AEC,∴BD// CE$.
$∴BD=AE=AD+DE=CE+DE$,
$∴BD=DE+CE$.
(2)解:当$∠BAC=90°$时,$BD// CE$.理由如下：
$∵△BAD≌△ACE$,
$∴∠CAE=∠ABD,∠ADB=∠AEC$.
$∵∠BAC=90°,∴∠BAE+∠CAE=90°$,
$∴∠ABD+∠BAD=90°$,
$∴∠ADB=90°,∴∠BDE=90°$.
又$∠AEC=∠ADB=90°$,
$∴∠BDE=∠AEC,∴BD// CE$.
解析
【分析】
（1）要证明BD=DE+CE，首先利用全等三角形对应边相等的性质，可得BD=AE、AD=CE，再结合线段AE=AD+DE的和差关系，将AD替换为CE，即可推导出结论；
（2）要判断BD//CE的条件，根据平行线的判定定理，需证内错角∠BDE=∠AEC。结合全等三角形对应角相等的性质，若∠BAC=90°，可通过角的等量代换推出∠ADB=∠AEC=90°，进而得到∠BDE=∠AEC，满足平行的判定条件，因此可推出∠BAC=90°时BD//CE。
【解析】
(1)证明：
∵△BAD≌△ACE，
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，
∴BD=DE+CE。
(2)解：当∠BAC=90°时，BD// CE。理由如下：
∵△BAD≌△ACE，
∴∠CAE=∠ABD，∠ADB=∠AEC。
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE=90°。
又
∵∠AEC=∠ADB=90°，
∴∠BDE=∠AEC，
∴BD// CE。
【答案】
(1) BD=DE+CE得证；
(2) 当∠BAC=90°时，BD//CE。
【知识点】
全等三角形的性质，平行线的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，核心考查全等三角形对应边、对应角相等的性质，解题时需要找准全等三角形的对应元素，结合线段和差、角的等量代换和平行线判定定理逐步推导，对巩固全等相关基础知识点有较好的作用。
【难度系数】
0.7
（1）要证明BD=DE+CE，首先利用全等三角形对应边相等的性质，可得BD=AE、AD=CE，再结合线段AE=AD+DE的和差关系，将AD替换为CE，即可推导出结论；
（2）要判断BD//CE的条件，根据平行线的判定定理，需证内错角∠BDE=∠AEC。结合全等三角形对应角相等的性质，若∠BAC=90°，可通过角的等量代换推出∠ADB=∠AEC=90°，进而得到∠BDE=∠AEC，满足平行的判定条件，因此可推出∠BAC=90°时BD//CE。
【解析】
(1)证明：
∵△BAD≌△ACE，
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，
∴BD=DE+CE。
(2)解：当∠BAC=90°时，BD// CE。理由如下：
∵△BAD≌△ACE，
∴∠CAE=∠ABD，∠ADB=∠AEC。
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE=90°。
又
∵∠AEC=∠ADB=90°，
∴∠BDE=∠AEC，
∴BD// CE。
【答案】
(1) BD=DE+CE得证；
(2) 当∠BAC=90°时，BD//CE。
【知识点】
全等三角形的性质，平行线的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，核心考查全等三角形对应边、对应角相等的性质，解题时需要找准全等三角形的对应元素，结合线段和差、角的等量代换和平行线判定定理逐步推导，对巩固全等相关基础知识点有较好的作用。
【难度系数】
0.7
10. 如图,点A,B,C在同一条直线上,点E在BD上,且$△ ABD ≌ △ EBC$,AB＝2 cm,BC＝3 cm.
(1)求DE的长；
(2)判断AC与BD的位置关系,并说明理由；
(3)判断直线AD与直线CE的位置关系,并说明理由.
(1)求DE的长；
(2)判断AC与BD的位置关系,并说明理由；
(3)判断直线AD与直线CE的位置关系,并说明理由.
答案
10.解:(1)$∵△ABD≌△EBC,∴BD=BC=3\ \mathrm{cm},BE=AB=2\ \mathrm{cm},∴DE=BD-BE=1\ \mathrm{cm}$.
(2)DB与AC垂直.
理由:$∵△ABD≌△EBC,∴∠ABD=∠EBC$.
又点A,B,C在同一条直线上,
$∴∠EBC=90°$,
$∴DB与AC垂直$.
(3)直线AD与直线CE垂直.
理由:如答图,延长CE交AD于点F.
$∵△ABD≌△EBC$,
$∴∠D=∠C$.
$∵在△ABD中,∠A+∠D=90°$,
$∴∠A+∠C=90°,∴∠AFC=90°,即CE⊥AD$.
第10题答图解析
【分析】
解题时结合全等三角形的性质逐步推导：
(1) 求DE的长：先利用全等三角形对应边相等的性质，确定△ABD和△EBC的对应边BD与BC、BE与AB分别相等，得到BD和BE的长度后，通过线段差DE=BD-BE即可计算结果；
(2) 判断AC与BD的位置关系：先由全等得对应角∠ABD=∠EBC，结合A、B、C共线可知两角和为平角180°，可推出两角均为90°，即可判定垂直；
(3) 判断AD与CE的位置关系：作辅助线延长CE交AD于F，由全等得对应角∠D=∠C，结合Rt△ABD中两锐角和为90°，等量代换得到∠A+∠C=90°，即可推出∠AFC=90°，判定两直线垂直。
【解析】
(1) $\because△ ABD≌△ EBC$，根据全等三角形对应边相等，可得$BD=BC=3\ \mathrm{cm}$，$BE=AB=2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=BD-BE=3-2=1\ \mathrm{cm}$。
(2) $AC⊥ BD$，理由如下：
$\because△ ABD≌△ EBC$，$\therefore∠ ABD=∠ EBC$，
又$\because$点A、B、C在同一条直线上，$\therefore∠ ABD+∠ EBC=180°$，
$\therefore∠ EBC=∠ ABD=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$AC⊥ BD$。
(3) $AD⊥ CE$，理由如下：
如答图，延长CE交AD于点F，
第10题答图
$\because△ ABD≌△ EBC$，$\therefore∠ D=∠ C$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ A+∠ D=90°$，
$\therefore∠ A+∠ C=90°$，
在$△ AFC$中，$∠ AFC=180°-(∠ A+∠ C)=90°$，
$\therefore CE⊥ AD$，即直线AD与直线CE垂直。
【答案】
(1) $DE=1\ \mathrm{cm}$；
(2) $AC⊥ BD$，理由见解析；
(3) $AD⊥ CE$，理由见解析；
第10题答图
【知识点】
全等三角形的性质；垂直的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，解题核心是准确识别全等三角形的对应边、对应角，结合平角、直角三角形的角度性质即可求解，需掌握构造辅助线判断直线位置关系的思路。
【难度系数】
0.7
解题时结合全等三角形的性质逐步推导：
(1) 求DE的长：先利用全等三角形对应边相等的性质，确定△ABD和△EBC的对应边BD与BC、BE与AB分别相等，得到BD和BE的长度后，通过线段差DE=BD-BE即可计算结果；
(2) 判断AC与BD的位置关系：先由全等得对应角∠ABD=∠EBC，结合A、B、C共线可知两角和为平角180°，可推出两角均为90°，即可判定垂直；
(3) 判断AD与CE的位置关系：作辅助线延长CE交AD于F，由全等得对应角∠D=∠C，结合Rt△ABD中两锐角和为90°，等量代换得到∠A+∠C=90°，即可推出∠AFC=90°，判定两直线垂直。
【解析】
(1) $\because△ ABD≌△ EBC$，根据全等三角形对应边相等，可得$BD=BC=3\ \mathrm{cm}$，$BE=AB=2\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=BD-BE=3-2=1\ \mathrm{cm}$。
(2) $AC⊥ BD$，理由如下：
$\because△ ABD≌△ EBC$，$\therefore∠ ABD=∠ EBC$，
又$\because$点A、B、C在同一条直线上，$\therefore∠ ABD+∠ EBC=180°$，
$\therefore∠ EBC=∠ ABD=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$AC⊥ BD$。
(3) $AD⊥ CE$，理由如下：
如答图，延长CE交AD于点F，
第10题答图$\because△ ABD≌△ EBC$，$\therefore∠ D=∠ C$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ A+∠ D=90°$，
$\therefore∠ A+∠ C=90°$，
在$△ AFC$中，$∠ AFC=180°-(∠ A+∠ C)=90°$，
$\therefore CE⊥ AD$，即直线AD与直线CE垂直。
【答案】
(1) $DE=1\ \mathrm{cm}$；
(2) $AC⊥ BD$，理由见解析；
(3) $AD⊥ CE$，理由见解析；
第10题答图【知识点】
全等三角形的性质；垂直的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，解题核心是准确识别全等三角形的对应边、对应角，结合平角、直角三角形的角度性质即可求解，需掌握构造辅助线判断直线位置关系的思路。
【难度系数】
0.7
