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1. 如图,在正方形 $ABCD$ 的外侧,作等边三角形 $ADE$,则$∠ BEC$ 的度数为 （
A.$45°$
B.$30°$
C.$15°$
D.$10°$
B
）A.$45°$
B.$30°$
C.$15°$
D.$10°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先结合已知的正方形和等边三角形的性质，找到图形中的等腰三角形：首先正方形四边相等、内角为90°，等边三角形三边相等、内角为60°，可推导出△ABE和△DCE均为等腰三角形；再计算两个等腰三角形的顶角大小，求出对应的底角度数；最后用等边三角形的∠AED减去两个底角的度数，即可得到∠BEC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠CDA=90°
∵△ADE是等边三角形
∴AE=AD=DE，∠DAE=∠ADE=∠AED=60°
∴AE=AB，DE=DC，
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
∠CDE=∠CDA+∠ADE=90°+60°=150°。
在△ABE中，AB=AE，
∴∠AEB=(180°-∠BAE)÷2=(180°-150°)÷2=15°，
同理可得∠DEC=15°，
∴∠BEC=∠AED - ∠AEB - ∠DEC=60°-15°-15°=30°。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形角度计算
【点评】
本题属于特殊图形性质的基础综合题，核心是通过边的等量关系识别出等腰三角形，再逐步推导各角度数，熟练掌握常见特殊图形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的正方形和等边三角形的性质，找到图形中的等腰三角形：首先正方形四边相等、内角为90°，等边三角形三边相等、内角为60°，可推导出△ABE和△DCE均为等腰三角形；再计算两个等腰三角形的顶角大小，求出对应的底角度数；最后用等边三角形的∠AED减去两个底角的度数，即可得到∠BEC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠CDA=90°
∵△ADE是等边三角形
∴AE=AD=DE，∠DAE=∠ADE=∠AED=60°
∴AE=AB，DE=DC，
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
∠CDE=∠CDA+∠ADE=90°+60°=150°。
在△ABE中，AB=AE，
∴∠AEB=(180°-∠BAE)÷2=(180°-150°)÷2=15°，
同理可得∠DEC=15°，
∴∠BEC=∠AED - ∠AEB - ∠DEC=60°-15°-15°=30°。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形角度计算
【点评】
本题属于特殊图形性质的基础综合题，核心是通过边的等量关系识别出等腰三角形，再逐步推导各角度数，熟练掌握常见特殊图形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,作EF⊥AD于点F,连接DE.若DF=2,则DE的长为（
A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.4
D.2.5
B
）A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.4
D.2.5
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先利用正方形的性质得到AD的长度和∠CAD的度数，结合已知DF的长度求出AF的长；再根据EF⊥AD推出△AEF是等腰直角三角形，得到EF的长度；最后在直角三角形EFD中利用勾股定理即可求出DE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴AD=6，对角线AC平分∠BAD，即∠CAD=45°，
∵DF=2，
∴AF=AD-DF=6-2=4，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE=∠EFD=90°，
在△AEF中，∠FAE=45°，∠AFE=90°，
∴∠AEF=180°-90°-45°=45°，即∠AEF=∠FAE，
∴EF=AF=4，
在Rt△EFD中，EF=4，DF=2，由勾股定理得：
DE=√(EF²+DF²)=√(4²+2²)=√20=2√5。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形性质应用的基础题型，解题的核心是抓住正方形对角线平分内角的特点，推导出等腰直角三角形得到EF的长度，再结合勾股定理求解线段长，有助于巩固特殊四边形和直角三角形的相关知识。
【难度系数】
0.7
解题时先利用正方形的性质得到AD的长度和∠CAD的度数，结合已知DF的长度求出AF的长；再根据EF⊥AD推出△AEF是等腰直角三角形，得到EF的长度；最后在直角三角形EFD中利用勾股定理即可求出DE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴AD=6，对角线AC平分∠BAD，即∠CAD=45°，
∵DF=2，
∴AF=AD-DF=6-2=4，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE=∠EFD=90°，
在△AEF中，∠FAE=45°，∠AFE=90°，
∴∠AEF=180°-90°-45°=45°，即∠AEF=∠FAE，
∴EF=AF=4，
在Rt△EFD中，EF=4，DF=2，由勾股定理得：
DE=√(EF²+DF²)=√(4²+2²)=√20=2√5。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形性质应用的基础题型，解题的核心是抓住正方形对角线平分内角的特点，推导出等腰直角三角形得到EF的长度，再结合勾股定理求解线段长，有助于巩固特殊四边形和直角三角形的相关知识。
【难度系数】
0.7
3. 如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么还需进一步证明 （
A.$AB=BD$ 且 $AC ⊥ BD$
B.$∠ A = ∠ B$ 且 $AB = AD$
C.$∠ A = ∠ B$ 且 $AC = BD$
D.AC和BD互相垂直平分
B
）A.$AB=BD$ 且 $AC ⊥ BD$
B.$∠ A = ∠ B$ 且 $AB = AD$
C.$∠ A = ∠ B$ 且 $AC = BD$
D.AC和BD互相垂直平分
答案
3.B
解析
【分析】
要证明平行四边形是正方形，需明确正方形的判定逻辑：正方形同时具备矩形和菱形的特征，因此平行四边形证正方形，需要同时满足矩形的判定条件和菱形的判定条件。解题时先结合平行四边形的固有性质，逐个分析每个选项给出的条件能推导出的结论，判断是否同时满足矩形、菱形的判定要求即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，先回忆平行四边形性质：对边平行、对角相等、对角线互相平分。接下来逐一分析选项：
A. 由$AC⊥BD$，可得对角线垂直的平行四边形是菱形；但$AB=BD$（边与对角线相等）无法推出平行四边形有直角，不能判定为正方形，A错误。
B. 平行四边形中$AD//BC$，因此$∠A+∠B=180°$，结合$∠A=∠B$，可得$∠A=∠B=90°$，有一个角是直角的平行四边形是矩形；又$AB=AD$，一组邻边相等的平行四边形是菱形。该平行四边形既是矩形又是菱形，因此是正方形，B正确。
C. 由$∠A=∠B$可推出平行四边形是矩形，$AC=BD$是矩形的判定条件，两个条件都只能证明该四边形是矩形，无法证明是菱形，不能判定为正方形，C错误。
D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，仅能证明该平行四边形是菱形，无法证明是矩形，不能判定为正方形，D错误。
【答案】
B
【知识点】
正方形的判定、平行四边形的性质、特殊四边形的判定
【点评】
本题核心考查特殊平行四边形的判定逻辑，解题关键是明确正方形需同时满足矩形和菱形的判定要求，要注意区分不同特殊四边形的判定条件，避免混淆概念导致错选。
【难度系数】
0.8
要证明平行四边形是正方形，需明确正方形的判定逻辑：正方形同时具备矩形和菱形的特征，因此平行四边形证正方形，需要同时满足矩形的判定条件和菱形的判定条件。解题时先结合平行四边形的固有性质，逐个分析每个选项给出的条件能推导出的结论，判断是否同时满足矩形、菱形的判定要求即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，先回忆平行四边形性质：对边平行、对角相等、对角线互相平分。接下来逐一分析选项：
A. 由$AC⊥BD$，可得对角线垂直的平行四边形是菱形；但$AB=BD$（边与对角线相等）无法推出平行四边形有直角，不能判定为正方形，A错误。
B. 平行四边形中$AD//BC$，因此$∠A+∠B=180°$，结合$∠A=∠B$，可得$∠A=∠B=90°$，有一个角是直角的平行四边形是矩形；又$AB=AD$，一组邻边相等的平行四边形是菱形。该平行四边形既是矩形又是菱形，因此是正方形，B正确。
C. 由$∠A=∠B$可推出平行四边形是矩形，$AC=BD$是矩形的判定条件，两个条件都只能证明该四边形是矩形，无法证明是菱形，不能判定为正方形，C错误。
D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，仅能证明该平行四边形是菱形，无法证明是矩形，不能判定为正方形，D错误。
【答案】
B
【知识点】
正方形的判定、平行四边形的性质、特殊四边形的判定
【点评】
本题核心考查特殊平行四边形的判定逻辑，解题关键是明确正方形需同时满足矩形和菱形的判定要求，要注意区分不同特殊四边形的判定条件，避免混淆概念导致错选。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于原点 O.若点 A 的坐标是(2,1),则点 C 的坐标是
(-2,-1)
.答案
4.(-2,-1)
解析
【分析】
解题思路：首先根据正方形的性质可知，正方形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心，本题中对角线交点是原点O，因此点A和点C关于原点O对称；再结合关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数），即可求出点C的坐标。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O，
∴原点O是正方形的对称中心，点A与点C关于原点O对称。
∵关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数，点A的坐标为(2,1)，
∴点C的坐标为(-2,-1)。
【答案】
(-2,-1)
【知识点】
正方形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题关键是明确正方形对角线交点为对称中心，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先根据正方形的性质可知，正方形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心，本题中对角线交点是原点O，因此点A和点C关于原点O对称；再结合关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数），即可求出点C的坐标。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O，
∴原点O是正方形的对称中心，点A与点C关于原点O对称。
∵关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数，点A的坐标为(2,1)，
∴点C的坐标为(-2,-1)。
【答案】
(-2,-1)
【知识点】
正方形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题关键是明确正方形对角线交点为对称中心，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 如图,以正方形ABCD的顶点A为圆心,AD的长为半径画弧,交对角线AC于点E,再分别以点D,E为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径画弧,两弧交于点F,连接AF并延长,与BC的延长线交于点P,则$∠P$的度数为
$22.5°$
.答案
5.$22.5°$
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，根据正方形的性质，其对角线平分内角，可直接得到∠DAC的度数为45°；第二步，识别题中的尺规作图是作角平分线的操作，因此AP平分∠DAC，可计算出∠DAP的度数；第三步，利用正方形对边平行的性质，结合平行线内错角相等的规律，即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DAC=45°，AD//BC
由尺规作图步骤可知，AP是∠DAC的角平分线
∴$∠ DAP=\frac{1}{2}∠ DAC=\frac{1}{2}×45°=22.5°$
∵AD//BP（BC延长至P，AD与BP平行）
∴$∠ P=∠ DAP=22.5°$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
$22.5°$
【知识点】
正方形的性质，角平分线的尺规作图，平行线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是准确识别尺规作图的类型，结合正方形和平行线的性质即可求解，是几何基础知识点的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步思考：第一步，根据正方形的性质，其对角线平分内角，可直接得到∠DAC的度数为45°；第二步，识别题中的尺规作图是作角平分线的操作，因此AP平分∠DAC，可计算出∠DAP的度数；第三步，利用正方形对边平行的性质，结合平行线内错角相等的规律，即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DAC=45°，AD//BC
由尺规作图步骤可知，AP是∠DAC的角平分线
∴$∠ DAP=\frac{1}{2}∠ DAC=\frac{1}{2}×45°=22.5°$
∵AD//BP（BC延长至P，AD与BP平行）
∴$∠ P=∠ DAP=22.5°$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
$22.5°$
【知识点】
正方形的性质，角平分线的尺规作图，平行线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是准确识别尺规作图的类型，结合正方形和平行线的性质即可求解，是几何基础知识点的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$□ ABCD$中,$AE ⊥ BC$于点$E$,$CF ⊥ AD$于点$F$,$∠ B = 60°$,$AB = 2$.若$AD=$
$\sqrt{3}+1$
,则四边形$AECF$是正方形.答案
6.$\sqrt{3}+1$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先，由平行四边形ABCD的性质可知AD=BC，且AD//BC，结合AE⊥BC、CF⊥AD的条件，可先判断四边形AECF是矩形；要使矩形AECF成为正方形，需满足一组邻边相等，即AE=EC。接下来我们先在Rt△ABE中利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理算出BE、AE的长度，再结合AE=EC得到EC的长度，最后由BC=BE+EC即可求出AD的长度。
【解析】
解：在Rt△ABE中，∠B=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=2，
∴$BE=\frac{1}{2}AB=1$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
∵AE⊥BC，CF⊥AD，AD//BC，
∴∠AEC=∠EAF=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是矩形。
若要四边形AECF是正方形，则需邻边相等，即AE=EC，
∴$EC=AE=\sqrt{3}$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC=BE+EC=1+\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}+1$
【知识点】
平行四边形的性质；正方形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题将特殊四边形的判定与直角三角形的线段计算结合考查，需要同学们熟练掌握矩形、正方形的判定条件，明确要得到正方形需给矩形添加邻边相等的限制，再逐步计算对应线段长度即可求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先，由平行四边形ABCD的性质可知AD=BC，且AD//BC，结合AE⊥BC、CF⊥AD的条件，可先判断四边形AECF是矩形；要使矩形AECF成为正方形，需满足一组邻边相等，即AE=EC。接下来我们先在Rt△ABE中利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理算出BE、AE的长度，再结合AE=EC得到EC的长度，最后由BC=BE+EC即可求出AD的长度。
【解析】
解：在Rt△ABE中，∠B=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=2，
∴$BE=\frac{1}{2}AB=1$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
∵AE⊥BC，CF⊥AD，AD//BC，
∴∠AEC=∠EAF=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是矩形。
若要四边形AECF是正方形，则需邻边相等，即AE=EC，
∴$EC=AE=\sqrt{3}$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC=BE+EC=1+\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}+1$
【知识点】
平行四边形的性质；正方形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题将特殊四边形的判定与直角三角形的线段计算结合考查，需要同学们熟练掌握矩形、正方形的判定条件，明确要得到正方形需给矩形添加邻边相等的限制，再逐步计算对应线段长度即可求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BG⊥AE,垂足为点G,延长BG交CD于点F,连接AF.
(1)求证:$BE=CF$;
(2)若$AB=5,BE=2$,求AF的长.
(1)求证:$BE=CF$;
(2)若$AB=5,BE=2$,求AF的长.
答案
7.解:(1)证明:易证$△ ABE≌△ BCF,\therefore BE=CF$.
(2)由(1)得$CF=BE=2$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore AB=BC=CD=AD=5,\therefore DF=CD-CF=3$. 在$\mathrm{Rt}△ ADF$中,$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{34}$.
(2)由(1)得$CF=BE=2$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore AB=BC=CD=AD=5,\therefore DF=CD-CF=3$. 在$\mathrm{Rt}△ ADF$中,$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{34}$.
解析
【分析】
(1)要证明$BE=CF$，可通过证明两条边所在的三角形全等来实现。已知四边形ABCD是正方形，可得$AB=BC$，$∠ ABE=∠ BCF=90°$，再结合$BG⊥ AE$，利用同角的余角相等可推出$∠ BAE=∠ CBF$，满足全等三角形的ASA判定条件，即可证$△ ABE≌△ BCF$，进而得到对应边$BE=CF$。
(2)求$AF$的长，观察$AF$是$Rt△ ADF$的斜边，已知正方形边长$AB=5$，可得$AD=CD=5$，结合(1)的结论可得$CF=BE=2$，即可求出$DF$的长度，再利用勾股定理即可计算$AF$的长度。
【解析】
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=BC$，$∠ ABC=∠ C=90°$，
$\therefore ∠ ABG+∠ CBF=90°$，
$\because BG⊥ AE$，垂足为$G$，
$\therefore ∠ AGB=90°$，
$\therefore ∠ BAG+∠ ABG=90°$，
$\therefore ∠ BAG=∠ CBF$（同角的余角相等）。
在$△ ABE$和$△ BCF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAE=∠ CBF\\ AB=BC\\ ∠ ABE=∠ BCF\end{array} $
$\therefore△ ABE≌△ BCF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BE=CF$。
(2)解：由(1)可知$BE=CF$，
$\because BE=2$，$\therefore CF=2$，
$\because$四边形$ABCD$是正方形，$AB=5$，
$\therefore CD=AD=AB=5$，
$\therefore DF=CD-CF=5-2=3$，
$\because ∠ D=90°$，$\therefore△ ADF$是直角三角形，
在$Rt△ ADF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$。
【答案】
(1)证明成立，$BE=CF$；(2)$AF$的长为$\sqrt{34}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是正方形性质的基础应用题，解题的核心是利用垂直关系推导角相等，进而证明三角形全等，再结合勾股定理求解线段长度，是几何部分的常见基础题型，需熟练掌握相关性质的运用。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$BE=CF$，可通过证明两条边所在的三角形全等来实现。已知四边形ABCD是正方形，可得$AB=BC$，$∠ ABE=∠ BCF=90°$，再结合$BG⊥ AE$，利用同角的余角相等可推出$∠ BAE=∠ CBF$，满足全等三角形的ASA判定条件，即可证$△ ABE≌△ BCF$，进而得到对应边$BE=CF$。
(2)求$AF$的长，观察$AF$是$Rt△ ADF$的斜边，已知正方形边长$AB=5$，可得$AD=CD=5$，结合(1)的结论可得$CF=BE=2$，即可求出$DF$的长度，再利用勾股定理即可计算$AF$的长度。
【解析】
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=BC$，$∠ ABC=∠ C=90°$，
$\therefore ∠ ABG+∠ CBF=90°$，
$\because BG⊥ AE$，垂足为$G$，
$\therefore ∠ AGB=90°$，
$\therefore ∠ BAG+∠ ABG=90°$，
$\therefore ∠ BAG=∠ CBF$（同角的余角相等）。
在$△ ABE$和$△ BCF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAE=∠ CBF\\ AB=BC\\ ∠ ABE=∠ BCF\end{array} $
$\therefore△ ABE≌△ BCF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BE=CF$。
(2)解：由(1)可知$BE=CF$，
$\because BE=2$，$\therefore CF=2$，
$\because$四边形$ABCD$是正方形，$AB=5$，
$\therefore CD=AD=AB=5$，
$\therefore DF=CD-CF=5-2=3$，
$\because ∠ D=90°$，$\therefore△ ADF$是直角三角形，
在$Rt△ ADF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$。
【答案】
(1)证明成立，$BE=CF$；(2)$AF$的长为$\sqrt{34}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是正方形性质的基础应用题，解题的核心是利用垂直关系推导角相等，进而证明三角形全等，再结合勾股定理求解线段长度，是几何部分的常见基础题型，需熟练掌握相关性质的运用。
【难度系数】
0.7
