4. 如图，等边$△ ABC$的边长为1，$DB = DC$，$∠ BDC = 120°$，点$M$、$N$分别在边$AB$、$AC$上，且$∠ MDN = 60°$，求$△ AMN$的周长.

4. 2. ( 提示: 延长 NC 至 P 点, 使 CP = BM, 通过求证△MBD ≌ △PCD, 知 MD = PD, ∠MDN = ∠PDN = 60°, 再证△MDN ≌ △PDN, 知 MN = NP = NC + CP = NC + MB, 可得△AMN 的周长为 AB + AC,即为 2. )

5. 如图，已知$△ ABC$为等边三角形，延长$BC$到$D$，延长$BA$到$E$，并且使$AE = BD$，连接$CE$、$DE$. 求证：$EC = ED$.

5. 提示: 延长 BD 至 F, 使得 BC = DF.EB = EA + AB = BD + BC = BD + DF = BF, 知△EBF 为正三角形 . 通过证明△BCE ≌ △FDE, 得 EC = ED.

如图, 在 $△ ABC$ 中, 设 $∠ BAC$ 的平分线与 $BC$ 的垂直平分线交于点 $G$, 连接 $BG$、$CG$, 过点 $G$ 作 $AB$、$AC$ 的垂线, 垂足分别为 $D$、$E$. 可证 $△ ADG ≌ △ AEG$, $△ BHG ≌ △ CHG$.

于是 $AD = AE$, $BD = CE$, 可得 $AB = AC$.
首先, 请你给上述两组三角形全等找找相应的理由.
其次, 想想上述论证中是否有漏洞. 我们是否可以论证所有的三角形都是等腰三角形了? 也可以问问同学、老师, 或者到网上查找答案.

△ADG≌△AEG的理由是AAS，△BHG≌△CHG的理由是SAS；论证存在漏洞，不能论证所有三角形都是等腰三角形。

1. 证明△ADG≌△AEG的理由：∵AG是∠BAC的平分线，∴∠DAG=∠EAG；∵GD⊥AB，GE⊥AC，∴∠ADG=∠AEG=90°；又AG为公共边，根据角角边（AAS）全等判定定理，可得△ADG≌△AEG。2. 证明△BHG≌△CHG的理由：∵GH是BC的垂直平分线，∴BH=CH，∠BHG=∠CHG=90°；又GH为公共边，根据边角边（SAS）全等判定定理，可得△BHG≌△CHG。3. 论证漏洞：该论证存在漏洞，点G的位置不确定，当△ABC为钝角三角形时，点G会在三角形外部，此时无法得出BD=CE，进而无法得到AB=AC，因此不能论证所有三角形都是等腰三角形。