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12. 如图,在菱形 ABCD 中,$∠D=135°,BE⊥CD$ 于点 E,交 AC 于点 F,$FG⊥BC$ 于点 G.若$△ BFG$ 的周长为 6,求菱形 ABCD 的周长.
答案
12.解:
∵四边形ABCD为菱形,∠D=135°,
∴∠BCD=45°,CA平分∠BCD.又
∵BE⊥CD,FG⊥BC,
∴FE=FG,∠CBE=∠BCD=45°,
∴△BEC是等腰直角三角形,
∴BE=CE.易证△CGF≌△CEF,
∴CG=CE=BE.
∵△BFG的周长为6,
∴BG+GF+BF=BG+EF+BF=BG+BE=BG+CG=BC=6,
∴菱形ABCD的周长为24.
∵四边形ABCD为菱形,∠D=135°,
∴∠BCD=45°,CA平分∠BCD.又
∵BE⊥CD,FG⊥BC,
∴FE=FG,∠CBE=∠BCD=45°,
∴△BEC是等腰直角三角形,
∴BE=CE.易证△CGF≌△CEF,
∴CG=CE=BE.
∵△BFG的周长为6,
∴BG+GF+BF=BG+EF+BF=BG+BE=BG+CG=BC=6,
∴菱形ABCD的周长为24.
解析
【分析】
解题时首先从菱形的性质入手，根据菱形邻角互补求出∠BCD的度数，再结合菱形对角线平分内角的性质，利用角平分线上的点到角两边距离相等得到FE=FG；接下来由∠BCD=45°和BE⊥CD可判定△BEC是等腰直角三角形，得到BE=CE，通过全等三角形可证CG=CE=BE；最后将△BFG的周长中的线段做等量替换，会发现其周长恰好等于菱形的边长BC，进而求出菱形的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD为菱形，∠D=135°，
∴∠BCD=180°-∠D=45°，且CA平分∠BCD，
又
∵BE⊥CD，FG⊥BC，
∴FE=FG（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠BEC=90°，
∴∠CBE=90°-∠BCD=45°=∠BCD，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∴BE=CE。
在△CGF和△CEF中，
$\{\begin{array}{l}∠ FGC=∠ FEC=90°\\∠ FCG=∠ FCE\\FC=FC\end{array} $
∴△CGF≌△CEF（AAS），
∴CG=CE=BE。
∵△BFG的周长为6，
∴$BG+GF+BF=6$，
将$GF$替换为$FE$，可得$BG+FE+BF=BG+(FE+BF)=BG+BE=6$，
又
∵$BE=CG$，
∴$BG+CG=BC=6$，
∴菱形ABCD的周长为$4×6=24$。
【答案】
24
【知识点】
菱形的性质；角平分线的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是菱形相关的综合几何计算题，解题核心是利用几何性质进行等线段转化，将三角形周长转化为菱形的边长，对学生的线段转化思维有一定要求，熟练掌握基础几何性质并灵活运用是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.65
解题时首先从菱形的性质入手，根据菱形邻角互补求出∠BCD的度数，再结合菱形对角线平分内角的性质，利用角平分线上的点到角两边距离相等得到FE=FG；接下来由∠BCD=45°和BE⊥CD可判定△BEC是等腰直角三角形，得到BE=CE，通过全等三角形可证CG=CE=BE；最后将△BFG的周长中的线段做等量替换，会发现其周长恰好等于菱形的边长BC，进而求出菱形的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD为菱形，∠D=135°，
∴∠BCD=180°-∠D=45°，且CA平分∠BCD，
又
∵BE⊥CD，FG⊥BC，
∴FE=FG（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠BEC=90°，
∴∠CBE=90°-∠BCD=45°=∠BCD，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∴BE=CE。
在△CGF和△CEF中，
$\{\begin{array}{l}∠ FGC=∠ FEC=90°\\∠ FCG=∠ FCE\\FC=FC\end{array} $
∴△CGF≌△CEF（AAS），
∴CG=CE=BE。
∵△BFG的周长为6，
∴$BG+GF+BF=6$，
将$GF$替换为$FE$，可得$BG+FE+BF=BG+(FE+BF)=BG+BE=6$，
又
∵$BE=CG$，
∴$BG+CG=BC=6$，
∴菱形ABCD的周长为$4×6=24$。
【答案】
24
【知识点】
菱形的性质；角平分线的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是菱形相关的综合几何计算题，解题核心是利用几何性质进行等线段转化，将三角形周长转化为菱形的边长，对学生的线段转化思维有一定要求，熟练掌握基础几何性质并灵活运用是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.65
13. [新课标·综合与实践题]如图 1，$△ ABC$ 为等腰三角形，$AB=AC=a$，$P$ 是底边 $BC$ 上的一个动点，$PD// AC$，$PE// AB$.
(1)四边形 $ADPE$ 的周长为________；(用含 $a$ 的式子表示)
(2)当点 $P$ 运动到什么位置时，四边形 $ADPE$ 是菱形？请说明理由.
(3)如果 $△ ABC$ 不是等腰三角形，如图 2，其他条件不变，当点 $P$ 运动到什么位置时，四边形 $ADPE$ 是菱形？(不必说明理由)
(1)四边形 $ADPE$ 的周长为________；(用含 $a$ 的式子表示)
(2)当点 $P$ 运动到什么位置时，四边形 $ADPE$ 是菱形？请说明理由.
(3)如果 $△ ABC$ 不是等腰三角形，如图 2，其他条件不变，当点 $P$ 运动到什么位置时，四边形 $ADPE$ 是菱形？(不必说明理由)
答案
13.解:(1)2a
(2)当点P运动到BC的中点时,四边形ADPE是菱形.理由略.
(3)当点P运动到∠BAC的平分线上时,四边形ADPE是菱形.
(2)当点P运动到BC的中点时,四边形ADPE是菱形.理由略.
(3)当点P运动到∠BAC的平分线上时,四边形ADPE是菱形.
解析
【分析】
(1) 首先根据两组对边分别平行判定四边形ADPE是平行四边形，得到对边相等的关系；再结合等腰三角形两底角相等、平行线的同位角相等，推出等腰三角形得到等线段，把平行四边形的周长转化为AB与AC的和即可求解。
(2) 菱形需要在平行四边形的基础上满足邻边相等，当P为BC中点时，结合三角形中位线性质可推出平行四边形的邻边相等，即可证明其为菱形。
(3) 若△ABC不是等腰三角形，要让平行四边形ADPE为菱形，仍需满足邻边相等，结合角平分线的性质和平行线的等角关系，可推出P需在∠BAC的平分线上。
【解析】
(1)
∵ $PD// AC$，$PE// AB$，
∴ 四边形$ADPE$是平行四边形，可得$AD=PE$，$AE=PD$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$，又
∵ $PD// AC$，
∴ $∠ DPB=∠ C$，
∴ $∠ DPB=∠ B$，可得$PD=BD$，同理可证$PE=CE$。
∴ 四边形$ADPE$的周长$=AD+DP+PE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=a+a=2a$。
(2) 当$P$为$BC$中点时，$PD$、$PE$均为$△ ABC$的中位线，
∴ $PD=\frac{1}{2}AC$，$PE=\frac{1}{2}AB$，结合$AB=AC$可得$PD=PE$。
∵ 四边形$ADPE$是平行四边形，且邻边$PD=PE$，
∴ 四边形$ADPE$是菱形。
(3) 当$P$在$∠ BAC$的平分线上时，$∠ DAP=∠ EAP$，结合$PE// AB$可得$∠ DAP=∠ APE$，推出$∠ EAP=∠ APE$，即$AE=PE$，平行四边形邻边相等，故为菱形。
【答案】
(1)$2a$
(2)当点$P$运动到$BC$的中点时，四边形$ADPE$是菱形。
(3)当点$P$运动到$∠ BAC$的平分线上时，四边形$ADPE$是菱形。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，菱形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形和三角形的相关性质，解题时需要灵活运用平行线的性质转化边角关系，是巩固特殊四边形判定方法的典型习题，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据两组对边分别平行判定四边形ADPE是平行四边形，得到对边相等的关系；再结合等腰三角形两底角相等、平行线的同位角相等，推出等腰三角形得到等线段，把平行四边形的周长转化为AB与AC的和即可求解。
(2) 菱形需要在平行四边形的基础上满足邻边相等，当P为BC中点时，结合三角形中位线性质可推出平行四边形的邻边相等，即可证明其为菱形。
(3) 若△ABC不是等腰三角形，要让平行四边形ADPE为菱形，仍需满足邻边相等，结合角平分线的性质和平行线的等角关系，可推出P需在∠BAC的平分线上。
【解析】
(1)
∵ $PD// AC$，$PE// AB$，
∴ 四边形$ADPE$是平行四边形，可得$AD=PE$，$AE=PD$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C$，又
∵ $PD// AC$，
∴ $∠ DPB=∠ C$，
∴ $∠ DPB=∠ B$，可得$PD=BD$，同理可证$PE=CE$。
∴ 四边形$ADPE$的周长$=AD+DP+PE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=a+a=2a$。
(2) 当$P$为$BC$中点时，$PD$、$PE$均为$△ ABC$的中位线，
∴ $PD=\frac{1}{2}AC$，$PE=\frac{1}{2}AB$，结合$AB=AC$可得$PD=PE$。
∵ 四边形$ADPE$是平行四边形，且邻边$PD=PE$，
∴ 四边形$ADPE$是菱形。
(3) 当$P$在$∠ BAC$的平分线上时，$∠ DAP=∠ EAP$，结合$PE// AB$可得$∠ DAP=∠ APE$，推出$∠ EAP=∠ APE$，即$AE=PE$，平行四边形邻边相等，故为菱形。
【答案】
(1)$2a$
(2)当点$P$运动到$BC$的中点时，四边形$ADPE$是菱形。
(3)当点$P$运动到$∠ BAC$的平分线上时，四边形$ADPE$是菱形。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，菱形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形和三角形的相关性质，解题时需要灵活运用平行线的性质转化边角关系，是巩固特殊四边形判定方法的典型习题，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
